2025屆高考數(shù)學(xué)專題二函數(shù)零點(diǎn)精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)一、運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理一、運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理推斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1：函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知原函數(shù)是上的增函數(shù)，，，故依據(jù)零點(diǎn)存在定理得到零點(diǎn)存在于上，故選B．二、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定二、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定例2：已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上解的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是上的偶函數(shù)，可得，又，可得，故可得，即，即函數(shù)的周期是，又時(shí)，，要探討方程在區(qū)間上解的個(gè)數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間有幾個(gè)交點(diǎn)．畫出兩函數(shù)圖象如下，由圖知兩函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)．故選B．三、求函數(shù)零點(diǎn)三、求函數(shù)零點(diǎn)例3：已知定義在上的奇函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上全部零點(diǎn)之和（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)奇函數(shù)滿意，可知其周期為，∵函數(shù)的一條對稱軸為，可由向右平移個(gè)單位得到，在同一坐標(biāo)系作出與的圖象如圖：依據(jù)圖像可知函數(shù)與的圖象均關(guān)于點(diǎn)對稱，且函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有四個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間上全部零點(diǎn)之和為，故選D．四、四、依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)狀況求參數(shù)的取值范圍例4：函數(shù)，方程有個(gè)不相等實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象：設(shè)，有兩個(gè)不同的根，，故當(dāng)時(shí)，將代入方程得到，此時(shí)關(guān)于的方程的根是，，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，故方程有個(gè)不相等實(shí)根，符合題意要求，所以，故答案為C．五、二分法五、二分法例5：在用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)的過程中，取區(qū)間上的中點(diǎn)，若，則函數(shù)在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)（）A．在區(qū)間內(nèi) B．在區(qū)間內(nèi)C．在區(qū)間或內(nèi) D．等于【答案】D【解析】依據(jù)用二分法求方程的近似解的方程和步驟，函數(shù)在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)．故選D．對點(diǎn)對點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．函數(shù)的零點(diǎn)肯定位于區(qū)間（）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，因?yàn)椋?，所以函?shù)的零點(diǎn)肯定位于區(qū)間內(nèi)．故選B．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，．所以函?shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選B．3．函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，分別作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知函數(shù)的對稱性，可知兩函數(shù)圖象均關(guān)于對稱．由圖可知，函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和等于．故選D．4．已知是定義在上且以為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在上必有．當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得．因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的奇函數(shù)，所以，此時(shí)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)，，．，此時(shí)在區(qū)間上有四個(gè)零點(diǎn)，，，．當(dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，．所以共有個(gè)零點(diǎn)．故選D．5．用二分法求如圖所示函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，不行能求出的零點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)必需滿意在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號，而圖中函數(shù)在零點(diǎn)的兩側(cè)的函數(shù)值都是負(fù)值，故不能用二分法求出．故選C．6．定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿意對，有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，∴，∴圖象關(guān)于直線對稱，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，由圖可知，要使至少要有個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖像至少要有個(gè)交點(diǎn)，則有，且點(diǎn)在函數(shù)的下方，即，故選B．7．已知是函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和，即在上的全部實(shí)數(shù)根之和，即在上的全部實(shí)數(shù)根之和．令，，因?yàn)榭芍瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖象知，兩個(gè)函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，且個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故選B．8．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，由，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值為．方程化為，解得或．畫出函數(shù)的圖象如圖：依據(jù)圖象可知的取值范圍是時(shí)，方程有個(gè)解．故選C．9．已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿意對隨意的，有，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，故，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)．令，得到，也即函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則需直線的斜率在兩條切線的斜率之間．當(dāng)時(shí)，．將代入并化簡得，其判別式，解得或（舍）．同理，當(dāng)時(shí)，，將代入化簡后，同樣令判別式為零，求得或（舍）．所以實(shí)數(shù)的范圍是，故選B．10．已知函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的推斷正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)C．無論為何值，均有個(gè)零點(diǎn)D．無論為何值，均有個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】分四種狀況探討：①時(shí)，，∴，此時(shí)的零點(diǎn)為；②時(shí)，，∴，則時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，沒有零點(diǎn)；③若，時(shí)，，則時(shí)，，，可得，有一個(gè)零點(diǎn)，若時(shí)，則，沒有零點(diǎn)；④若，時(shí)，，則時(shí)，即可得，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，沒有零點(diǎn)．綜上可知，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．故選B．11．已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)不行能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，視察圖象，當(dāng)時(shí)，則或，此時(shí)對應(yīng)的有四個(gè)解，即方程有個(gè)根，當(dāng)時(shí)，則或或，對應(yīng)的的有個(gè)解，即方程有個(gè)根，同理可得當(dāng)，，，，分析，結(jié)合的取值狀況，可知方程的根不行能為，故選D．12．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，得，或，即或，又，，所以①或②所以，滿意的可行域如圖或圖中的陰影部分所示，則表示點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，當(dāng)，滿意不等式組①時(shí)，的最大值在點(diǎn)處取得，為，的取值范圍為；當(dāng)，滿意不等式組②時(shí)，的最小值在點(diǎn)處取得，依據(jù)，得，所以最小值為，的取值范圍為，綜上所述，可得的取值范圍為故選A．二、填空題13．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．【答案】【解析】由題意知，所以．當(dāng)時(shí)，令，即，令，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．14．對于函數(shù)與，若存在，，使得，則稱函數(shù)與互為“零點(diǎn)親密函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)與互為“零點(diǎn)親密函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】易知函數(shù)為增函數(shù)，且，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則取，由，知．由與互為“零點(diǎn)親密函數(shù)”知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有解，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．15．已知函數(shù)和在的圖象如圖，給出下列四個(gè)命題：①方程有且僅有個(gè)根；②方程有且僅有個(gè)根；③方程有且僅有個(gè)根；④方程有且僅有個(gè)根，其中正確命題是． 【答案】①③④【解析】∵函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中，，，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，所以方程有且僅有個(gè)根，∴①正確．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中，，當(dāng)時(shí)有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)有一個(gè)解，所以方程有且僅有