八年級上冊《三角形的內(nèi)角和》課件與練習

第十一章

三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角第1課時

三角形的內(nèi)角和1.會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.2.會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.

學習重點：會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.學習難點：會運用三角形內(nèi)角和定理進行計算.

一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學們作為小判官給它們評判一下吧.不對，我有一個鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.

我們在小學已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.與三角形的形狀、大小無關(guān).【思考】你有什么辦法可以驗證三角形的內(nèi)角和為180°呢?知識點三角形的內(nèi)角和學生活動

【一起探究】【思考】你有什么辦法可以驗證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？剪拼ABC21測量480720600600＋480＋720＝1800銳角三角形三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.三角形的內(nèi)角和定理的證明在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.還有其他的拼接方法嗎？觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？三角形三個內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠C=∠2.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3：過D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.同學們還有其他的方法嗎？【思考】

多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同學們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟.試一試

為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)

為了證明三個角的和為180°，通過作平行線，利用平行線的性質(zhì)，把所證問題轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的常用方法.作輔助線利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)素養(yǎng)考點1例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，

AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCDABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．變式題解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)

＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，則∠A的度數(shù)為(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°D如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE∥AB，交AC于點E，則∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°C例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.

直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角尺如圖放置，∠1＝85°，則∠2＝________．40°l1l2基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得

∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.34歸納總結(jié)例3在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).素養(yǎng)考點2方程的思想與三角形內(nèi)角和定理的綜合應用解:設(shè)∠B度數(shù)為x，則∠A度數(shù)為3x，∠C度數(shù)為(x＋

15)，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.方法點撥：三角形中求角的度數(shù)問題，當角之間存在數(shù)量關(guān)系時，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，列方程求解.北.AD北.CB.東E如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？三角形的內(nèi)角和定理也常常用在實際問題中.北.AD北.CB.東E解：由題意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°

=90°.答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60°,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.聰明的你，還有方法嗎？1.填空。

（1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=65°，則∠C=_____.

（2）在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，則∠B=_____.

（3）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，則∠A=_____.

（4）在△ABC中，∠C=30°，∠A：∠B=1：2，

則∠B=

_____.

25°69°60°100°1.填空。（5）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是

_________三角形.

（6）在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,

則∠A=

，∠B=

，∠C=

.直角60°50°70°2.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．3.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度數(shù).解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.4.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數(shù)．

【變式題】你能直接寫出∠BPC與∠A

之間的數(shù)量關(guān)系嗎？三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于180°

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于

?.180°

課后作業(yè)

1.

在△

ABC

中，若3∠

A

＝2∠

B

＝∠

C

，則此三角形是(

B

)A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

等腰三角形B2.

如圖，小明將一張三角形紙片(△

ABC

)沿著

DE

折疊(點

D

，

E

分別在

邊

AB

，

AC

上)，并使點

A

與點A'重合.若∠

A

＝70°，則∠1＋∠2的度

數(shù)為(

A

)A.

140°B.

160°C.

100°D.

80°A3.

在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這兩

個角互為“開心角”，這個三角形叫做“開心三角形”.例如：在△

ABC

中，∠

A

＝70°，∠

B

＝35°，則∠

A

與∠

B

互為“開心角”，△

ABC

為“開心三角形”.(1)若△

ABC

為開心三角形，∠

A

＝132°，則這個三角形中最小的內(nèi)角

的度數(shù)為

?；(2)若△

ABC

為開心三角形，∠

A

＝60°，則這個三角形中最小的內(nèi)角

的度數(shù)為

?.16°

30°或40°

4.

如圖，在△

ABC

中，

BO

，

CO

分別是∠

ABC

，∠

ACB

的平分線.(1)若∠

A

＝50°，則∠

BOC

＝

°；115

(2)若∠

A

＝α，用含α的式子表示∠

BOC

.

第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角《第1課時三角形的內(nèi)角和》同步練習

三角形的內(nèi)角和定理1.

【教材第16頁習題11.2第1題改編】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得

x

＋

y

的

值為(

B

)A.

180B.

110C.

100D.

70第1題圖【解析】由題圖可知，

x

＋

y

＝180－70＝110.B2.

如圖，∠

ABC

＝50°，點

D

，

E

分別在射線

BA

，

BC

上，將三角形

BED

沿著

DE

折疊，若點

B

恰好落在射線

DA

的

B'處，則∠BEB'的度數(shù)是(

B

)A.

50°B.

80°C.

100°D.

130°第2題圖B【解析】∵將三角形

BED

沿著

DE

折疊，點

B

恰好落在射線

DA

的

B'處，∴∠

B

＝∠BB'E＝50°.∴∠BEB'＝180°－∠

B

－∠BB'E＝180°－50°－50°＝80°.第2題圖3.

銳角三角形中任意兩個銳角的和必大于(

D

)A.

120°B.

110°C.

100°D.

90°D

方向角4.

【教材第12頁例2改編】如圖，

C

處在

B

處的北偏西40°方向，

C

處

在

A

處的北偏西75°方向，則∠

ACB

的度數(shù)為(

A

)A.

35°B.

38°C.

40°D.

45°A【解析】如圖，由題意得∠

CAD

＝75°，∠

CBE

＝40°，

AD

∥

BE

，∴∠

EBA

＋∠

BAD

＝180°.∴∠

EBA

＋∠

BAC

＝180°－∠

DAC

＝105°.∴∠

ACB

＝180°－(∠

CBE

＋∠

EBA

＋∠

BAC

)＝35°.

5.

如圖，將△

ABC

折疊，使邊

AC

落在邊

AB

上，展開后得到折痕

l

，若∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，則∠1＝(

D

)A.

50°B.

60°C.

70°D.

80°D【解析】設(shè)折痕

l

與

BC

邊交于點

D

，如圖所示.∵∠

B

＝50°，∠

C

＝70°，∴∠

BAC

＝180°－(∠

B

＋∠

C

)＝180°－(50°＋70°)＝60°.

∴∠1＝180°－(∠

C

＋∠

CAD

)＝180°－(70°＋30°)＝80°.6.

如圖，將△

ABC

沿

DE

，

HG

，

EF

翻折，三個頂點均落在點

O

處，若∠1＝131°，求∠2的度數(shù).解：由折疊的性質(zhì)，得∠

B

＝∠

HOG

，∠

A

＝∠

DOE

，∠

C

＝∠

EO