八年級(jí)上冊(cè)《三角形的高、中線與角平分線》課件與練習(xí)

第十一章

三角形11.1與三角形有關(guān)的線段11.1.2三角形的高、中線與角平分線1.經(jīng)歷畫圖的過程，認(rèn)識(shí)三角形的高、中線與角平分線；2.會(huì)畫三角形的高、中線與角平分線；3.了解三角形的三條高所在的直線,三條中線,三條角平分線分別交于一點(diǎn).學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.1.畫一畫如圖，P為線段AB右上方一點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線.P

●AB2.

如圖，如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？ACBAC=BC=AB3.如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？∠AOC=∠BOCACBO三角形的高的定義A從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，BC向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足D之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.012345678910012345012345知識(shí)點(diǎn)1三角形高的概念學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】ABCD如右圖，

線段AD是BC邊上的高.012345678910012345012345幾何語言：AD⊥BC于點(diǎn)D，讀作AD垂直BC于點(diǎn)D或∠ADC=∠ADB=90°.你還能畫出一條高來嗎？一個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)該有三條高.畫一畫(1)你能畫出這個(gè)三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn)；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.如圖所示；銳角三角形的三條高直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;ABC(1)畫出直角三角形的三條高，ABBC它們有怎樣的位置關(guān)系？D直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).BD直角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD鈍角三角形的三條高ABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？(4)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)；鈍角三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn).311相交相交不相交相交相交相交三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn).三條高所在直線的交點(diǎn)的位置三角形的三條高的特性：高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)三角形外部例1作△ABC的邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

)D素養(yǎng)考點(diǎn)1識(shí)別三角形的高方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)；(2)為頂點(diǎn)到其對(duì)邊所在直線的垂線段.在下圖中，正確畫出△ABC中邊BC上高的是(

)

A

B

C

DADCBADCBADCBADCBC例2如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值為____．素養(yǎng)考點(diǎn)2利用三角形的高求值解析：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP的值最小.∵S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，∴BC·AD=AC·BP∴BC·AD=AC·BP∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值為方法總結(jié)：可利用面積相等作橋梁(但不求面積)求三角形的高，此解題方法通常稱為“面積法”．如圖，(1)寫出以AE為高的三角形;(2)當(dāng)BC=8，AE=3，AB=6時(shí)，求AB邊上的高的長(zhǎng)度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)設(shè)AB邊上的高為x，∵S△ABC=BC·AE=AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.

我們學(xué)習(xí)了三角形的高，我們已經(jīng)知道了三角形的面積公式，你能經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)畫一條線段，將這個(gè)三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形嗎？三角形中線的概念知識(shí)點(diǎn)2學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】如圖，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則線段AD是△ABC的中線，幾何語言：BD=DC=BC．

在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．三角形的中線的定義如上頁(yè)圖，畫出△ABC的另兩條中線，觀察三條中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？畫一個(gè)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再分別畫出這三個(gè)三角形的三條中線.

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心．

三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.1.定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和所對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.2.三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn).3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形內(nèi)部.4.三角形的任何一條中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.如上圖：AD為中線，則S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一邊上的中線把三角形分成的兩個(gè)小三角形周長(zhǎng)之差等于原三角形長(zhǎng)邊與短邊之差.△ABD的周長(zhǎng)–△ACD的周長(zhǎng)=AB–AC.歸納總結(jié)例

如圖所示，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長(zhǎng)為25cm，AB比AC長(zhǎng)6cm，則△ACD的周長(zhǎng)為(

)A.19cm

B.22cm

C.25cm

D.31cm

利用三角形的中線求線段的值A(chǔ)素養(yǎng)考點(diǎn)3解：∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周長(zhǎng)的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB

–AC.

∵△ABD的周長(zhǎng)為25cm，AB比AC長(zhǎng)6cm，

∴△ACD的周長(zhǎng)為25–6=19(cm).如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．

(1)AC=

AE，AE=_____；

CD=

；

AF=

AB；

(2)若S△ABC

=12cm2，

則S△ABD=

．2BD6cm2ABCDEFGEC如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．(3)若AB=4，AC=3，則△ABD的周長(zhǎng)與△ACD的周長(zhǎng)之差是______.ABCDEFG1在一張薄紙上任意畫一個(gè)三角形，你能設(shè)法畫出它的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎?你能通過折紙的方法得到它嗎?知識(shí)點(diǎn)3三角形的角平分線學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】BAC用量角器畫最簡(jiǎn)便，用圓規(guī)也能.

在一張紙上畫出一個(gè)三角形并剪下，將它的一個(gè)角對(duì)折，使其兩邊重合.折痕AD即為三角形的∠A的平分線.ABCD在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫三角形的角平分線.12ABCD“三角形的角平分線”是一條線段.幾何語言：∠1=∠2=∠BAC三角形的角平分線的定義每人準(zhǔn)備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個(gè).

(1)你能分別畫出這三個(gè)三角形的三條角平分線嗎?

(2)你能用折紙的辦法得到它們嗎?(3)在每個(gè)三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的位置關(guān)系?做一做三角形共有三條內(nèi)角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn).三角形角平分線的性質(zhì)例

如圖，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，

AD是△ABC的一條角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABDC利用三角形的角平分線求角的度數(shù)素養(yǎng)考點(diǎn)4解：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD＝180°–36°–34°

＝110°.ABDC

如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.ABCDEF12341234∠2∠ABC∠41.如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（）DABCD2.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn),那么這個(gè)三角形是（

）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形B3．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點(diǎn)C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在

三角形外D．三角形的角平分線是射線B4.如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直線AC翻折180°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′的位置,則線段AC具有性質(zhì)()

A.是邊BB′上的中線B.是邊BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分線D.以上三種性質(zhì)合一D5.填空：（1）如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿＿.圖①AFDCAC5.填空：(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=_______，∠3=________，∠ABC=2______.

圖②∠CAD∠2∠BCF6.如圖，在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm,△DBC的周長(zhǎng)為25cm,求△ADC的周長(zhǎng).ADBC解：∵CD是△ABC的中線，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,∴

△DBC與△ADC的周長(zhǎng)差是5cm.又∵

△DBC的周長(zhǎng)為25cm，∴

△ADC的周長(zhǎng)為25-5=20(cm).ADBC7.如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.三角形的重要線段概念圖形表示法數(shù)量及交點(diǎn)位置三角形的高線從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段∵AD是△ABC的高線.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3條高，銳角三角形：形內(nèi)；鈍角三角形：形外；直角三角形：直角頂點(diǎn)三角形的中線三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中的線段3條，交點(diǎn)叫作三角形的重心.形內(nèi)三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段3條，形內(nèi).

1.

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫

，頂點(diǎn)和

間的線段叫做三角形的高.三角形三條高

?交于一點(diǎn).2.

三角形的三條中線

于一點(diǎn)，三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三

角形的

.三角形的中線平分

?.3.

三角形的角平分線是一條

，三角形的三條角平分線

于一點(diǎn).垂線垂足所在直線相交重心三角形面積線段相交

課后作業(yè)

1.

如圖，用三角板作△

ABC

的邊

AB

上的高，下列三角板的擺放位置正

確的是(

B

)B2.

如圖所示，

AC

⊥

BC

于點(diǎn)

C

，

CD

⊥

AB

于點(diǎn)

D

，圖中可以作為三角

形“高”的線段有(

D

)A.

1條B.

2條C.

3條D.

5條D3.

下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是(

A

)①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、

三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角

形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn).A.

1個(gè)B.

2個(gè)C.

3個(gè)D.

4個(gè)A4.

如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4.有以下結(jié)論：①

AD

平分∠

BAF

；②

AF

平分∠

BAC

；③

AE

平分∠

DAF

；④

AF

平分∠

DAC

；⑤

AE

平分∠

BAC

.

其中正確的是

?.③⑤

5.

如圖，在△

ABC

中，

BE

是角平分線，點(diǎn)

D

在邊

AB

上(不與點(diǎn)

A

，

B

重合)，

CD

與

BE

交于點(diǎn)

O

.

若

CD

是中線，

BC

＝3，

AC

＝2，求△

BCD

與△

ACD

的周長(zhǎng)差.解：∵

CD

是△

ABC

的中線，∴

AD

＝

BD

.

∵△

BCD

的周長(zhǎng)＝

BC

＋

CD

＋

BD

，△

ACD

的周長(zhǎng)＝

AC

＋

CD

＋

AD

，

CD

＝

CD

，

AD

＝

BD

，∴△

BCD

與△

ACD

的周長(zhǎng)差為

BC

－

AC

＝3－2＝1.第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》同步練習(xí)

三角形的高1.

如圖，Rt△

ABC

是一塊三角尺，其中∠

C

＝90°，∠

BAC

＝30°.

直尺的一邊

DE

經(jīng)過頂點(diǎn)

A

.

若

DE

∥

CB

，則∠

DAB

的度數(shù)為(

B

)A.

100°B.

120°C.

135°D.

150°B2.

下列各圖中，△

ABC

的邊

AB

上的高線畫法正確的是(

B

)B

三角形的中線3.

在△

ABC

中，

AD

是△

ABC

的中線.看到圖形，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)給出四個(gè)不同的結(jié)論，其中正確的是(

D

)甲：

AD

⊥

BC

；乙：∠

BAD

＝∠

CAD

；丙：

AB

＝

AC

；?。?/p>

BD

＝

CD

.

DA.

甲B.

乙C.

丙D.

丁【解析】∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

D

是

BC

的中點(diǎn).∴

BD

＝

CD

，故丁同學(xué)的結(jié)論正確.4.

如圖所示，在△

ABC

中，點(diǎn)

D

，

E

，

F

分別為

BC

，

AD

，

CE

的中點(diǎn)，且

S△

ABC

＝4

cm2，則陰影部分的面積為

.

cm2.1

第4題圖【解析】∵中線能平分三角形的面積，易得△

ABD

，△

ACD

的面積均為△

ABC

面積的一半，同理可得△

BEC

的面積等于△

ABC

面積的一半，為2，那么陰影部分的面積等于△

BEC

面積的一半，為1.【變式】若圖中

CF

＝3

EF

，其他條件不變，則△

BEF

的面積為

.

cm2.

第4題圖5.

如圖，已知

AD

為△

ABC

的中線，

AB

＝12，

AC

＝9，△

ACD

的周長(zhǎng)為27，則△

ABD

的周長(zhǎng)為

?.第5題圖30

三角形的角平分線6.

如圖，將△

ABC

折疊，使

AC

邊落在

AB

邊上，展開后得到折痕

l

，則

l

是△

ABC

的(

C

)A.

中線B.

高線C.

角平分線D.

以上都不對(duì)C7.

如圖，

D

是△

ABC

中

BC

邊上的一點(diǎn)，

DE

∥

AC

，交

AB

于點(diǎn)

E

.

若

∠

ADE

＝∠

DAE

.

試說明：

AD

是△

ABC

的角平分線.解：∵

DE

∥

AC

，∴∠

ADE

＝∠

CAD

.

∵∠

ADE

＝∠

DAE

，∴∠

CAD

＝∠

DAE

.

∴

AD

是△

ABC

的角平分線.【變式】如圖，

AD

是△

ABC

的角平分線.(1)若

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，

DE

，

DF

分別交

AB

，

AC

于點(diǎn)

E

，

F

.

請(qǐng)

在圖中作出

DF

，探究∠

ADE

與∠

ADF

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解：(1)如圖，

DF

即為所求.∠

ADE

＝∠

ADF

.

理由：如圖，∵

AD

是△

ABC

的角平分線，∴∠1＝∠2.∵

DE

∥

AC

，

DF

∥

AB

，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.∴∠3＝∠4，即∠

ADE

＝∠

ADF

.

(2)若

DE

⊥

AB

，

DF

⊥

AC

，垂足分別為

E

，

F

，直接寫出∠

ADE

與∠

ADF

的數(shù)量關(guān)系.解：(2)∠

ADE

＝∠

ADF

.

8.

小明在一個(gè)質(zhì)地均勻的三角形硬紙板上找到一點(diǎn)，