2024秋高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．方程eq\f(x2,2sinθ＋4)＋eq\f(y2,sinθ－3)＝1(θ∈R)所表示的曲線是()A．焦點在x軸上的橢圓B．焦點在y軸上的橢圓C．焦點在x軸上的雙曲線D．焦點在y軸上的雙曲線答案：C2．設(shè)點P在雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上，若F1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，則△F1PF2的周長等于()A．22 B．16 C．14 D．12解析：由雙曲線定義知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由兩式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，進(jìn)而易得△F1PF2的周長為22.答案：A3．雙曲線eq\f(x2,m2＋12)－eq\f(y2,4－m2)＝1的焦距是()A．16 B．4 C．8 D．2eq\r(2m2－8)答案：C4．若方程eq\f(y2,4)－eq\f(x2,m＋1)＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是()A．－1<m<3 B．m>－1C．m>3 D．m<－1解析：依題意應(yīng)有m＋1>0，即m>－1.答案：B5．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)和雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.eq\f(1,2)(m－a)C．m2－a2 D.eq\r(m)－eq\r(a)解析：由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m).①由雙曲線的定義知||PF1|－|PF2||＝2eq\r(a).②①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：A二、填空題6．已知雙曲線兩個焦點的坐標(biāo)為F1(0，－5)，F(xiàn)2(0，5)，雙曲線上一點P到F1，F(xiàn)2的距離之差的肯定值等于6.則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．因為2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16.所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.答案：eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝17．P是雙曲線x2－y2＝16的左支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點，則|PF1|－|PF2|＝________．解析：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1，故a2＝16，a＝4，2a＝8.P在左支上，|PF1|<|PF2|，所以|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8.答案：－88．若雙曲線以橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過橢圓的兩個焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點在x軸上，且a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，所以焦點為(±eq\r(7)，0)，左右頂點為(±4，0)．于是雙曲線經(jīng)過點(±eq\r(7)，0)，焦點為(±4，0)，則a′＝eq\r(7)，c′＝4，所以b′2＝9，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1三、解答題9．已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦點，且與橢圓的一個交點的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程．解：由題意可得，橢圓的焦點為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0，3)，故可設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由條件知，雙曲線與橢圓有一個交點的縱坐標(biāo)為4，可得兩交點的坐標(biāo)為A(eq\r(15)，4)，B(－eq\r(15)，4)，由點A在雙曲線上知，eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(16,a2)－\f(15,b2)＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以所求雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.10.如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5，0)，半徑r1＝1；圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5，0)，半徑r2＝4.設(shè)動圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.所以點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5，于是b2＝c2－a2＝eq\f(91,4).所以動圓圓心M的軌跡方程為eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(91,4))＝1(x≤－eq\f(3,2))．B級實力提升1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦點在x軸上的雙曲線，則k的取值范圍為()A．－1＜k＜1 B．k＞1C．k＜－1 D．k＞1或k＜－1答案：A2．已知雙曲線x2－y2＝1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|＋|PF2|＝________．解析：由雙曲線的定義知||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(2eq\r(2))2＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4.所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝(4＋2|PF1|·|PF2|)＋2|PF1|·|PF2|＝20.所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)3．已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，如圖，點A的坐標(biāo)為(－eq\r(5)，0)，B是圓x2＋(y－eq\r(5))2＝1上的點，點M在雙曲線的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解：設(shè)點D的坐標(biāo)為(eq\r(5)，0)，則點A，D是雙曲線的焦點，由雙曲線的定義，得|MA|－|MD|＝2a＝2.所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又