定積分教學(xué)設(shè)計與反思

定積分教學(xué)設(shè)計與反思?一、教學(xué)目標1.知識與技能目標理解定積分的概念，掌握定積分的幾何意義與物理意義。熟練運用牛頓萊布尼茨公式計算定積分。了解定積分在實際問題中的應(yīng)用，如求曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程等。2.過程與方法目標通過從曲邊梯形面積和變速直線運動路程等實際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷定積分概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和邏輯推理能力。在探究定積分計算方法的過程中，讓學(xué)生體會從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過對實際問題的研究，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點定積分的概念。牛頓萊布尼茨公式的理解與應(yīng)用。2.教學(xué)難點定積分概念中"分割、近似代替、求和、取極限"的理解。用定積分解決實際問題時，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為定積分問題。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、探究法相結(jié)合。通過講授讓學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)定積分的知識；組織學(xué)生討論，促進學(xué)生之間的思想交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力；引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在探究過程中深入理解定積分的概念和計算方法。

四、教學(xué)過程

（一）課程導(dǎo)入1.展示問題給出一個不規(guī)則圖形（如曲邊梯形），讓學(xué)生思考如何計算其面積。提出一個關(guān)于變速直線運動的問題：已知物體的速度函數(shù)\(v(t)\)，求在時間段\([a,b]\)內(nèi)物體運動的路程。2.引導(dǎo)思考讓學(xué)生回顧之前學(xué)過的規(guī)則圖形面積計算方法和勻速直線運動路程的計算方法，對比這些方法能否直接用于解決上述問題。引發(fā)學(xué)生對如何處理"曲"與"直"、"變"與"不變"的矛盾的思考，從而引入定積分的概念。

（二）定積分概念的形成1.以曲邊梯形面積為例分割將區(qū)間\([a,b]\)任意分成\(n\)個小區(qū)間\([x_{i1},x_i]\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，其中\(zhòng)(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)。每個小區(qū)間的長度為\(\Deltax_i=x_ix_{i1}\)。過每個分點作\(x\)軸的垂線，將曲邊梯形分成\(n\)個小曲邊梯形。近似代替在每個小區(qū)間\([x_{i1},x_i]\)上任取一點\(\xi_i\)，用以\(f(\xi_i)\)為高，\(\Deltax_i\)為底的小矩形的面積近似代替第\(i\)個小曲邊梯形的面積\(\DeltaS_i\)，即\(\DeltaS_i\approxf(\xi_i)\Deltax_i\)。求和把\(n\)個小矩形的面積相加，得到曲邊梯形面積\(S\)的近似值\(S_n=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)。取極限當分割越來越細，即\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\to0\)時，上述和式的極限就是曲邊梯形的面積\(S\)，即\(S=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)。2.變速直線運動路程問題類似地，對于變速直線運動路程問題：分割：將時間段\([a,b]\)分成\(n\)個小區(qū)間\([t_{i1},t_i]\)，\(i=1,2,\cdots,n\)，每個小區(qū)間長度為\(\Deltat_i=t_it_{i1}\)。近似代替：在每個小區(qū)間\([t_{i1},t_i]\)上任取一點\(\tau_i\)，用\(v(\tau_i)\Deltat_i\)近似代替物體在該時間段內(nèi)的路程\(\Deltas_i\)。求和：\(s_n=\sum_{i=1}^{n}v(\tau_i)\Deltat_i\)，得到路程\(s\)的近似值。取極限：當\(\lambda=\max\{\Deltat_1,\Deltat_2,\cdots,\Deltat_n\}\to0\)時，\(s=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}v(\tau_i)\Deltat_i\)。3.定積分概念的引出引導(dǎo)學(xué)生觀察上述兩個問題的求解過程，發(fā)現(xiàn)它們都經(jīng)過了"分割、近似代替、求和、取極限"這四個步驟，且最終的結(jié)果都表示為一個和式的極限。給出定積分的定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，用分點\(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)將區(qū)間\([a,b]\)等分成\(n\)個小區(qū)間，在每個小區(qū)間\([x_{i1},x_i]\)上任取一點\(\xi_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)），作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)（其中\(zhòng)(\Deltax=\frac{ba}{n}\)），當\(n\to\infty\)時，上述和式無限接近于某個常數(shù)\(I\)，那么稱該常數(shù)\(I\)為函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分，記作\(\int_{a}^f(x)dx\)，即\(\int_{a}^f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)，其中\(zhòng)(f(x)\)叫做被積函數(shù)，\(x\)叫做積分變量，\([a,b]\)叫做積分區(qū)間，\(a\)叫做積分下限，\(b\)叫做積分上限，\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax\)叫做積分和。

（三）定積分的幾何意義1.講解幾何意義當\(f(x)\geq0\)時，定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)、直線\(x=a\)、\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積。當\(f(x)\leq0\)時，定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)、直線\(x=a\)、\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形面積的相反數(shù)。當\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有正有負時，定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示曲線\(y=f(x)\)在\(x\)軸上方部分與下方部分面積的代數(shù)和。2.舉例說明畫出函數(shù)\(y=x^2\)在區(qū)間\([0,1]\)上的圖像，計算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)，并說明其幾何意義。計算\(\int_{1}^{1}x^3dx\)，結(jié)合函數(shù)\(y=x^3\)的圖像，分析其幾何意義。

（四）定積分的性質(zhì)1.基本性質(zhì)講解\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）\(\int_{a}^[f(x)\pmg(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx\pm\int_{a}^g(x)dx\)\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）2.性質(zhì)證明與應(yīng)用對于\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定積分的定義進行證明，讓學(xué)生體會定積分定義在證明性質(zhì)中的應(yīng)用。通過具體的例題，如計算\(\int_{1}^{2}(3x^2+2x)dx\)，利用定積分的性質(zhì)進行求解，讓學(xué)生熟練掌握定積分性質(zhì)的應(yīng)用。

（五）定積分的計算牛頓萊布尼茨公式1.引入原函數(shù)概念復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，然后提出問題：已知\(F^\prime(x)=f(x)\)，那么\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分與\(F(x)\)有什么關(guān)系？講解原函數(shù)的定義：如果在區(qū)間\(I\)上，函數(shù)\(F(x)\)的導(dǎo)數(shù)等于\(f(x)\)，即\(F^\prime(x)=f(x)\)，那么函數(shù)\(F(x)\)就稱為\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上的一個原函數(shù)。2.推導(dǎo)牛頓萊布尼茨公式設(shè)\(F(x)\)是\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，將區(qū)間\([a,b]\)進行分割\(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，每個小區(qū)間長度為\(\Deltax\)。根據(jù)拉格朗日中值定理，\(F(x_i)F(x_{i1})=F^\prime(\xi_i)\Deltax=f(\xi_i)\Deltax\)，其中\(zhòng)(\xi_i\in(x_{i1},x_i)\)。那么\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax=\sum_{i=1}^{n}[F(x_i)F(x_{i1})]=F(b)F(a)\)。當\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\to0\)時，\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)F(a)\)，這就是牛頓萊布尼茨公式，記作\(\int_{a}^f(x)dx=F(x)\big|_{a}^\)。3.公式應(yīng)用計算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)，首先求出\(y=x^2\)的一個原函數(shù)\(F(x)=\frac{1}{3}x^3\)，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式可得\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)。計算\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)，因為\(y=\frac{1}{x}\)的一個原函數(shù)是\(F(x)=\lnx\)，所以\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=\lnx\big|_{1}^{e}=1\)。

（六）定積分的應(yīng)用1.求曲邊梯形的面積給出具體的函數(shù)，如\(y=2xx^2\)與\(x\)軸所圍成的圖形，讓學(xué)生計算其面積。引導(dǎo)學(xué)生先確定積分區(qū)間，再求出被積函數(shù)的原函數(shù)，最后利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分，從而得到曲邊梯形的面積。2.變速直線運動的路程已知物體的速度函數(shù)\(v(t)=t^2+1\)，\(t\in[0,3]\)，求物體在這段時間內(nèi)運動的路程。讓學(xué)生按照定積分解決變速直線運動路程問題的步驟進行求解，強化對定積分應(yīng)用的理解。3.講解應(yīng)用步驟總結(jié)分析實際問題，確定所求量與定積分的關(guān)系。確定積分區(qū)間和被積函數(shù)。求出被積函數(shù)的原函數(shù)。利用牛頓萊布尼茨公式計算定積分，得到問題的答案。

（七）課堂小結(jié)1.知識總結(jié)回顧定積分的概念，強調(diào)"分割、近似代替、求和、取極限"的關(guān)鍵步驟。總結(jié)定積分的幾何意義、性質(zhì)以及牛頓萊布尼茨公式。梳理定積分在求曲邊梯形面積和變速直線運動路程等方面的應(yīng)用。2.方法歸納強調(diào)從實際問題抽象出定積分模型的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。總結(jié)利用定積分性質(zhì)和牛頓萊布尼茨公式進行計算的方法和技巧。

（八）課后作業(yè)1.布置作業(yè)書面作業(yè)：教材課后相關(guān)練習(xí)題，如計算定積分\(\int_{2}^{2}(x^3+5x)dx\)、求由曲線\(y=x^2\)，\(y=x+2\)所圍成圖形的面積等。拓展作業(yè)：讓學(xué)生查閱資料，了解定積分在經(jīng)濟學(xué)、物理學(xué)等其他領(lǐng)域的應(yīng)用，并撰寫一篇簡短的報告。

五、教學(xué)反思1.成功之處在教學(xué)過程中，通過實際問題引入定積分概念，如曲邊梯形面積和變速直線運動路程問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識與實際生活的緊密聯(lián)系，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。采用逐步引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷定積分概念的形成過程，從分割、近似代替、求和到取極限，符合學(xué)生的認知規(guī)律，有助于學(xué)生理解和掌握定積分的概念。在講解定積分的性質(zhì)和計算方法時，結(jié)合具體的例題進行詳細講解，并注重引導(dǎo)學(xué)生進行思考和練習(xí)，學(xué)生對定積分的性質(zhì)和牛頓萊布尼茨公式的掌握情況較好。通過課堂小結(jié)和課后作業(yè)，及時鞏固學(xué)生所學(xué)知識，強化學(xué)生對定積分概念、性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用的理解和掌握。拓展作業(yè)的布置，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和查閱資料的能力，拓寬了學(xué)生的知識面。2.不足之處在定積分概念的形成過程中，雖然通過兩個實際問題進行了詳細講解，但部分學(xué)生在理解"分割、近似代替、求和、取極限"這四個步驟時仍存在困難，尤其是對取極限的過程理解不夠深刻。在教學(xué)時間的把控上，對定積分應(yīng)用部分的講解略顯倉促，導(dǎo)致部分學(xué)生在做相關(guān)練習(xí)題時存在一定的困難。在課堂互動方面，雖然組織了學(xué)生進行討論，但仍有部分學(xué)生參與度不高，沒有充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。3.改進措施針對學(xué)生對定積分概念理解的困難，在今后的教學(xué)中，可以增加更多的實例和圖形演示，幫助學(xué)生更好地理解取極限的過程。例如，可以利用動畫展示隨著分割越來越細，積分和逐漸趨近于定積分的過程，讓學(xué)生有更直觀的感受。合理安排教學(xué)時間，在今后的教學(xué)設(shè)計中，