《備考指南 理科數(shù)學(xué)》課件-第11章 第9講

計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章第9講離散型隨機(jī)變量的均值與方差【考綱導(dǎo)學(xué)】1．理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念．2．能計算簡單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題．3．利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點(diǎn)突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝__________.(2)D(aX＋b)＝___________.(a，b為常數(shù))3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝_______，DX＝________.(2)若X～B(n，p)，則EX＝_______，DX＝______________.aEX＋b

a2DX

pp(1－p)npnp(1－p)1．(2018年孝感模擬)設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(n，p)，且Eξ＝3.2，Dξ＝1.92，則(

)A．n＝8，p＝0.4

B．n＝4，p＝0.4C．n＝8，p＝0.6

D．n＝4，p＝0.6【答案】A2．(2018年哈爾濱模擬)籃球運(yùn)動員在比賽中每次罰球，命中得1分，不中得0分，若運(yùn)動員甲罰球命中的概率為0.8，X表示他罰球一次的得分，則X的數(shù)學(xué)期望EX

為(

)A．0.3

B．0.8

C．0.2

D．1【答案】B1．在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對于應(yīng)用問題，必須對實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計算出隨機(jī)變量的均值、方差．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定．(

)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越?。?

)(3)一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(

)(4)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√

(4)×課堂考點(diǎn)突破2離散型隨機(jī)變量的均值與方差【考向分析】離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是近幾年高考中主要的概率題型，常與排列組合、概率等知識綜合考查．常見的考向有：(1)求離散型隨機(jī)變量的均值、方差；(2)已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值．【答案】D【解析】因?yàn)棣恰獴(n，p)，且E(2η)＝8，D(4η)＝32，所以E(2η)＝2Eη＝2np＝8，D(4η)＝16Dη＝16np(1－p)＝32，解得n＝8，p＝0.5.【規(guī)律方法】離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略：(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程，解方程即可求出參數(shù)值．【跟蹤訓(xùn)練】1．(1)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個同學(xué)，這個同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為(

)A．0.9

B．0.8

C．1.2

D．1.1均值與方差在決策中的應(yīng)用

(2018年懷化模擬)近年來，共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式．某共享汽車用戶每次租車時按行駛里程(1元/千米)加用車時間(0.1元/分鐘)收費(fèi)．李先生家離上班地點(diǎn)10千米，每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費(fèi)的時間是一個隨機(jī)變量，根據(jù)一段時間統(tǒng)計40次路上開車花費(fèi)時間在各時間段內(nèi)的情況如下：時間(分鐘)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]次數(shù)814882以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開車花費(fèi)的時間視為用車時間，范圍為[15,65]分鐘．(1)若李先生上、下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)ξ是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；(2)若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月(以20天計算)平均用車費(fèi)用大約是多少？(同一時段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)課后感悟提升33條性質(zhì)——期望與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))．(2)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.(3)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))．3種方法——求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．1．(2018年新課標(biāo)Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝(

)A．0.7

B．0.6

C．0.4

D．0.3【答案】B3．(2018年北京)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜歡，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k＝1,2,3,4,5,6)，寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系．4．(2018年新課標(biāo)Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．(ⅰ)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？(2)(ⅰ)由(1)知p＝0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B(180