初中幾何知識點

初中幾何知識點三角形教學目標1、理解并掌握三角形及三角形的重要線段的概念;2、掌握三角形的三邊間的關系;3、會利用三角形的內角和定理及外角公式計算角度。難點重點1、熟練掌握三角形的三條重要線段;2、會靈活運用內角和定理及外角公式計算角度一、知識點梳理(1)三角形的定義:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.(2)三角形的分類.不等邊三角形,銳角三角形,,三角形,,三角形直角三角形,,(按角分),(按邊分),鈍角三角形,,等腰三角形(等邊三角形),(3)三角形的三邊關系:三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(4)三角形的重要線段?三角形的中線:頂點與對邊中點的連線,三條中線交點叫重心?三角形的角平分線:內角平分線與對邊相交,頂點和交點間的線段,三個角的角平分線的交點叫內心?三角形的高:頂點向對邊作垂線,頂點和垂足間的線段.三條高的交點叫垂心(分銳角三角形,鈍角三角形和直角三角形的交點的位置不同)(5)三角形具有穩(wěn)定性(6)三角形的內角和定理及性質定理:三角形的內角和等于180?.推論1:直角三角形的兩個銳角互補。推論2:三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和。推論3:三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。(7)多邊形的外角和恒為360?。全等三角形知識梳理一、知識網(wǎng)絡,對應角相等,性質,,對應邊相等,,,邊邊邊SSS,,,全等形全等三角形應用,,邊角邊SAS,,,,判定角邊角ASA,,,,角角邊AAS,,斜邊、直角邊HL,,,作圖,角平分線,性質與判定定理,二、基礎知識梳理(一)、基本概念1、“全等”的理解全等的圖形必須滿足:(1)形狀相同的圖形;(2)大小相等的圖形;即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(1)全等三角形對應邊相等;(2)全等三角形對應角相等;3、全等三角形的判定方法(1)三邊對應相等的兩個三角形全等。(2)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。(3)兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(4)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(5)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。4、角平分線的性質及判定性質:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等判定:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上(二)靈活運用定理1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3、要善于靈活選擇適當?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等。(1)已知條件中有兩角對應相等，可找:?夾邊相等(ASA)?任一組等角的對邊相等(AAS)(2)已知條件中有兩邊對應相等，可找?夾角相等(SAS)?第三組邊也相等(SSS)(3)已知條件中有一邊一角對應相等，可找?任一組角相等(AAS或ASA)?夾等角的另一組邊相等(SAS)證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟:1.確定已知條件(包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系);2.回顧三角形判定公理，搞清還需要什么;3.正確地書寫證明格式(順序和對應關系從已知推導出要證明的問題)。常見考法(1)利用全等三角形的性質:?證明線段(或角)相等;?證明兩條線段的和差等于另一條線段;?證明面積相等;(2)利用判定公理來證明兩個三角形全等;(3)題目開放性問題，補全條件，使兩個三角形全等。誤區(qū)提醒(1)忽略題目中的隱含條件;(2)不能正確使用判定公理。軸對稱變換[軸對稱變換]由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換(?成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到([軸對稱變換的性質](1)經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣(2)?經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸的對稱點((3)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分([作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形](1)作出一些關鍵點或特殊點的對稱點((2)按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形(用坐標表示軸對稱[關于坐標軸對稱]點P(x，y)關于x軸對稱的點的坐標是(x，-y)點P(x，y)關于y軸對稱的點的坐標是(-x，y)[關于原點對稱]點P(x，y)關于原點對稱的點的坐標是(-x，-y)[關于坐標軸夾角平分線對稱]點P(x，y)關于第一、三象限坐標軸夾角平分線y=x對稱的點的坐標是(y，x)點P(x，y)關于第二、四象限坐標軸夾角平分線y=-x對稱的點的坐標是(-y，-x)[關于平行于坐標軸的直線對稱]點P(x，y)關于直線x=m對稱的點的坐標是(2m-x，y);點P(x，y)關于直線y=n對稱的點的坐標是(x，2n-y);等腰三角形[等腰三角形]有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊(兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角([等腰三角形的性質]性質1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)性質2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(特別的:(1)等腰三角形是軸對稱圖形.(2)等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應相等.[等腰三角形的判定定理]如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)(特別的:(1)有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形((2)有兩邊上的角平分線對應相等的三角形是等腰三角形((3)有兩邊上的中線對應相等的三角形是等腰三角形((4)有兩邊上的高線對應相等的三角形是等腰三角形([利用“三角形奠基法”作圖]根據(jù)已知條件先作出一個與所求圖形相關的三角形，然后再以這個圖形為基礎，作出所求的三角形.等邊三角形[等邊三角形]三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形([等邊三角形的性質]等邊三角形的三個內角都相等，?并且每一個內角都等于60?[等邊三角形的判定方法](1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形;(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形;3)有一個角是60?的等腰三角形是等邊三角形((角平分線的性質[角平分線的作法]見課本[角平分線的性質]在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.AMPCONB?OP平分?AOB，PM?OA于M，PN?OB于N，?PM=PN[角平分線的判定]到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.AMPCONB?PM?OA于M，PN?OB于N，PM=PN?OP平分?AOB[三角形的角平分線的性質]三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等([添加輔助線口訣]幾何證明難不難，關鍵常在輔助線;.知中點、作中線，倍長中線把線連線段垂直平分線，常向兩端來連線.線段和差及倍分，延長截取全等現(xiàn);公共角、公共邊，隱含條件要挖掘;平移對稱加旋轉，全等圖形多變換.角平分線取一點，可向兩邊作垂線;也可將圖對折看，對稱之后關系現(xiàn);角平分線加平行，等腰三角形來添;角平分線伴垂直，三線合一試試看。勾股定理知識總結一(基礎知識點:1:勾股定理222直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即:a+b,c)要點詮釋:勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用:22(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在中，，則，,ABC，,:C90cab,，2222，)bca,,acb,,(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2:勾股定理的逆定理222如果三角形的三邊長:a、b、c，則有關系a+b,c，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋:勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意:(1)首先確定最大邊，不妨設最長邊長為:c;222222(2)驗證c與a+b是否具有相等關系，若c,a+b，則?ABC是以?C為直角的直角三角形222222(若c>a+b，則?ABC是以?C為鈍角的鈍角三角形;若c<a+b，則?ABC為銳角三角形)。222abc，,b(定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三ac222acb，,bbb邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為acac斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別:勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理;聯(lián)系:勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4:互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是?圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變?根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下:1224()，，,,abbac，，化簡可證(方法一:4SSS，,,正方形正方形EFGHABCD2方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積(122Sabcabc,，，,，42四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為2222222abc，,大正方形面積為所以Sabaabb,，,，，()21112SSabc,，,,，Sabab,，,，()()2S2方法三:，，化簡得證,,ADEABE梯形梯形2226:勾股數(shù)222abc，,?能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，b，為ac正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)bac3,4,56,8,105,12,137,24,25?記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如;;;等22n,2,?用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù):(為正整數(shù));nnnnn,，1,2,122222221,22,221nnnnn，，，，(為正整數(shù))(，bmn,,nmmnmnmn,，,2,aacbc為正整數(shù))ncbca二、規(guī)律方法指導ba1(勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關系相互轉化證明的。DCH2(勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關系，可以用于解決求解EGF直角三角形邊邊關系的題目。abcBA3(勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識AaD在應用過程中易犯的主要錯誤。bc224.勾股定理的逆定理:如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系:a+bEc2a,c，?那么這個三角形是直角三角形;該逆定理給出判定一個三角形是否BCb是直角三角形的判定方法(5.?應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學習加深對“數(shù)形結合”的理解(我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例:勾股定理與勾股定理逆定理)一、平行四邊形”來1、定義:有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。表示:平行四邊形用符號“?表示。2、平行四邊形性質:(1)角:平行四邊形的鄰角互補，對角相等;(2)邊:平行四邊形兩組對邊分別平行且相等;(3)對角線:平行四邊形的對角線互相平分;(4)對稱性:平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心;(5)面積:等于底和高的積，即S=ah，其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是?ABCDa邊到其對邊的距離，即對應的高。平行四邊形的對角線將四邊形分成4個面積相等的三角形(3、平行四邊形的判定:?定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形?方法1:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形?方法2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形?方法3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形?方法4:一組平行且相等的四邊形是平行四邊形若一條直線過平行四邊形對角線的交點，則直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分平行四邊形的面積。二、幾種特殊四邊形的有關概念)矩形:有一個角是直角的平行四邊形是矩形，它是研究矩形的基礎，它既可以看作是(1矩形的性質，也可以看作是矩形的判定方法，對于這個定義，要注意把握:?平行四邊形;?一個角是直角，兩者缺一不可((2)菱形:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，它是研究菱形的基礎，它既可以看作是菱形的性質，也可以看作是菱形的判定方法，對于這個定義，要注意把握:?平行四邊形;?一組鄰邊相等，兩者缺一不可((3)正方形:一組鄰邊相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四邊形，它既是平行四邊形，還是菱形，也是矩形，它兼有這三者的特征，是一種非常完美的圖形((4)梯形:一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，對于這個定義，要注意把握:?一組對邊平行;?一組對邊不平行，同時要注意和平行四邊形定義的區(qū)別，還要注意腰、底、高等概念以及梯形的分類等問題((5)等腰梯形:是一種特殊的梯形，它是兩腰相等的梯形，特殊梯形還有直角梯形(二、典例分析例1一個三角形的兩邊長分別為2和9,第三邊為奇數(shù),則此三角形的周長是多少,(三邊關系:判定能否成三角形;求線段的取值范圍;證明線段的不等關系)針對性練習:若一個等腰三角形的周長為17cm，一邊長為3cm,則它的另一邊長是。,，ABC和，ACB,ABC例2如圖,已知中,的角平分線BD,CE相交于點O,且求，A,60，BOC的度數(shù)。(內角和定理)AEDOBCA,，則的度數(shù)為多少,思考:若，BOC，A,n例3如圖，BP平分?FBC，CP平分?ECB，?A=40?求?BPC的度數(shù)。EC2A4P31BF2例4如圖,AD是,ABC的中線,DE=2AE.若S,24cm,求S?ABC?ABEAEBCD例5:已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內角度數(shù)的1/4，求這個多邊形的邊數(shù)。(內角和與外角和、用方程解)0一個正多邊形的每一個內角和都等于120，求它的邊數(shù)。正多邊形與鑲嵌例6用正三角形、正方形、正六邊形能否進行鑲嵌,思路分析:可以進行鑲嵌的條件是:一個頂點各個內角和是360?。三、本章思想方法:1、方程思想,BDE例7已知:在中，?C=?ABC，BE?AC，是正三角形，求?C的度數(shù)。,ABC2、化歸思想:(證明線段的平行問題，常轉化為證明角相等或互補來解決)例8:如圖，?B=42?，?A+10?=?1，?ACD=64?，求證:AB?CD。DCAB針對性練習:1、能把一個任意三角形分成面積相等的兩個三角形的線段是三角形的()A、角平分線B、中線C、高D、兩邊中點連線A22、如圖2，在,ABC中，點D、E、F分別是BC、AD、CE的中點，且，則S,4cmS?ABC?BEF的值為。E222211