甘肅省嘉峪關(guān)市酒鋼三中2024-2025學年高二下學期開學考試數(shù)學試卷（解析版）

第頁，共頁第17頁，共17頁嘉峪關(guān)市酒鋼三中2024~2025學年第二學期開學考試高二數(shù)學試卷命題人：劉旭雅審題人：吳瓊一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知橢圓，則下列各點不在橢圓內(nèi)部的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點和橢圓位置關(guān)系的判斷方法，分別把點的坐標代入橢圓方程的左側(cè)部分，計算其數(shù)值大于的點即為答案.【詳解】由橢圓方程，因為，所以點在橢圓內(nèi)部，A錯誤；因，所以點在橢圓內(nèi)部，B錯誤；因為，所以點在橢圓外部，C正確；因為，所以點在橢圓內(nèi)部，D錯誤.故選：C.2.在等差數(shù)列中，若，，則（）A.195 B.196 C.197 D.198【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求解.【詳解】解：方法一：設等差數(shù)列的首項為，公差為d，則解得所以，所以.方法二：設等差數(shù)列的公差為d，則..故選：C3.已知點，，則以線段為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為直徑得到圓心坐標和半徑，然后求圓的方程即可.【詳解】由題意得圓心為，即，半徑，所以圓的方程為.故選：B4.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.19 B.21 C.23 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法求通項即得.【詳解】在數(shù)列中，，，所以.故選：B5.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故A錯誤；對于B，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故B錯誤；對于C，假設向量共面，則，即，這與題設矛盾，假設不成立，可以構(gòu)成基底，故C正確；對于D，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故D錯誤；故選：C.6.圓在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】容易知道點為切點，圓心，設切線斜率為k，從而，由此即可得解.【詳解】將圓的方程化為標準方程得，∵點在圓上，∴點P為切點．從而圓心與點P的連線應與切線垂直．又∵圓心為，設切線斜率為k，∴，解得．∴切線方程為．故選：D.7.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出的歐拉線即為線段的垂直平分線，求出線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】因為的頂點，，所以線段的中點坐標為，線段所在直線的斜率，所以線段的垂直平分線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，即，因為，所以的外心、重心、垂心都在線段的垂直平分線上，所以的歐拉線方程為.故選：A.8.已知實數(shù)，滿足：，則的取值范圍為（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】確定圓心和半徑，將題目轉(zhuǎn)化為點和點直線的斜率，畫出圖像，計算角度，計算斜率得到答案.【詳解】表示圓心為，半徑的圓，表示點和點直線的斜率，如圖所示：直角中，，故，，故，同理可得，對應的斜率為和.故，故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間中三個向量，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量B.與同向的單位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一個法向量是【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量共線判斷A；求出同向單位向量判斷B；求出投影向量判斷C；由法向量的意義判斷D.【詳解】對于A，，，設，則得，顯然無解，故與不是共線向量，A錯誤；對于B，與同向的單位向量是，B正確；對于C，在方向上的投影向量為，C正確；對于D，，，即坐標為的向量，與、都垂直，因此平面ABC的一個法向量是，D正確.故選：BCD10.已知直線經(jīng)過第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，冪函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】因為直線經(jīng)過第一、二、三象限，可得，，由直線的斜率小于1，可得，結(jié)合，可得，由絕對值的性質(zhì)，可得，所以A正確；由冪函數(shù)的單調(diào)性，，所以B正確；由，所以，所以C錯誤；由，所以，所以D錯誤.故選：AB.11.已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（）A.若，，則.B.若則C.若，則數(shù)列是等比數(shù)列D.若，則【答案】AB【解析】【分析】直接利用疊加法可判斷選項A，從而判斷，利用構(gòu)造新數(shù)列可求出B,D中數(shù)列的通項公式，可判斷，選項C求出數(shù)列的前3項從而可判斷.【詳解】選項A.由，即則故A正確.選項B.由得所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列.則，即，所以，故B正確.選項C.由，可得當時，當時，得，當時，得，顯然，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤.選項D.由，可得所以數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列.所以，則，即，故D錯誤.故選：AB【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，解答的關(guān)鍵是掌握求數(shù)列通項公式的常見方法，由疊加法可得，利用構(gòu)造新數(shù)列解決問題，屬于中檔題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正項等比數(shù)列前項和為，若，，則_______.【答案】【解析】【分析】用基本量法，求出首項和公比，再求?！驹斀狻吭O首項，公比，易知，∴，由于均為正，∴，∴。故答案為：。【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項公式和通項公式，解題方法是基本量法，即由已知首先求出首項和公比，然后再求通項公式和前項和公式。13.已知直線，.若，則實數(shù)_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程求解即可.【詳解】由題意可知且，因為直線，，且，所以，由，得，解得或，當時，，所以舍去，當時，滿足，所以，故答案為：14.過雙曲線的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點，則弦長______．【答案】8【解析】【分析】寫出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用弦長公式求解即可.（也可以直接使用雙曲線焦點弦長公式代值求解）【詳解】由雙曲線，得，，焦點為，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達定理知，代入弦長公式，得.法二：.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在等比數(shù)列中．（1）若，，，求和；（2）已知，，求.【答案】（1），.（2）或【解析】【分析】（1）（2）由等比數(shù)列通項公式和前項和公式列方程組求解即可.【小問1詳解】由得，解得，又由得，解得.所以，.【小問2詳解】顯然，則，，兩式相除得，解得，時可解得，則；時可解得，則.所以或16.已知等差數(shù)列的前項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．（1）求與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求的通項公式.（2）利用錯位相減法整理化簡即可求得前項和．【小問1詳解】等差數(shù)列的前項和為，，，設公差為所以，解得所以正項等比數(shù)列中，，，設公比為所以，所以解得，或（舍去）所以【小問2詳解】由（1）知：所以兩式相減得：17已知直線和點（1）求點關(guān)于直線的對稱點的坐標；（2）求直線關(guān)于點對稱的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算即可.【小問1詳解】設，由題意可得，解得，所以點的坐標為.【小問2詳解】在對稱直線上任取一點，設關(guān)于點的對稱點為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點的對稱直線的方程為.18.如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.（1）求證:平面ABCD;（2）若E是線段OC的中點，求點E到直線BP的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算，求點到直線的距離.【小問1詳解】因為四邊形為菱形，所以,因為，平面，所以平面，因為平面，所以,因為，為中點，所以，又因為平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，方向為軸方向，建系如圖，因為,所以為異面直線所成角，所以，在菱形中，，因為，所以,設，則，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以點E到直線BP的距離為.19.已知橢圓C：的焦距為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）在橢圓C上找一點P，使它到直線l：的距離最短，并求出最短距離.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）方法一：設與直線l：平行的直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式求解；方法二：設點，求得點P到直線l：的距離的表達式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1