《高考備考指南 數(shù)學 》課件-第2講　充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞

第2講充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞集合與常用邏輯用語、不等式第一章

(本講對應系統(tǒng)復習P5)課標要求考情概覽1.通過典型數(shù)學命題，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系，理解數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系.2.通過實例，理解全稱量詞命題與存在量詞命題的意義，能正確對兩種命題進行否定考向預測：主要考查充分條件、必要條件的判定，全稱量詞、存在量詞以及含有一個量詞的命題的否定.一般多與集合、函數(shù)、不等式、立體幾何結(jié)合，考查考生的推理能力，考查形式以基礎(chǔ)題為主，低檔難度.學科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算的素養(yǎng)欄目導航01基礎(chǔ)整合

自測糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓練基礎(chǔ)整合自測糾偏11.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件

p是q的

條件

p?q且q?/pp是q的

條件

p?/q且q?pp是q的

條件

p?qp是q的

條件

p?/q且q?/p充分

必要

充分不必要

必要不充分

充要

既不充分也不必要

2.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有的、一切、任意一個、每一個、任給等

存在量詞存在一個、至少有一個、有些、對某些等

?

?3.全稱量詞命題、存在量詞命題及含一個量詞的命題的否定命題名稱語言表示符號表示命題的否定全稱量詞命題對M中任意一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)

存在量詞命題存在M中的一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)

?x∈M，﹁p(x)?x∈M，﹁p(x)【特別提醒】1.在判斷充分、必要條件時，需要注意確定條件是什么、結(jié)論是什么.2.嘗試從條件推導結(jié)論，從結(jié)論推導條件.3.確定條件是結(jié)論的什么條件，抓住“以小推大”的技巧，即小范圍能否推得大范圍，即可解決充分必要性的問題.4.對沒有量詞的命題進行否定要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.【常用結(jié)論】

p成立的對象構(gòu)成的集合為A，q成立的對象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件A?Bp是q的必要不充分條件B?Ap是q的充要條件A＝B

CA

CBC5.(2023年吉林模擬)(易錯題)若命題“?x∈R，ax2＋x＋1＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為

.

1.充分條件與必要條件的兩個特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”.(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”).2.充分條件、必要條件判斷的主要依據(jù)是定義，對于推出的關(guān)系要能證明；對不能推出的關(guān)系，可舉反例驗證.3.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定：(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題是寫出命題否定的前提.(2)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫.(3)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定.重難突破能力提升2充分必要條件的判定

(1)(2022年浙江)設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件A

(2)(2021年甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B

【解題技巧】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.(3)等價轉(zhuǎn)化法：適合以否定形式給出的問題.如判斷“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件.

B

C

充分條件、必要條件的應用

已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.

解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}.由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P，且S≠?.【解題技巧】根據(jù)充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(或不等式組)來求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.【變式精練】2.(1)若例2條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.(2)若例2中條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤叭魓?P是x?S的必要不充分條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍.

全稱量詞命題與存在量詞命題

示通法一般地，若一個全稱量詞命題是真命題，那么它的否定是一個存在量詞命題，并且是假命題；若一個存在量詞命題是真命題，那么它的否定是一個全稱量詞命題，并且是假命題.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定，除了關(guān)鍵詞要改變，結(jié)論也要否定，即變化的有兩個方面，不能只改寫一處.考向1全稱(存在)量詞命題的否定

(1)(2023年深圳統(tǒng)考)命題“?a∈N*，2a≥a2”的否定是(

)A.?a∈N*，2a≥a2

B.?a∈N*，2a＜a2C.?a∈N*，2a＜a2 D.?a∈N*，2a＞a2(2)已知命題p：?n∈N，n2≥2n，則﹁

p為(

)A.?n∈N，n2≥2n B.?n∈N，n2≤2nC.?n∈N，n2＜2n D.?n∈N，n2＝2nB

C考向2全稱(存在)量詞命題的真假判定

(2022年海口期中)(多選)下列關(guān)于二次函數(shù)y＝(x－2)2－1的說法正確的有(

)A.?x∈R，y＝(x－2)2－1≥1B.?a＞－1，?x0∈R，y＝(x0－2)2－1＜aC.?a＜－1，?x0∈R，y＝(x0－2)2－1＝aD.?x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1BD

【解析】對于y＝(x－2)2－1，其圖象開口向上，對稱軸為x＝2，最小值為－1，所以?x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，A錯誤；由y＝(x－2)2－1的圖象易知B，D正確，C錯誤.故選BD.考向3根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)

(2023年徐州期末)已知“?x∈［1，2］，x2＋tx＋2t－3＞0”為

假命題，則實數(shù)t的取值范圍是

.

【解題技巧】1.判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路：2.根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路：與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍.【變式精練】3.(1)(2023年岳陽期末)(多選)已知命題p：?x∈R，x2＋2x3＋x4≥0，則(

)A.﹁p：?x∈R，x2＋2x3＋x4＜0B.﹁p：?x∈R，x2＋2x3＋x4＜0C.p是假命題D.p是真命題(2)(2023年天津月考)若命題“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

.

AD

(－∞，－1)∪(3，＋∞)

素養(yǎng)微專直擊高考3素養(yǎng)提升——邏輯推理：突破雙變量“存在性或任意性”問題邏輯推理的關(guān)鍵要素：邏輯的起點、推理的形式、結(jié)論的表達.解決雙變量“存在性或任意性”問題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉(zhuǎn)化”為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系)，目的在于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學思維品質(zhì).

【點評】理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，利用等價轉(zhuǎn)化構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，從而求得參數(shù)的取值范圍.

【點評】本類問題的實質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補集思想.另外，若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”，則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍.類型3形如“對任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)≤g(x2)成立”

【點評】理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)max.利用函數(shù)的單調(diào)性，求得f(x)與g(x)的最大值，得關(guān)于a的不等式，進而可求得a的取值范圍.1.已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，對任意的x1，x2∈［1，4］有f(x1)＞g(x2)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

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【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.當x∈［1，4］時，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4