冶金傳輸原理（第2版）傳熱學11 一維穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導熱

第十一章一維穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導熱11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱11.3非穩(wěn)定導熱的基本概念11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱11.6有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱11.7導熱問題的數(shù)值解法的簡介一、第一類邊界條件：表面溫度為常數(shù)單層平壁幾何條件：單層平板；s；物理條件：

、cp、

已知；無內熱源；時間條件：穩(wěn)態(tài)導熱，?T/?t=0；邊界條件：第一類。微分方程式可簡化：11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱第一類邊條件直接積分得：帶入邊界條件：邊界條件將結果帶入微分方程，可以得到下面的單層平壁的導熱方程式。11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源的情況多層平壁的導熱多層平壁：由幾層不同材料組成，房屋的墻壁－白灰內層、水泥沙漿層、紅磚(青磚)主體層等組成；假設各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等；11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱三層平壁的導熱流密度分別為：n層平壁導熱流密度為界面溫度例題1：圖為具有內熱源并均勻分布的平壁，壁厚為2s。假定平壁的長寬遠大于壁厚，平壁兩表面溫度很為恒為Tw，內熱源強度為qv，平壁材料的導熱系數(shù)為常數(shù)。試求穩(wěn)態(tài)導熱時，平壁內的溫度分布和中心溫度。11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱解：因平壁的長、寬遠大于厚度，故此平壁的導熱可認為是一維穩(wěn)態(tài)導熱，這時導熱微分方程式可簡化為:相應的邊界條件為：x=s時，T=Twx=-s時，T=Tw

11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱可見，該條件下平壁內溫度是按拋物線規(guī)律分布。令溫度分布關系式中的x=0，則得平壁中心溫度為：求解上述微分方程，得：式中積分常數(shù)C1和C2可由邊界條件確定，它們分別為：所以，平壁內溫度分布為：例題2：爐墻內層為粘土磚，外層為硅藻土磚，它們的厚度分別為s1=460mm；s2=230mm，導熱系數(shù)分別為：λ1=0.7+0.64×10-3T

W/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3T

W/m℃。爐墻兩側表面溫度各為T1=1400℃；T3=100℃，求穩(wěn)態(tài)時通過爐墻的導熱通量和兩層磚交界處的溫度。解：按試算法，假定交界面溫度為t2=900℃，計算每層磚的導熱系數(shù)

11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱計算通過爐墻的熱流密度：

11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱計算界面溫度：計算將求出的Tw2與原假設的Tw2相比較，若兩者相差不大(工程上一般小于4%)，則計算結束，否則重復上述計算，直至滿足要求為止。現(xiàn)在兩者相差甚大，需重新計算。重設Tw2=1120℃，則：λ1=0.7+0.64×10-3×(1400+1200)/2=1.53W/m·℃λ2=0.14+0.12×10-3×(1200+100)/2=0.218W/m·℃

11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱Tw2與第二次假設的溫度值相近，故第二次求得的q和Tw2即為正確的結果。二、第三類邊界條件周圍介質為常數(shù)導熱微分方程一維形式邊界條件11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱對T求導，得：由由在確定出C1和C2后，可得到壁內的溫度分布：11.1通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱綜合傳熱系數(shù)或傳熱系數(shù)多層平壁平壁面積A一、第一類邊界條件：表面溫度為常數(shù)單層圓筒壁11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱一維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源、常物性，可得下面的方程，考慮第一類邊界條件：第一類邊界條件：對該方程積分兩次得出：第一次積分第二次積分應用邊界條件獲得兩個系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結果得到圓筒壁內溫度分布，溫度分布按對數(shù)曲線變化11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱溫度梯度表達式：11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱通過圓筒壁的熱流量：或在工程計算中，常按單位長度來計算熱流量，并記為qL單位長度導熱熱阻11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱多層圓筒壁不同材料構成的多層圓筒壁，其導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算單位長度的熱流量熱流量第i層和i+1層之間接觸面的溫度通過單位長度圓筒壁傳熱過程的熱阻11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱由單層圓筒壁考慮多層圓筒壁，見右公式二、第三類邊界條件：周圍介質溫度為常數(shù)該問題可看作在第三類邊界條件下，通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題例題3：有一半經為R，具有均勻內熱源、導熱系數(shù)為常數(shù)的長圓柱體。假定圓柱體表面溫度為Tw，內熱源強度為qv，圓柱體足夠長，可以認為溫度僅沿徑向變化，試求穩(wěn)態(tài)導熱時圓柱體內溫度分布。解：對于一維穩(wěn)態(tài)導熱，柱坐標系的導熱微分方程簡化得到，即:11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱兩個邊界條件中：一個為r=R時，T=Tw，由于內熱源均勻分布，圓柱體表面溫度均為Tw，圓柱體內溫度分布對稱于中心線，另一個邊界條件可表示為r=0時，dT/dr=0。將微分方程分離變量后兩次積分，結果為：根據(jù)邊界條件，在r=0時，dT/dr=0?？傻肅1=0；利用另一個邊界條件，在r=R時，T=Tw，可得11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱例題4高爐熱風管道由四層組成：最內層為粘土磚，中間依次為硅藻土磚和石棉板，最外層為鋼板。厚度分別為(mm)：s1=115；s2=230；s3=10；s4=10，導熱系數(shù)分別為(W/m℃)：λ1=1.3；λ2=0.18；λ3=0.22；λ4=52。圓柱體內溫度分布11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱熱風管道內徑d1=1m，熱風平均溫度為1000℃，與內壁的給熱系數(shù)α1=31W/m2℃，周圍空氣溫度為20℃，與風管外表面間的給熱系數(shù)為10.5W/m2℃，試求每米熱風管長的熱損失。解：已知

d1=1m；d2=d1+2，s1=1+0.23=1.23m；

d3=d2+2，s2=1.23+0.46=1.69m；d4=d3+2，s3=1.69+0.02=1.71m；d5=d4+2，s4=1.71+0.02=1.73m。Tf1=1000℃；Tf2=20℃，可求出每米管長的熱損失為：11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱三、臨界絕熱層直徑工程上為了減少管道的散熱損失，常用的方法是在管道外表面敷設絕熱層，但應該注意到，這種方法并不是任何情況下都能減少散熱損失，這取決于在管道外面敷設絕熱層后總熱阻將如何變化。設在一管道外面包上一層絕熱層(如圖所示)。此時單位管長的總熱阻γΣ為：11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱式中：α1為管內流體與管內壁之間的給熱系數(shù)，W/m2℃；α2為絕熱層外表面與周圍空氣之間的給熱系數(shù)，W/m2℃；dx為絕熱層外直徑，m；d1和d2分別為管道的內徑和外徑，m；λ1和λx分別為管道材料和絕熱層材料的導熱系數(shù)，W/m℃。當管道一定時，d1、d2、λ1、α1和α2都是定值，公式中前兩項熱阻的數(shù)值一定。在絕熱層材料選定后，λx也已給定，因此，單位管長的總熱阻γΣ僅是dx的函數(shù)。當dx增加時，

(1/2πλx)ln(dx/d2)增大，而1/(πdxα2)減小。如將γΣ對dx求導，并令其等于零，即則可求得γΣ的極值條件：11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱式中：dc為臨界絕熱層直徑，m。如繼續(xù)求γΣ對dx的二階導數(shù)，可得d2(γΣ)/d(dx)2，這表明在絕熱層外徑等于臨界絕熱層直徑dc時，單位管長的總熱阻為極小值，此時相應的熱損失最大，如圖所示。當管道外徑d2<dc時，在管道外面敷設絕熱層，熱損失不僅不會減少，反而會增大。而且隨著絕熱層厚度增加，熱損失增加，直至絕熱層外徑等于dc為止。此后，再增加絕熱層厚度，熱損失下降。11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱只有在絕熱層外徑大于d3時，才真正起到減少熱損失的作用。如果管子外徑d2≥dc，則敷設絕熱層都將使散熱損失減小。臨界絕熱層直徑與其導熱系數(shù)λx有關。因此，通過選用不同的絕熱層材料可改變臨界絕熱層直徑。通過前面的分析要清楚為減少管道的散熱損失，在管道外表面敷設絕熱層，僅在管道外面敷設絕熱層后總熱阻下降的前提才能減少熱損失。例題5：熱介質在外徑為d2=25mm的管內流動，為減少熱損失，在管外敷設絕熱層，試問下列二種絕熱材料中選用哪一種合適：(1)石棉制品，λ=0.14W/m℃；(2)礦渣棉，λ=0.058W/m℃。假定絕熱層外表面與周圍空氣之間的給熱系數(shù)α2=9W/m2℃。解：計算石棉制品和礦渣棉臨界絕熱層直徑分別為：11.2通過圓筒壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱上述條件下用石棉制品作絕熱層時，因d石棉>d礦熱棉，敷設絕熱層，熱損失將增加，故不合適。而用礦渣棉作絕熱層時，d石棉<d礦熱棉，所以是合適的。

11.3非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念一、非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)：T=f(r,t)非穩(wěn)態(tài)導熱的分類：a.周期性非穩(wěn)態(tài)導熱(定義及特點)；b.瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱(定義及特點)，著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱。二、溫度場的主要特點溫度變化：隨時間變化。三個不同的階段：a.非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段)→溫度分布主要受初始溫度分布控制；b.正規(guī)狀況階段(正常情況階段)

溫度分布主要取決于邊界條件及物性。c.新的穩(wěn)態(tài)階段11.3非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念熱流方向上熱流量處處不等：圖b陰影部分表示平壁在加熱過程中所吸收的能量，其中Q1是通過左壁傳入的熱量，Q2是從右壁散失的熱量。當時間為t4時，該平壁內的溫度分布進入穩(wěn)態(tài)，因為此時傳入的熱量與散失的熱量相等。11.3非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念三、周期性的非穩(wěn)態(tài)導熱在周期性非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，一方面物體內各處的溫度按一定的振幅隨時間周期地波動；另一方面，同一時刻下，物體內的溫度分布在空間上也是周期性波動的。四、非穩(wěn)態(tài)導熱的特點物體內各點的溫度隨時間而變化，?T/?t≠0?T/?t>0，加熱過程；?T/?t<0，冷卻過程總是伴隨著物體焓的變化討論非穩(wěn)態(tài)導熱的目的，在于找出溫度分布隨時間的變化規(guī)律，進而確定熱流量隨時間的變化規(guī)律。11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱一、薄材的概念(1)問題的分析(以第三類邊界

條件為重點)邊界條件：(2)畢奧數(shù)的定義：(3)Bi數(shù)對溫度分布的影響：當Bi→∞

時，rλ>>rh，因此，可以忽略對流換熱熱阻；當Bi→0

時，rλ<<rh，因此，可以忽略導熱熱阻。Bi準則對無限大平壁溫度分布的影響11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱二、薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱，集總參數(shù)法：忽略物體內部導熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，Bi→0，溫度分布只與時間有關，即T=f(t)，與空間位置無關，因此，也稱為零維問題。任意形狀的物體，參數(shù)均為已知，t=0；T=T0。將其突然置于溫度恒為Tf的流體中。由能量守恒可知：

或初始條件得11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱根據(jù)初始條件可得到C=θ0，于是最終的解為：其右端的指數(shù)可以寫成：需要特別指出，如用Biv來判斷物體是否為薄材時，Biv應滿足如下條件11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱例題6用熱電偶測量流體溫度。已知流體溫度為200℃，插入流體前熱電偶接點溫度為20℃。假定熱電偶接點為球形，直徑為1mm，其密度ρ=8000kg/m3,λ=52W/m·℃，cp=418J/kg·℃，接點表面與流體之間的給熱系數(shù)

=120W/m2·℃。對厚為2δ的無限大平板對半徑為R的無限長圓柱

對半徑為R的球11.4薄材的非穩(wěn)態(tài)導熱滿足薄材條件，所以可按薄材處理，根據(jù)薄材公式可得：

試求熱電偶指示溫度達199℃時所需的時間。解：首先計算Biv判斷熱電偶接點是否為薄材。一、第一類邊界條件：表面溫度為常數(shù)導熱微分方程為：引入無因次量：初始條件和邊界條件由：11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱高斯誤差函數(shù)11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱由根據(jù)傅里葉定律：由溫度與誤差函數(shù)的關系：當η=2時，erf(η)≈1這表明在x點處的溫度尚未變化，仍為初始溫度T0。由此關系可確定經過t時間后壁內溫度開始變化的距離x：上式對x求導得：例題7用熱電偶測得高爐基礎內某點的溫度為350℃，測定時間離開爐120h，若爐缸底部表面溫度為1500℃，爐基材料的熱擴散系數(shù)a為0.002m2/h，爐基開始溫度為20℃，求爐缸底部表面到該測溫點的距離。解：高爐基礎可視為半無限大物體，界面(x=0處)為爐缸底部表面。因為已知表面溫度，故是第一類邊界條件的問題。[0，t]內累計傳熱量：令x=0即得邊界面上的導熱流密度：11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱已知：T0=20℃；Tw=1500℃；T=350℃，根據(jù)半無限大公式可以計算出高斯誤差函數(shù)：解：由過于溫度和誤差函數(shù)的關系式：由相關數(shù)據(jù)表可查得：當

11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱例題81650℃的鋼水很快注入一直徑為3m，高度為3.6m的鋼包，鋼包初始壁溫均勻為650℃，包內鋼水深度為2.4m。已知包壁材料的熱物性參數(shù)為：λ=1.04W/m·℃,ρ=2700kg/m3，cP=1.25kJ/kg·℃。試求在開始15min內：(1)由于導熱傳入包壁的熱量；(2)包壁內熱量傳遞的距離。解：假定鋼包壁可視作半無限大物體，在鋼水和包壁界面(x=0)處溫度不變，恒為鋼水溫度。一般來說，包壁厚度與鋼包直徑相比很小，可按平壁處理。11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱由此可見，開始15min內，熱量傳遞的距離比一般鋼包壁的耐火材料厚度小，故按半無限大物體計算是可以的。開始15min內傳入包壁的熱量為：由熱量傳遞距離可計算得：11.5半無限大物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱11.6有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱一、第一類邊界條件，表面溫度為常數(shù)平板無因次中心溫度其中其函數(shù)關系如上圖所示，圖中還繪出了其它形狀物體的關系，如1-平板；2-方柱體；3-圓柱體(無限長)；4-立方體；5-H=d的圓柱體；6-球體。例題9厚度為200mm的鋼坯，在溫度為1000℃的加熱爐內雙面對稱加熱，假定鋼坯初始溫度為20℃，在加熱過程中爐內平均給熱系數(shù)為

=174W/m2·℃，鋼的平均熱物性常數(shù)為λ=34.8W/m·℃，a=0.556×10-5m2/s，試求鋼坯在爐內加熱36min時鋼坯的中心和表面溫度。解：因鋼坯在爐內緊密排列，故相當于平板狀物體的加熱。雙面對稱加熱時，其透熱深度s=0.2/2=0.1。因此，在此條件下：3.4一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解然后求鋼坯表面(x/s=0.1)溫度，由相關可以圖查得，當x/s=1.0；1/Bi=2時：3.4一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解先計算中心溫度，根據(jù)上述結果和1/Bi和Fo的關系圖，可得：所以鋼坯中心溫度為：進而給出表面溫度

例題10有一直徑為200mm的圓鋼，加熱至800℃并假定斷面溫度均勻，然后浸入溫度為60℃的循環(huán)水中淬火。設淬火過程中鋼的表面溫度與水溫相同，并始終保持不變。其平均熱擴散系數(shù)a=0.04m2/h，求經過6min后圓鋼的中心溫度。解：若忽略在圓鋼表面形成的氣膜影響，則可以為淬火過程中圓鋼表面溫度保持為60℃。已知：T0=800℃,a=0.04m2/h，R=d/2=0.1m,t=6/60=0.1h，則3.4一維非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解圓鋼中心溫度為：11.6有限厚物體的一維非穩(wěn)態(tài)導熱三、第三類邊界條件，周圍介質溫度為常數(shù)這類問題的微分方程的解為：11.7導熱問題的數(shù)值解法的簡介一、有限元法有限元法是借助計算機解決場問題的近似計算方法，它運用離散的概念，使整個問題由整體連續(xù)到分段連續(xù)；由整體解析轉化為分段解析，從而使數(shù)值法與解析法互相結合，互相滲透，形成一種新的傳熱數(shù)值計算方法。有限元法把整個求解區(qū)域分解成為有限個子域，每一子域內運用變分法，使原問題的微分方程組退化為代數(shù)方程組，最終得到數(shù)值解。有限元法把求解區(qū)域看作許多小的在節(jié)點處互相連接的子域(或單元)，其模型給出基本方程的近似解，而且它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持。11.7導熱問題的數(shù)值解法的簡介二、有限差分法基本思想：用有限個離散點(節(jié)點)上物理量的集合代替在時間、空間上連續(xù)的物理量場，按物理屬性建立各節(jié)點的代數(shù)方程并求解，來獲得離散點上被求物理量的集合。11.7導熱問題的數(shù)值解法的簡介有限差分離散方程(稱為差分方程)的常用導出方法有三種：直接法、熱平衡法、控制容積法。a.直接法