考研概率全程筆記

三隨機變餐的獨立性

3.3.1獨立性的概念

定義1:設（X,Y）的分布函數(shù)為F（X,Y）,邊緣分布函數(shù)為?弓「X）和弓6"如果對一切X,丫有,

尺XJb&W5G）則稱X與丫是相互獨立的。

3.3.2獨立性的充要條件

1.離散型隨機變量的情況

定理1：設（x,Y）的分布律為"丫=乙￥="=5」/=L2…邊緣分布律分別為

p..、?pj.]2,??p??、+Pi?L2???

/*‘，及'i'，則X與丫相互獨立的充分必要條件為

4=片,馬，一切IJ.證略。

例8.袋中有2個白球，3個黑球，從袋中（1）有放回地；（2）無放回地取二次球，每次取一個，令

底（1第一次取得白球vfl第二次取得白球

（0第一次取得黑球10第_號郴解試問X與Y是否相互獨立？

解：⑴有放回地取球

容易驗證，對一切'J=L2有

014.

弓■巴弓故X,Y相互獨立

09/256/253/5

16/254/252/5

Pj3/52/51

⑵無放回地取球

633

01n

4112055

X可見，

06/206/203/5

故X,丫不獨立

16/202/202/5

號3/52/51

例9：設（X,Y）的分布律為

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)⑵2)⑵3)

問a,b,c為何值時，X與丫相互獨立？

解：（X,Y）的分布律及邊緣分布律可由下表給出P1/61/91/18abC

V123耳

11/61/91/181/31

<2=—

2abCa+b+c3

14le解得T4右=提

馬一??+1

69189

1

c=—

需使X與丫相互獨立，下列式子應滿足:9

2.連續(xù)性隨機變■的情況

定理2設（X,Y）的概率密度為其邊緣概率密度為〃（x）和剛X與丫相互獨立

的充分必要條件為了（xj）?A（xVrE,一切x,y.證略

例10設X,丫相互獨立，同分布，均服從U［o］〕分布，試求刊

解：由于X,丫均在［0,1］上服從均勻分布，即

\0<x11,、1

Zr（x）=<n苴油AW-

0其他

X的概率密度為［U,丹電，丫的概率密度為

1Olxil,

又由x與丫相互獨立，所以（X,Y）的概率密度為=

0其他

于是年?八】）?R（"）W0）其中人卜/

例11設（X,Y）?".，/，。/，與’，句，證明：X與丫相互獨立的充要條件為

證：由于

（7Or

己求得其邊緣概率密度為*）=4尸廠/加霜_,M

,V2/ra

“充分性”，當0?0時，對一切X,y

%力4用勺L流朝互獨立。

了儂也卜那曲式外）

“必要性”，如果X,丫獨立，于是應有

__1_■―—__1?_——___1.1,

即為加燈.Jl-dJ2xax、國/2名<卬2解得

四條件分布

§3.4.1條件分布函數(shù)

在實踐中常會遇到這樣的問題：在已知隨機變量丫取值為y條件下，求隨機變量X落在某區(qū)間（a,

b）內的概率，即P{a<XWbIY=y}由于形式上這一條件概率可表為

4<x?4RxH-耳x?用一尸）

因此，對任意實數(shù)X,研究形如P{XWxIY=y}的條件概率就是一件很重要的事情。然而，需殛由

是：如果P{丫=y}=0,上述條件概率將無意義，特別對連續(xù)型隨機變量Y,無論y為何值，總有P{丫=y}=0。

為了解決這一問題，可采取下列辦法。

設丫在區(qū)間（yAy,y）內的概率不為零，即P{yA>y<YWy}>0,此時條件概率P{XWxIyZ\y<YWy}便

有意義，如果當△￥-（）+時，此條件概率的極限存在，我們便將此極限定義為P{XWx|Y=y},并稱它為X

的條件分布函數(shù)。

hm尸

定義1：設對固定的實數(shù)y及任意△￥>（）有P{yz^y〈YWy},如果

3加哈"一修

存在，則稱此極限為在丫=丫條件下，X的條件分布函數(shù)?！?P[y<y)

同樣,可定義在x=x條件下,丫的條件分布函數(shù)M?y（"八）?氏、P（x-^<Xix.Yiy}

§3.4.2條件分布律

定義2：設（X,Y）為二維離散型隨機變量，其分布律為F（X=陽）=）,}=得=…

如果對固定的j,P{Y=yj}>0,則稱下列一組條件概率

加加和年斤1年飛

為在Y=yj條件下，X的條件分布律.

同樣,對固定i,若P{X=xi}>0,則稱下列一組條件概率F{y里J-1,2,...

為在X=xi條件下，丫的條件分布律‘

不難看出,對數(shù)軸上子集A有

進而有

P{Xe<-71)-X^-

F

x(x/打)-Ep/pWdM?」P$

p{re^-xj-y^P

例1設（X,設的分布律為\12