八年級上冊《三角形的外角》課件與練習

11.2.2

三角形的外角

第十一章

三角形11.2與三角形有關的角情境引入1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能夠在復雜圖形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性質和三角形外角和．3.會利用三角形的外角性質解決有關問題.學習重點：掌握三角形的外角的性質和三角形外角和．學習難點：會利用三角形的外角性質解決有關問題.

1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.48°2.如下圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？三角形相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，它們的和是180°.足球比賽中的數(shù)學知識

在綠茵場上，足球員在E處受到阻擋需要傳球，請幫助作出選擇，應傳給在B處的球員還是C處的球員，其射門不易射偏？（不考慮其他因素）在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉了一個角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來位置時（方向與出發(fā)時相同），一共轉了多少度？想一想知識點1三角形的外角的概念學生活動一

【一起探究】BDCAO●40°70°？●●●發(fā)現(xiàn)懶羊羊獨自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進到C處，然后再折回到B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉多少度角才能直達B處？利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來求∠BCD，你會嗎？BDCAO●40°70°？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.【思考】像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？試猜想它的性質.定義如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個外角.CBAD如圖，延長AC到E，∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？ECBAD∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.問題1：E在三角形每個頂點處都有兩個外角.∠ACD與∠BCE為對頂角，∠ACD=∠BCE；CBAD如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？問題2：ABC畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢?

每一個三角形都有6個外角．

每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.三角形的外角應具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線.CBADFABCDE如圖，∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.ACBD三角形的外角的性質如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關系？知識點2學生活動二

【一起探究】三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∠BCD與∠ACB互補.如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關系？ACBD三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結論嗎？D證明：過C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠A，

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.三角形內(nèi)角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.應用格式：∵∠ACD是△ABC的一個外角.∴∠ACD=∠A+∠B.說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°，∠2=140°∠1=18°，∠2=130°素養(yǎng)考點1利用三角形外角的性質求角的度數(shù)例1

如圖，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度數(shù).FADEB∵∠BEC是△AEC的一個外角，∴

∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一個外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB分析：根據(jù)平行線的性質求出∠C，再根據(jù)三角形外角性質即可求出∠3.解：∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.如圖，直線AB，CD被BC

所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，

則∠3＝________度．80例2

如圖，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．

分析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角的性質即可求出∠A的度數(shù)．E素養(yǎng)考點2借助輔助線求角的度數(shù)解：延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法點撥：求角的度數(shù)，常連接并延長或延長三角形的邊長，通過構造三角形的外角，利用外角的性質解決.如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點撥：添加適當?shù)妮o助線將四邊形問題轉化為三角形問題.變式題ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長于點E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結論？ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長BD交AC于點E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.)2F

解題的關鍵是正確地構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.總結如圖，求證：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.證明：延長BO交AC于點D，因為三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.D如圖①，試比較∠2、∠1的大??；如圖②，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖圖解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.三角形的外角大于與它不相鄰的內(nèi)角.如圖，∠A，∠1，∠2的大小關系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1

B如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？三角形的外角和定理知識點3學生活動三

【一起探究】ABCEFD((((((213解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–

180°=360°.ABCEFD((((((213解法三：過A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，結論：三角形的外角和等于360°.【思考】你能總結出三角形的外角和的數(shù)量關系嗎？DEF

下列對三角形的外角和敘述正確的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不對C1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）（3）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角.（）（6）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.（）2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A3.（1）如圖，∠BDC是________的外角,

也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).△ADE△ADCABCDE解：根據(jù)三角形外角的性質有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE,所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.解：因為∠ADC是△ABD的外角，4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).∵在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因為∠B=∠BAD，ABCD123BACPNMDEF5.如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.360°三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長線性質三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°

1.

三角形的一邊與另一邊的

組成的角，叫做三角形的外

角；三角形的每個頂點處都有

個外角，且這兩個外角

?.2.

三角形的外角等于與它

的兩個內(nèi)角的和，因此它

?

與它不相鄰的任意一個內(nèi)角.延長線兩相等不相鄰大于

課后作業(yè)1.

圖1是一路燈的實物圖，圖2是該路燈的平面示意圖，∠

MAC

＝50°，∠

ACB

＝20°，則圖2中∠

CBA

的度數(shù)為(

C

)A.

15°B.

20°C.

30°D.

50°第1題圖C

2.

如圖，圖中

x

的值為(

C

)A.

40B.

50C.

60D.

70第2題圖C3.

如圖，直線

AB

∥

CD

，若∠

B

＝60°，∠

D

＝20°，則∠

E

的度數(shù)

是(

B

)A.

20°B.

40°C.

50°D.

70°第3題圖B4.

如圖，∠1，∠2，∠3是△

ABC

的外角，若∠1∶∠2∶∠3＝4∶3∶2，則∠

ABC

的度數(shù)為(

A

)A.

60°B.

80°C.

90°D.

100°第4題圖A5.

某加工零件標出的部分數(shù)據(jù)(如圖)，小明說，這四個數(shù)據(jù)中有一個標

錯了，請你完善以下修改方案：若∠

A

，∠

B

，∠

BCD

所標數(shù)據(jù)正

確，則圖中∠

D

所標數(shù)據(jù)應

(填“增大”或“減小”)

?°.增大5

第十一章三角形11.2與三角形有關的角《11.2.2三角形的外角》同步練習

認識三角形的外角1.

如圖，△

BCE

的一個外角是(

C

)A.

∠

A

B.

∠

ACE

C.

∠

AEC

D.

∠

BCD

C2.

三角形的三個外角中，鈍角最多有

個，銳角最多

個，直

角最多有

個.3

1

1

三角形的外角的性質3.

如圖，∠

CBD

是△

ABC

的一個外角，∠

CBD

＝80°，∠

A

＝35°，

則∠

C

＝(

C

)A.

35°B.

40°C.

45°D.

55°C4.

體育課上的側壓腿動作可以抽象為幾何圖形(如圖)，

如果∠1＝110°，則∠2等于(

B

)A.

10°B.

20°C.

25°D.

30°B5.

如圖，∠

A

，∠1，∠2的大小關系是(

B

)A.

∠

A

＞∠1＞∠2B.

∠2＞∠1＞∠

A

C.

∠

A

＞∠2＞∠1D.

∠2＞∠

A

＞∠1【解析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角可得

∠1＞∠

A

，∠2＞∠1.∴∠2＞∠1＞∠

A

.

B6.

下面是投影屏上出示的搶答題，需回答橫

線上符號代表的內(nèi)容.回答正確的是(

A

)已知：如圖，∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

.

求證：

AB

∥

CD

.

證明：延長

BE

交※于點

F

，則∠

BEC

＝◎＋∠

C

.

又∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

，得∠

B

＝▲.故

AB

∥

CD

(@相等，兩直線平行).AA.

◎代表∠

EFC

B.

@代表同位角C.

▲代表∠

FEC

D.

※代表

EC

【解析】延長

BE

交

CD

于點

F

，則∠

BEC

＝∠

EFC

＋∠

C

.

又∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

，得∠

B

＝∠

EFC

.

故

AB

∥

CD

(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).∴※代表

CD

，◎代表∠

EFC

，▲代表∠

EFC

，@代表內(nèi)錯角.∴A選項回答正確，符合題意.7.

如圖，∠1，∠2，∠3是△

ABC

互不相等的三個外角，則∠1＋∠2＋

∠3的大小為

?.360°

8.

將一副透明三角尺如圖放置，使點

A

落在

DE

上，三角尺

ABC

的頂點

C

與三角尺

CDE

的直角頂點

C

重合.若

BC

∥

DE

，

AB

與

CE

交于點

F

，

則∠

AFC

的度數(shù)為(

D

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

75°D【解析】∵

BC

∥

DE

，∠

E

＝30°，∴∠

BCE

＝∠

E

＝30°.∵∠

B

＝45°，∴∠

AFC

＝∠

B

＋∠

BCE

＝45°＋30°＝75°.9.

推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.已知：如圖，∠

ACD

是△

ABC

的外角.求證：∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

.

證法1：∵∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，又∵∠

ACD

＋∠

ACB

＝180°(平角定義)，∴∠

ACD

＋∠

ACB

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

(等量代換).∴∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

(等式的性質).證法2：∵∠

A

＝76°，∠

B

＝59°，且∠

ACD

＝135°(量角器測量所得)，又∵135°＝76°＋59°(計算所得)，∴∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

(等量代換).下列說法正確的是(

B

)BA.

證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B.

證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理C.

證法2用特殊到一般法證明了該定理D.

只要用證法2測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理【解析】∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴謹?shù)?/p>

推理論證，得出結論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的

三角形，∴A的說法不正確，不符合題意.B的說法正確，符合題意.∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，∴C的說法不正確，不符合題意.∵定理的證明必須經(jīng)過嚴謹?shù)耐评碚撟C，與測量次數(shù)的多少無關，∴D的說法不正確，不符合題意.綜上，B的說法正確.10.

如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，

AE

與

BD

的交點為

C

，且∠

A

，∠

B

，∠

E

保持不變.為了舒適，需調(diào)整∠

D

的大小，使∠

EFD

＝

110°，則圖中∠

D

應

(填“增加”或“減少”)

?°.減少10

【解析】如圖，延長

EF

交

CD

于點

G

.

∵∠

CAB

＝50°，∠

ABC

＝60°，∴∠

ACB

＝180°－50°－60°＝70°.∴∠

ECD

＝∠

ACB

＝70°.∵∠

DGF

＝∠

DCE

＋∠

E

，∴∠

DGF

＝70°＋30°＝100°.∵∠

EFD

＝110°，∠

EFD

＝∠

DGF

＋∠

D

，∴∠

D

＝10°.而圖中∠

D

＝20°，∴∠

D

應減少10°.【變式1】寫出上圖中∠

DFE

與∠

DCE

，∠

D

，∠

E

的數(shù)量關系

?

?；∠

DFE

＝∠

DCE

＋∠

D

＋∠

E

【變式2】如圖，

M

，

N

分別為

CD

，

CE

上的點，連接

FM

，

FN

，寫

出∠

DMF

，∠

F

，∠

FNE