勾股定理課件滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊

第

1

8

章

勻

股

定

理Q

義務(wù)教育滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊O(shè)

18.1

勾股定理18.1勾股定理探

究在行距、列距都是1的方格網(wǎng)中，任意作出幾個以格點為頂點的直角三角形，分別以三角形的各邊為正方形的一邊，向形外作正方形，如圖18-1.并以S?

,S?與S?;

分別表示幾個正方形的面積.圖

18-

1

(2)caS?(1)S2

bcS?

bcS?Ba

SBS318.1

勾股定理觀察圖18-

1(1),并填寫：個單位面積；個單位面積；個單位面積.S?=S?=S?=9918(1)

個單位面積；

個單位面積；

個單位面積.18.1

勾股定理觀察圖18-1(2),并填寫：S?=S?=S?=9162518.1

勾

股

定

理AlS

3

S?S?b

Cc

a

BS?

C

a

BS?(1)

2)圖18-1(1),(2)中三個正方形面積之間有怎樣的關(guān)系，用它們的邊長表示，是：

2

b18.1

勾股定理通過上面的探究，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的長之間有怎樣的關(guān)系嗎?定

理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.18.1

勾股定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.

因此，我們稱上述定理

為勾股定理國外稱為畢達(dá)哥

拉斯定理.漢代數(shù)學(xué)家趙爽把勾股定理敘述

成：勾股各自乘，

并之為弦實，開

方除之即弦如果直角三角形的兩直角邊用a,b

表示，斜邊用c

表示，那么勾股定理可表示為18.1

勾股定理a2+b2=c2.18.1

勾股定理下面，用面積計算來證明這個定理.已

知：如圖18

-2(1),在Rt△ABC

中∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.求證：a2+b2=c2

.

(1)18.1勾股定理證

明

取4個與Rt△ABC

全等的直角三角形，把它們拼成如圖18-2(2)所示的邊長為a+b

的正方形EFGH

.H

b

D?

aGA

C

c

bAaCbcE

a

B?

b(2)圖

1

8

-

2b

CCaB(1)C?aF18.1

勾

股

定

理從圖中可見，A?B?=B?C?=H

b

D?

a

GC?D?=A?D?=c.a因為∠B?A?E+∠A?B?E=90°,A

C

c

b而∠A?B?

E=∠D?A?H,h

C?因此∠

B?

A?

E

十

∠

D?A,H=90°,

Ca∠D?A?B?=90°.

E

a

B1

b

F(2)C所以四

邊

形A?B?C?D1,

是

邊

長

為c的正方形.

b

C

C?aE

a

B?b

F(2)18.1勾股定理同理：∠A?B?C?=∠B?C?D?=∠C?D?A?=90°,H

b

D?

aGaC

A?Cbc18.1

勾股定理正方形

EFGH和正方形

A?B?C?D?

S正方形EFGH和

S

正方形A?BiCD

則S

正方形EFGH-4S△ABC=S

正方形A?B?C?D?化簡，得a2+b2=c2.的面積分別記作(2)即18.1

勾股定理例

題例1現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，如圖.

已知云梯最多只能伸長到10m,消防車高3m.

救人時云梯伸至最長，在完成從9m

高處救人后，還要從12m高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近多少米?(精確到0.1

m)Q

18.1

勾

股

定

理分析：如圖，設(shè)A

是云梯的下端點，AB

是伸長后的云梯，

B

是第

一次救人的地點，D

是第二次救人的地點，過點A

的水平線與樓房ED

的交A點為0.則OB=9-3=6(m),OD=

12-3=9(m).

EDB18.1

勾股定理根據(jù)勾股定理，得

DBAO2=AB2-OB2=102-62=64.解方程，得0AO=8(m).EA

C18.1勾股定理設(shè)

AC=x,

則OC=8-x,于是根據(jù)勾股定理，得OC2+OD2=CD2,即

(8-

x)2+92=102,從而可以解出x.請根據(jù)上述分析寫出解題過程.DB0EA

C解

在Rt△ABC中

，C

BAB2=AC2+BC2=52+122=169,AB=√

169=13.18.1

勾股定理例2

已

知

：

如圖

1

8

-

4

,

在

Rt△ABC=5,BC=12.求斜邊上的高ACD

的長.中兩直角邊ACD18.1

勾股定理又

∵

Rt△ABC

的

面

積18.1

勾股定理練

習(xí)1.在△ABC中，∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.(1)a=6,b=8,

求c;∵在Rt△ABC

中，∠C=90°,BC=a=6,AC=b=8,∴c=AB=√a2+b2=√

62+82=10.18.1

勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.(2)a=8,c=17,

求b.∵

在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=a=8,AB=c=17,∴b=AC=√c2-a2=√

172-82=15.18.1

勾股定理2.如圖，樓梯的高度為2m,

樓

梯坡面的長度為4m,

要在樓梯的

表面鋪上地毯，那么地毯的長度至

少需要多少米?(精確到0.1m)由題意知：∠C=90°,AB=4m,AC=2m(單位：m)又18.1

勾股定理∴BC=√AB2-AC2=√42-22=2√3(m)∴AC+BC=2+2√3≈2+2×1.732≈5.5(m)∴地毯的長度至少需要約5.5m.(單位：m)又18.1

勾股定理3.

(1)如圖，長3m

的梯子斜靠著墻，梯子底端離墻底0.6m,

問梯子頂端離地面多少米?(精確到0.1m)有梯子長為3米，梯子底端距墻底為0.6米，由所在直角三角形另一邊AC=√32-0.62≈2.9(m)18.1

勾股定理2)題(1)中，若梯子的頂端自墻面下滑了0.9

m,那么梯子的底端沿地面向外滑

動的距離是否也為0.9m?說明理由.梯子下滑后梯子頂端距地面為2.9-0.9=2米，由所在直角三角形中梯子底端與墻距離為

√32-22=√5(m),18.1

勾股定理所以梯子的底端在水平方向上滑動為√5-0.6≠0.9。則梯子的底端在水平方向向外滑動的

距離不是0.9m.4.我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中記錄了一個問題，其大致意思是說：有一個水面是邊長為10尺的正方形

水池，中央生長有一根蘆葦，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸邊，蘆葦仍伸直而頂端恰好到

達(dá)岸邊的水面，求池水深和蘆葦?shù)拈L.

(尺為當(dāng)時的計量18.1

勾股定理單

位

，18.1

勾股定理設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：x2+52=(x+1)2,解得：

x=12,則x+1=13.答：水深12尺，蘆葦長13尺數(shù)

學(xué)

天

地數(shù)

學(xué)

天地數(shù)

學(xué)

天

地長度為正整數(shù)的算術(shù)平方根的線段，

可以用尺規(guī)作圖的方法作出來.下面介

紹一種有趣的方法，你能說出其中的

道理嗎?取OA?=1=

√

1,

作Rt△OA?A?,

使OA?⊥A?A?,A?A?=OA?=1,

則OA?=√2,

如圖18-

5;A?

1

A

A?1√6

√5

√4√3

A?

√7

2√8

OT√9101A?1A?1A81A9

V11V12N131圖18-5A101

A五111Ai?1-數(shù)

學(xué)

天

地過點A?,

在

Rt△OA?A?外作A?A?⊥OA?,且取A?A?=1,連接OA?,則

OA?=√3;●●●●●●如上繼續(xù)下去，可以作出長度為任一正整數(shù)的算術(shù)平方根的線段.A?

1

A

A?1A?

√6

√5

√4√3

A?A

√721

√8

OT

A8

√91

10?11A9

V11

V12

N13五111

Ai?

1圖

1

8

-

51

A-習(xí)

題

18.11.在△ABC中，∠C=90°,

填空：(

1

)

如

果AB=10,BC:AC=3:4,那么

BC=

6

AC=

8

;(2)如果AC=1,∠B=30°,

那么AB=

2

BC=

√3

;習(xí)題18.12.已知：在△ABC

中，AB=AC=17,BC=16.求

△ABC

的高AD

的

長

.如圖所示.AB=AC=17∴△ABC

是等腰三角形∵AD是△ABC的高，BC

=

16

.∵BD=CD=BC=2

×16=8在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°,AB=17,BD=8∴AD=√AB2-BD2=√

172-82=15即△ABC的高AD的長為15.習(xí)

題

18.1習(xí)

題18.13.已知直角三角形的三邊長是三個連續(xù)自然數(shù)，求三邊

長.設(shè)三邊長分別為x-1,x,x+1由勾股定理可得(x-1)2+x2=(x+1)2解得x?=0

(舍去),x?

=4,∴三邊長分別為3,4,

5.習(xí)

題

18.14.求邊長為

a

的等邊三角形的面積.作高線，由勾股定理可求高a

h習(xí)

題

18.15.

如圖，從電線桿上離地面h=8m的點A處，向地面

拉一條長

I=12

m

的纜繩，這條纜繩拉直后在地面上

點

B處固定，點B離電線桿底部點C的距離是多少米?(精確到0.1

m)

蛋A

蟲1

hB由題意得：AB=12m,AC=8m,∠ACB=90°∴BC=√AB2-AC2=√

122-82=4√5≈8.9(m)∴B

點離電線桿底部點C

的距離是8.9m

.B/蛋蟲h習(xí)

題

18.1A中1習(xí)

題

18.16.如圖，要