新課標2025版高考數(shù)學二輪復習第一部分基醇點自主練透第5講計數(shù)原理與二項式定理練習理新人教A版

PAGE1-第5講計數(shù)原理與二項式定理一、選擇題1．在某夏令營活動中，教官給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年齡尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪伴，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③全部參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有()A．10種 B．40種C．70種 D．80種解析：選B．若Grace不參與任務，則須要從剩下的5位小孩中隨意挑出1位陪伴，有Ceq\o\al(1,5)種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處，有Ceq\o\al(2,4)種挑法，最終剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種搜尋方案；若Grace參與任務，則其只能去近處，須要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有Ceq\o\al(2,5)種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠處，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案，故選B．2．(2024·合肥市第一次質(zhì)量檢測)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的綻開式的常數(shù)項為60，則a的值為()A．4 B．±4C．2 D．±2解析：選D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(ax)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)r·a6－r·Ceq\o\al(r,6)·x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r＝0，得r＝4，則(－1)4·a2·Ceq\o\al(4,6)＝60，解得a＝±2，故選D．3．(2024·重慶市七校聯(lián)合考試)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6綻開式中x2的系數(shù)為()A．15 B．20C．30 D．35解析：選C．由多項式乘法知，若求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6綻開式中x2的系數(shù)，只需求(1＋x)6綻開式中x2和x4的系數(shù)．(1＋x)6綻開式中含x2和x4的項分別是Ceq\o\al(2,6)x2＝15x2和Ceq\o\al(4,6)x4＝15x4，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6綻開式中x2的系數(shù)是30.故選C．4．若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有()A．4種 B．8種C．12種 D．24種解析：選B．將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有Ceq\o\al(1,4)種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有Ceq\o\al(1,4)×2＝8種站法，故選B．5．設(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于()A．80 B．－80C．－160 D．－240解析：選D．因為(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二項綻開式中含x項的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)×(－1)4×Ceq\o\al(5,5)×(－2)5＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5×Ceq\o\al(4,5)×(－2)4＝－160－80＝－240，故選D．6．(2024·廣州市綜合檢測(一))(2－x3)(x＋a)5的綻開式的各項系數(shù)和為32，則該綻開式中x4的系數(shù)是()A．5 B．10C．15 D．20解析：選A．在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得綻開式的各項系數(shù)和為(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－r.當r＝1時，得T2＝Ceq\o\al(1,5)x4＝5x4，當r＝4時，得T5＝Ceq\o\al(4,5)x＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的綻開式中x4的系數(shù)為2×5－5＝5，選A．7．(2024·柳州模擬)從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個數(shù)相鄰，則不同的選法種數(shù)是()A．72 B．70C．66 D．64解析：選D．從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,6)＝56種選法，三個數(shù)相鄰共有Ceq\o\al(1,8)＝8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法，故選D．8．(2024·洛陽尖子生其次次聯(lián)考)某校從甲、乙、丙等8名老師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名老師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，則不同的選派方案有()A．900種 B．600種C．300種 D．150種解析：選B．第一類，甲去，則丙肯定去，乙肯定不去，再從剩余的5名老師中選2名，不同的選派方案有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4)＝240(種)；其次類，甲不去，則丙肯定不去，乙可能去也可能不去，從乙和剩余的5名老師中選4名，不同的選派方案有Ceq\o\al(4,6)×Aeq\o\al(4,4)＝360(種)．所以不同的選派方案共有240＋360＝600(種)．故選B．9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值為()A．39 B．310C．311 D．312解析：選D．對(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9兩邊同時求導，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故選D．10．現(xiàn)有紅色、藍色和白色的運動鞋各一雙，把三雙鞋排列在鞋架上，僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是()A．72 B．144C．240 D．288解析：選D．首先，選一雙運動鞋，捆綁在一起看作一個整體，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種選法，則現(xiàn)在共有5個位置，若這雙鞋在左數(shù)第一個位置，共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8種狀況，若這雙鞋在左數(shù)其次個位置，則共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8種狀況，若這雙鞋在中間位置，則共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種狀況，左數(shù)第四個位置和其次個位置的狀況一樣，第五個位置和第一個位置的狀況一樣．所以把三雙鞋排列在鞋架上，僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.故選D．11．(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方案共有()A．120種 B．156種C．188種 D．240種解析：選A．法一：記演出依次為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故總編排方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝120(種)．法二：記演出依次為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的狀況有4種，則有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)．12．(2024·河北省九校其次次聯(lián)考)第十四屆全國運動會將于2024年在陜西舉辦，為宣揚地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導．工作過程中的任務劃分為：“負重扛機”“對象采訪”“文稿編寫”“編制剪輯”四項工作，每項工作至少一人參與，但2名女記者不參與“負重扛機”工作，則不同的支配方案數(shù)共有()A．150 B．126C．90 D．54解析：選B．依據(jù)題意，“負重扛機”可由1名男記者或2名男記者參與，當由1名男記者參與“負重扛機”工作時，有Ceq\o\al(1,3)種方法，剩余2男2女記者可分為3組參與其余三項工作，共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法，故由1名男記者參與“負重扛機”工作時，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種方法；當由2名男記者參與“負重扛機”工作時，剩余1男2女3名記者各參與一項工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)種方法．故滿意題意的不同支配方案數(shù)共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故選B．二、填空題13．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))eq\s\up12(5)的綻開式中，x3的系數(shù)是________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))eq\s\up12(5)的綻開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－4)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))eq\s\up12(r)，r＝0，1，2，3，4，5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))eq\s\up12(r)的綻開式的通項Tk＋1＝Ceq\o\al(k,r)xr－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))eq\s\up12(k)＝4kCeq\o\al(k,r)xr－2k，k＝0，1，…，r.令r－2k＝3，當k＝0時，r＝3；當k＝1時，r＝5.所以x3的系數(shù)為40×Ceq\o\al(0,3)×(－4)5－3×Ceq\o\al(3,5)＋4×Ceq\o\al(1,5)×(－4)0×Ceq\o\al(5,5)＝180.答案：180.14．(2024·福州市質(zhì)量檢測)(1＋ax)2(1－x)5的綻開式中，全部x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為－64，則正實數(shù)a的值為________．解析：設(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7①，令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7②，②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)．答案：315．(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________．解析：法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16)，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)，其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)＝472.法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64，若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同色時，不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝