中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考專題6：分式方程 講義(含答案)

專題六分式方程（講義）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點分式方程及其解法1.解分式方程☆☆☆本專題從定義和解答方面命題，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題通?？疾榻夥质椒匠毯土蟹匠探鈶?yīng)用題，重點考查學(xué)生化分為整的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想2.分式方程的含參問題☆☆分式方程的實際應(yīng)用3.分式方程的實際應(yīng)用☆☆☆講解一：分式方程的概念及解法一、分式方程分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.分式方程整式方程區(qū)別分母中含有未知數(shù)分母中不含有未知數(shù)聯(lián)系分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程【注意】（1）判斷一個方程是否為分式方程，要掌握以下三點：①是方程；②方程中含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）并不是含有分母的方程就是分式方程，必須是分母中含有未知數(shù)的方程才是分式方程.二、解分式方程解分式方程的基本思路是通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解.下表以解分式方程為例：步驟具體操作方法舉例①去分母方程兩邊同乘最簡公分母，化為整式方程方程兩邊同乘，得②解方程解整式方程解得③檢驗把整式方程的解代入最簡公分母最簡公分母不為0，是分式方程的解當(dāng)時，，所以是原方程的解最簡公分母為0，不是分式方程的解，是增根當(dāng)時，，所以不是原方程的解，是增根④寫解是原分式方程的解或原分式方程無解故是原分式方程的解【注意】（1）檢驗是解分式方程必不可少的步驟；（2）分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解；（3）用分式方程中的最簡公分母同乘方程的兩邊，從而約去分母，但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項時，不要漏乘不含分母的項.【拓展延伸】對增根產(chǎn)生的原因理解如下：增根是在解分式方程的第一步，即去分母時產(chǎn)生的，根據(jù)方程的同解原理，方程兩邊都乘（或除以）同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊同時乘0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.三、分式方程的含參問題1.根據(jù)分式方程有增根求參數(shù)的值的解題思路：先將分式方程化為整式方程，再將增根代入整式方程，從而求出參數(shù)的值.2.根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)的值或取值范圍的解題思路：先將分式方程化為整式方程，并解整式方程，用含參數(shù)的代數(shù)式表示出整式方程的解，再結(jié)合分式方程解的情況列方程或不等式求出參數(shù)的值或取值范圍，注意要考慮分式方程中分母不為0的限制條件.命題精練命題形式1解分式方程1.（2024·四川瀘州·中考真題）分式方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】本題考查解分式方程，根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，檢驗）求解，即可解題．解析：，，，，，，經(jīng)檢驗是該方程的解，故選：D．2.（2024·北京·中考真題）方程的解為.【答案】【思路點撥】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根．解析：，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．3.（2024·浙江·中考真題）若，則.【答案】解析：去分母得：，移項合并得：，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，故答案為：【題型解讀】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．4.（2024·遼寧·中考真題）方程的解為．【答案】解析：，，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的解，∴原方程的解為：，故答案為：．5.（2024·福建·中考真題）解方程：．【答案】．解：，方程兩邊都乘，得．去括號得：，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的根．6.（2024·陜西·中考真題）解方程：．【答案】【思路點撥】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．解：，去分母得：，去括號得：，移項，合并同類項得：，檢驗：把代入得：，∴是原方程的解．7.（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．【答案】【思路點撥】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗．依次去分母、去括號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，該分式方程的解為．命題形式2分式方程的含參問題1.（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（）A．且 B． C． D．且【答案】A【思路點撥】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是負(fù)數(shù)得到，并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為，求出的取值范圍即可，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．解析：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴且，故選：．2.（2023·山東淄博·中考真題）已知是方程的解，那么實數(shù)的值為（）A． B．2 C． D．4【答案】B解析：將代入方程，得解得：故選：B．3.（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（）A．或 B． C．或 D．【答案】A解析：去分母得，，整理得，，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，令，解得，所以關(guān)于x的分式方程無解時，或．故選：A．4.（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為.【答案】【思路點撥】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)m的值即可．解析：，化簡得：，去分母得：，移項合并得：，解得：，由方程的解是正整數(shù)，得到為正整數(shù)，即或，解得：或（舍去，會使得分式無意義）．故答案為：．5.（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是.【答案】【思路點撥】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出；解分式方程得到，再由關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，推出且且a是偶數(shù)，則且且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合題意的a的值，最后求和即可．解析：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴；解分式方程得，∵關(guān)于的分式方程的解均為負(fù)整數(shù)，∴且是整數(shù)且，∴且且a是偶數(shù)，∴且且a是偶數(shù)，∴滿足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．故答案為：．6.（2023·四川巴中·中考真題）關(guān)于x的分式方程有增根，則.【答案】解析：，方程兩邊同時乘以，得，∴，∵原方程有增根，∴，∴，∴，故答案為：．【題型解讀】本題考查了根據(jù)分式方程的根有增根求參數(shù)的值，等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出的值，即可求出.講解二：分式方程的實際應(yīng)用列分式方程常用的等量關(guān)系（1）行程問題：（2）利潤問題：（3）工程問題：總工作量=各個分工作量之和.（4）銷售問題：.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審：審清題意，弄清已知量和未知量；找出已知的或隱含的等量關(guān)系，常用表格分析法.（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)（既可以設(shè)直接未知數(shù)，也可以設(shè)間接未知數(shù)）.（3）列：列出分式方程.（4）解：解這個方程.（5）驗：檢驗，既要檢驗所求得的根是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求得的根是否符合實際意義.（6）答：寫出答案.【注意】（1）在實際問題中，有時題目中包含多個相等的數(shù)量關(guān)系，在列方程時一定要選擇一個能夠體現(xiàn)全部（或大部分）題意的等量關(guān)系.（2）在檢驗過程中，不僅要檢驗所得的根是否為原分式方程的根，還要檢驗這個根在實際問題中是否具有實際意義，如時間非負(fù)，人數(shù)非負(fù)等.（3）在一些實際問題中，有時直接設(shè)問題所求的量為未知數(shù)比較麻煩，所以可以間接地設(shè)未知數(shù).（4）設(shè)一個未知數(shù)不容易表示等量關(guān)系時，還可以設(shè)多個未知數(shù)，即設(shè)輔助未知數(shù).命題精練命題形式3分式方程的實際應(yīng)用1.2024·四川巴中·中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動，目的地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車先行，另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時到達(dá)．已知快車的速度比慢車的速度每小時快20km，求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)慢車的速度為，則快車的速度是，再根據(jù)題意列出方程即可．解析：設(shè)慢車的速度為，則快車的速度為，根據(jù)題意可得：．故選：A．2.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）A，B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運30千克，A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等．A，B兩種機器人每小時分別搬運多少千克化工原料？（）A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60【答案】D【思路點撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運千克，根據(jù)“A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等”列分式方程求解即可．解析：設(shè)B型機器人每小時搬運x千克，則A型機器人每小時搬運千克，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，答：A型機器人每小時搬運90千克，B型機器人每小時搬運60千克．故選：D．3.（2024·新疆·中考真題）某校九年級學(xué)生去距學(xué)校的科技館研學(xué)，一部分學(xué)生乘甲車先出發(fā)，后其余學(xué)生再乘乙車出發(fā)，結(jié)果同時到達(dá)．已知乙車的速度是甲車速度的1.2倍，設(shè)甲車的速度為，根據(jù)題意可列方程（）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．先把時間化為小時，設(shè)甲車的速度為，則乙車的速度為，表示出兩車的時間，再根據(jù)時間相差5分鐘建立方程即可．解析：，設(shè)甲車的速度為，根據(jù)題意可列方程：，故選：D．4.（2024·山西·中考真題）某校組織學(xué)生開展“茶韻與書畫”為主題的研學(xué)課程，已知學(xué)校用于購買扇子的費用為4000元，購買茶具的費用為3200元，其中購買扇子的數(shù)量是購買茶具數(shù)量的2倍，并且扇子的單價比茶具的單價便宜3元．設(shè)購買扇子的單價為x元．則x滿足的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【思路點撥】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為元，根據(jù)“購買扇子的數(shù)量是購買茶具數(shù)量的2倍”列出分式方程即可，理解題意是解題關(guān)鍵．解析：設(shè)購買扇子的單價為x元，則茶具的單價為元，根據(jù)題意得：，故選：A．5.（2024·山東·中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）A．200 B．300 C．400 D．500【答案】B【思路點撥】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．解析：設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解，且符合題意，答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)．故選：B．6.（2024·黑龍江大慶·中考真題）為了健全分時電價機制，引導(dǎo)電動汽車在用電低谷時段充電，某市實施峰谷分時電價制度，用電高峰時段（簡稱峰時）：7：00—23：00，用電低谷時段（簡稱谷時）：23：00—次日7：00，峰時電價比谷時電價高元/度．市民小萌的電動汽車用家用充電樁充電，某月的峰時電費為50元，谷時電費為30元，并且峰時用電量與谷時用電量相等，求該市谷時電價．【答案】該市谷時電價元/度解：設(shè)該市谷時電價為元/度，則峰時電價元/度，根據(jù)題意得，，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，答：該市谷時電價元/度．7.（2024·山東泰安·中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【答案】甲組有名工人，乙組有名工人解：設(shè)甲組有名工人，則乙組有名工人．根據(jù)題意得：，解答：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．8.（2024·云南·中考真題）某旅行社組織游客從地到地的航天科技館參觀，已知地到地的路程為300千米，乘坐型車比乘坐型車少用2小時，型車的平均速度是型車的平均速度的3倍，求型車的平均速度．【答案】型車的平均速度為【思路點撥】本題考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據(jù)“乘坐型車比乘坐型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．解：設(shè)型車的平均速度為，則型車的平均速度是，根據(jù)題意可得，，整理得，，解得，經(jīng)檢驗是該方程的解，答：型車的平均速度為．9.（2024·四川自貢·中考真題）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動．已知七