數理金融初步-Ross-第三版-中文答案

《數理金融初步》Ross習題參考答案

答案主要來源為英文答案的翻譯與國外幾位教師的手寫答案（兩者均不完整），僅供參考.

目錄

第I章概率論2

第2章正態(tài)隨機變量6

第3章布朗運動與幾何布朗運動8

第4章利率和現值分析11

第5聿合約的套利定價17

第6章套利定理21

第7章Black-Scholes25

第8章關于期權的其他結果31

第9章期望效用估值法35

第10章隨機序關系40

第11章最優(yōu)化模型42

第12章隨機動態(tài)規(guī)劃47

第13章奇異期權49

第14章非幾何布朗運動模型50

第15章自回歸模型和均值回復51

第1章概率論

a)P(全少4個錯誤)=1—Po—Pi—P2—P3=1-0.20-035-D.25-0.15=0.05.

b)P(至多2個錯誤)=p。+pi-p2=0.20+0.35+0.25=0.80.

1.2解：

記多云為C,陰天為其則

P(CU/?)=P(C)+P(R)-P(Cn/?)=0.40+0.30-0.20=0.50.

3解

4

8

巴又人均為女41m

6.

41

人均為男“=/1,5

普

備

￡X=言

c）P（-位男士和一位女士=￡

1.4解；

記會國際象棋為C,會打橋牌為3,則

a)P(CIB)==27次0

)1,)P(B)(58+27)/12085'

m_P(SB)_27/12C_27

b)(P(C)(35+27)/12062'

1.5解：注意：b）問由于翻譯原因，容易理解為并列關系，但根據英文原文，應該理解為在沒有發(fā)病的條件

下，求攜帶一個CF基因的條件概率.

a)-X-=—,

224

b)由于他有兄弟姐妹死于這種疾病，說明其父母各攜帶一個CF基因，則

P（攜帶?個CF基因C沒有發(fā)?。?/p>

P（攜帶一個CF基因|沒有發(fā)?。?

P（沒有發(fā)?。?/p>

1.6解

P（都是AC花色不同）P（都是A;________________

P（都是AI花色不同）

P（花色不同）P（花色不同）

1.7證

P(AB")=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)\=P(A)P(0勺.

b)

P(/fff)=P(BA)=P(聯(lián))-P(AR)=P(附-P(A)P(的=P(&)[1—P(A)1=P(A")P(的.

2

1.8解：注意：由于翻譯原因，“可以進行”指的是一定會進行:“以此類推”1；勺，即兩局必結束*X不

是贏的局數，而是嬴的（錢）數.

記R為第，?次的結果為紅，則

a）易知X=1,—3,則

F(X=i)=P(*+*E)=||+*x||=.

P(X=_3)=P團藏)=爵爵爵

所以P(X>0)=P(X=l)=醬.，、…、.261-10039

b)E(X)=lx——3X—=

L9蟀：

a)E(X)>E(K).

b)

?

9*一寫3日

1.10解：

易知I,比賽總局數X=2,3,則

E(X)=2xQ)xlxl?3x[l-Q)xlxl]=|,

Var(X)=2x(；)xlxl*x[i-(；)xlxl]-(|

1.11證：

記”=E(X),則

Var(X)=E[(X-p)2]=E*-2"*+p‘)

=E(^)一2“E(X)+妒=￡'第一2片+“2

=E(X2)-H2=E(X2)-[E(X)]2

1.12解:

a)E(X)=5000,Var(X)=0,a(X)=0.

b)

E(K)=0.3x25000+0.7xO=7500,

Var(K)=0.3x250002+0.7x0-75OO2=1.3125x10".

<7(r)=13125x10'.

3

1.13證:

a)

FX

.一?'=*修?)=：伊Xj)=：xa.

b)

IEX,取修)=§￡Var(X，)=§x"S=令

Var(X)-Var斗

￡(X,-_X)2=￡(X?-2X,X=￡X：_2X*X,+nX2

r=li=l/'=!

nn

=￡X?-2XnX^=￡x：

d)

豚-又I

E(s2)=q%F

士4郭項2)=土卜修)期)

一/一(nd+n/F-nx---叩=(y*

,,—1\n)

1.14證：

cov(x,r)=￡([x-E(x)][r-￡(y)])=E[XY-XE(Y)-YE(X/A-

E(X)E(Y)\

=E(XY)-E(Y)E(X)-E(X)E(Y)+E(X)E{Y}=E(XY)一E(X)E(Y)

1.15證：

a)

Cov(Xj)=E([X-E(X)\\Y-E(r)])=E{\Y-E(Y)\[X-E(X)\}=Cov(匕X).

b)

Cov(X,X)=E([X-E(X)][X-E(X)]}=E{\X-E(X)]2)=Var(X).

c)

Cov(cX/)=E([cX-E(cX)]\Y-E(Y)]}=E(cX-E(X)]|r-E(r)]}=cCov(X,V).

d)

Cov(cl)=E([c-E(c)][Y-E(r)]|=E(0)=0.

1.16解:

Cov(X,r)=Cov(cU+bV,eV+(IV)=Cov(“U,d/+JV)+Cov(即，cU+dV)

=Cov(aUfcU)+Cov(aU,卅+Cov(/?V,c(7)+Cov(bV,dV)=ac~Vbd

1.17解：

a)C0V(Xl+X2,X3+X4)=COV(Xi,X3)+COV(X?X,)+Cov(X2>X3)-Cov；X2,X,)=34-4+6+8=

21.

b)

Cov(X|+X2+X3H2+X3+Xj)=Cov(X|,X?)+Cov(X|;X；<)+Cov(XHX?)

+Cov(X2,X：)+Cov(X2,Xs)+Cov(X2,X()

+CoV(X3,X2)+CoV：X3,X3)+CoV03,X4)

=2+3+4+4+6+8+6+9+12=54

1.18解:

E(X\)=lx-----lx—=0,

Var(X,)=l2xl.(-1)11-0=1,

Cov(X,r)=Cov(X|,X|)=Var(Xi)=I,

'vvn3

記￥:匕中小”e、x,為第i時間段的變化量，且X.與)U相互獨立(7—),易知：T

*Xj則不能?因為此時Cor(X.y)=孑粉

1.20證：

￡/心)p(r=),)=￡￡hMP(Y=J

yih(y)=h,

=￡￡HY=y)ih(y)=hi

=辦Lp(v=y)

?h(y)=hi

1.19

-￡比尹仇(「)-婦

1.21解：

p(x=0=F(0-F(r)=F(i)-F(i-l).

5

第2章正態(tài)隨機變量

2.1解：

a)P(Z<-0.66)=P(Z>0.66)=i~P(Z<0.66)=1一中(0.66)=1-0.7454=0.2546.

b)P(|Z|<1.64)=26(1.64)-1=2x0.9495-1=0.8990.

c)P(|Z|>2.20)=2P(Z>2.20)=2[l-4>(2.20)]=2(1-0.9861)=0.0278.

2.2解：

根據標準正態(tài)分布的對稱性，易知x=2.

2.3證：

P(|Z|>x)=P(Z<一同+P(Z>x)=2P(Z<x)(x>0).

2.4解：

易知：E(Y)=a徹,Mar(K)=，則可得

因為a/0,所以。=2"，8=—1,此時Cov(X,r)=Z>Var(y)=-cr2.

2.5解：

利用3b準則,則

a)68%的值落在1個標準差的范圍內，即127.7土19.2.

b)95%的值落在2個標準差的范圍內，即127.7±2x19.2=127.7±38.4.

c)99.7%的值落在3個標準差的范圍內,即127.7±3x19.2=127.7±57.6.

2.6解：

設兩節(jié)電池的壽命分別為X|,X2,且均獨立同分布于N(400,502),則

a)X|+X2~77(800,2x50%則

76O-8OOX…/‘2⑶

P(X|+X>760)=P[Z>-----)=5—7-x0.714一2…

250x/2)\5)

b)X2—Xi'N(0,2x

50?),則

P(X^Xi>25)=PZ>用=0.36⑶

c)X|-X2~N(0,2x50%則

6

P(|X|-x2|>25)=2P02—X[>25)aO7236.

7

2.7解：

100

記X為沖洗第，?張照片的時間，才=￡為所以X~N(1800,100),則

f=l

a)

P(X>1710)=P(Z>171°~"=<Di9)%1.

b)

P(1690<X<1710)=Pr69°g§180()=<D(_9)-4)(-11)=<D(U)-中(9)%0.

2.8解：

30

記X,為第i位乘客的飛行距離，X=￡*,歷以六NQS0000W0K0D0?),則r-1

a)

b)25000\

2(2300卜備<2700())=26R60°6388.

2.9解：

記S,i單位時間后的股價，定義X,=率，即X,=概率為P(，=?！?/p>

2,—),

J儂曲必1___

所以所求為

尸(半〉1.3)=P(巾凡>1.3)=P(富垢民)In1.3),

由于

E1￡lnX]=lOOOE(lnX)=1000(pln?+(l-p)lnj]幻1.3787,

\/=0/

(999\

QhiXj}=1000Var(lnXj)=I000(pln2?+(1-p)\n'd'[p]nu+(1-p)Inrf]2)asO.1206,

所以

f(芝>")=P目以"L3S(Z>心潔用7)a".0.9993.

2.10解:

700

記X,為第j個時間段股價的變化，x=￡*九則

/=1

E(X)=700￡(%,)=700(-039+0.41)=14.

Var(X)=700Var(X,)=700(0.39+0.41-0.022)=

所以

P(X>10)=P(Z>乂二二)aX(0.1691)=0.5671.

="Z>竺虬

25000

12000

第3章布朗運動與幾何布朗運動

3.1證：

令y(r)=-X(r令r>0),則k(0)=-X(0)=0是一個常數:而

y(t+y)-y(y)=_x(f+y)+x(y)=_[x(f+>,)_X3)L

由于X(/+y)-X3)飛(歸"2),所以y(f+y)-y(y)=-1X(/+y)-X(y)r/V(飛/,za2),所以-X(/)(/>0)是一個漂移參

數為一印方差參數為S的布朗運動.

3.2解：

a)E\X(2)I=￡U(2)-X(0)+X(0)]=E[X(2)—X(0)+10]=10+E[X⑵-X(0)]=10+3x2=16.

b)Var|X(2)|=Var[X(2)—X(0)+X(0)]=Var[X⑵一X(0)+10]=Var[X(2)—X(0)J=2x9=18.

c)

P|X(2)>20]=FZ>-4)(0.9428)=中(-0.9428)=0.1729.

c)由于E[X(0.5)]=10+0.5x3=11.5,Var[X(0.5)]=0.5x9=4.5,則

i()_115\

P[X(OR)>10]=P7.>,0(07071)=076n2

3.3解：

a)￡|X(1)|=10+E[X⑴-X(0)]=10+3x1=13.

b)由于2口一1=§克=籍*，所以Var[X(l)|=1x9x1=8.1.

c)p=四蕓亞，在0.5時刻，經過了5次變化，所以不適合用正態(tài)分布近似.由于X(0)=10,所以5次變

化中Y增加的次數多于減少的次數，所以

P|X(0.5)>10|=(；)/+(：)PW—p)+(：)p3(i—p)S0.7773.

3.4解：

a)耶⑴>S(0)]=P[湍〉1]=小湍>o]=P(Z>端)=中(0.5)=0.6915.

b)P[S(2)>S(1)>5(0)1=P|S⑵)S⑴,S(I)>S(0)]=P[S(2)>5(1)]P[S(1)>S(0)|={P[S(1)>

5(0)]}2=0.6915?=o4781.

c)

P[S(3)<5(1)>S(0)|=P[S(3)<S(1),S(I)>S(0)|=P[S(3)<S⑴回S(1)>S(0)

0-0.2\

=4>(0.5)p[ln湍<0-4>(0.5)P(Z<

=0(0.5)0(0.7071)=0.5257Sx0.22

9

3.5解：

a)耶⑴>5(0)1=P[湍>1=尹卜湍>o=P(z>■=)=6(0.25)=0.5987.

b)P[S(2)>S(1)>5(0)1=P[S(2j>S(l),S(1)>5(0)]=P[S(2)>S⑴脾(1)>S(0)]=(P|S(1)>

5(0)]}2=0.59872=0.3584.

c)

P[S(3)<S(I)>S(0)]=P[S(3)VS(1),S(i)>S(0)]=P[S(3)<S(1)]P[S(1)>5(0)]

=中(0.25升[in湍<0=中(0.25>口<上魚2

/2x0.42

=0(0.25)0(0.3536)=0.3821

3.6解：

E15(r)]=E[se(:]=sE[e-I=

￡|52(r)|=切&U勺)]=$2￡忙飲氣=&2“中氣

Var|S(/)]=-E2[5(r)]=?e2'￥(e<5-I).

3.7證：

根據教材有夕《

P(4'f)=6加々擊(宗岸?小才)

所以當P>0時，

limP(7；,</)=e加々lim4)(=倪沖/"+1=1,—8,1Oy/t)18I(Jy/t)

當“<0時，

)=cWin】6(+lim4>f=le2"+0=eT

O\/t)I"10小J

所以

1,M>0

咐<8)=

/函。',P<0

當“V0時，

P($f>y)=P(T,<oo)=所以5從比率為-券的指數分布.

3.8解：

利用S(f)=sc此則

PS(v)9y)=PmaxX(v)>ln"

Imaxi（i?〃：鬲

二(廣、(激土鑼）

10

3.9解:

利用上一題結論，則

P'maxS(v)<1,2S(0))=P'maxX(v)<lnL2)

=J?%(隸)-;而)

=1-i.22x0J/(o-32)e>(lnl(；0-I)—,(“匕；。

學-1.22°/MXO.9411)—歆0.2744)

:0.3482

11

第4章利率和現值分析

4.1解：

a)遍=(1+61/2)2-1=10.25%.

b)r?,=(1+0.l/4)*-I%10.38%.

c)n.m-=e0J-I%10.52%.

4.2解：

設需要〃年錢變?yōu)閮杀?，則

舛"=2°〃=s-6.93.

0.1

4.3解：

設需要〃年錢變?yōu)樗谋?，則

(1+0.05)w=4今〃就28.41,

(1+0.04)”=4n〃Q35.35.

4.4解：

設需要〃年錢變?yōu)槿?，則

eg(l+r)w=3=>E2旗.

4.5解：注意：每月支付說明有60次投資.

設需要投資x元，則

x￡(l+0.06/12)*=----------------------%1426.15.

4.6解：

計算現值：

一?000+吉搟+黑+尊十黑二3O.75W,

所以這不是?個值得的投資.

4.7解：

記這兩個現金流的現值分別為SI而，則

202020_1510

1010152020

256>

20l+r(l+r)(l+r)3(l+r)*(l+r)(l+r)

Si

a)r-0.03,Si-82.71&-84.63,笫二個現金流更可取.

b)r=0.05,S|=7837,52=第二個現金流更可取.

10,S=69.01,S?=65.99,第一個現金流更可取.

12

4.8解：記現值為S,則

V5001OXKI

a)r=0.06,5=1706.04.

b)r=0.10.S=0.

c)尸=0.12,S=-736.01.

4.9解：

記有效利率為r,則

卜（擊廣

4200-10004=20=>r=0.15.

4.10解：

第一個現金流序列的現值為

910-亮=4頃2,

22+].2+1.22-七.2疽1.24

第二個現金流序列的現值為

789

9+I/I/TFT?*1.2f1.2539.616,

第三個現金流序列的現值為

11267812

C,_L1_____U__二:____________QoQna

1.21.2-1.231.2,1.2s

第四個現金流序列的現值為

111328716

9+1.21.2”1.231L2'一志=40.344'

因此，公司應在一年后購買新機器.

4.11.W：

這家公司可以在第1、2、3、4年的年初購買新機器，其對應的六年現金流如下（以1000美元為單位）：

?在第一年的年初購買新機器：22,7,8,9,10,-4

?在第二年的年初購買新機器：9.25.7.8,9,-9

-在第三年的年初購買新機器：9.II28,7.8,-14

-在第四年的年初購買新機器：9.II13.31,7,-19

對于年利率尸=0.10,第一個現金流序列的現值為

78910吉=46.08、

1.1LI2I.Is1.I4

其他現金流的現值可用同樣的方法計算出.這四個現金流的現

值分別是

46.08,44.08,44.17.4

6.02,

因此，公司應在一年后購買新機器.

13

4.12解：

由于銀行收取兩個百分點的費用，這個貸款的實際費用為120000x0.98=117600.每月需要支付利息

120000x0.5%-600.所以該貸款的現金流為

記有效利率為廠，則

%。=頒￡禺+蚩祟…。?孫

時間0123536

現金流117(500-600-600-600-120600

4.13解:

第一種還款方式的現值為16000美元，第二種還款方式的現值為

S=10000+10000cQ.

a)r=0.02,5=18187.31,第一種還款方式更可取.

b)r=0.05,5=16065.31.第一種還款方式更可取.

c),=0.10,5=13678.79.第二種還款方式更可取.

4.14解：現

金流為

時間00.514.55

現金流-10003030301030

現值為

-1*+￡黑+黯=4。.94.

4.15解:

(1+嘩存款金表示?年后的存款金額，如果最初存入L名義利率為5乳?年內復利”次，復合次數越多,

加i報攵

4.16解:

〃天后可得到的利息為

0Wr/9e6

A=1(X)(e-1),

a)n=30,A=0.49.

b)/?=60,A=0.99.

c)n=120,A=1.99.

4.17解:

10006*1+2000/+3000e

14

4.18解:

L05,L057-

4.19解：

20+>0+r>0.2.

1-f-rI+r

4.20解:

1500=1000cM,nt=6.7578.

4.21解：

Ae^+￡旭-小+明=力。"￡=

n=l11=0'_e

4.22證：

a)因為〃.二加“，當尸》0,“T0時，e汕?汕+1,所以

D(l+h)==De-e"=D(t)Jx1)(0(\+rh)=D(t)+rhD(t).

b)由上一小問，得

m+七鳳)。炳)a*>--<->=］加如)。的)=必).

hfc->oh方TO

c)由上一小問，得

嘰八D(x)=>Ini)(/)=rz+Ini：=>I)(f)=De".

o(0)=A

4.23解：

利用命題4.2.1,令兩個現金流分別為%（：”有加嶼&雙⑸,2,3）,所以前一個現金流更可r=l：

收.

4.24解:

a)100(1+r)2=110=>r=0.0438.

b)有r=(ET,P=0?5,所以印)=籍=+

0.0477.

0,p=0.5

4.25解：

1000

=449.33.

c().O8

4.26解:

7()40

100=—+7—7Tor=0.0728.

1+r(1+r)2

15

4.27懈注意：b)間由于翻譯原因，所向繾同損率是否等于11%,而是是否大于11$.

a)不需要，每個周期的回報率超過10%當且僅當￡吉>L

b)是，因為亮+吾+需=|00為24〉1。。.

4.28蜂

由于XI,X2~N(60,25),所以1.IX]+X2~N(126,55.25),則

戶(各+各g)=Pg+XS2])=P(Z>

=0(0.6727)=0.7494.

4.29解：

找一1=1.942%.

rM

4.30證：

a)HITUm=c。<U,lim=4-oo,歷以化r>l上必包解，nj址倚該解唯

I、取〃=3,q)=_l,ci=_3,C2=1,則P(-0.8)=9,P(0)=-3,P(1)=-；，顯然此時P(r)不單調.

b)

4.31解:

z,,、10009008001200700----“八

PV(")=一面+E+E—?5”序=247.9。)。,

所以應該投資.

4.32證:

(1/e

因為/r(s)dj</尸⑴ds="(f),則JoJo

”(f)―/r(s)ds>Q=>>0,

所以幣)也是f的非減函數.

433

證：有

P(ai)=exp=exp|arr(az)],p°(r)=cxp[-

arf(/)],

所以

P(at)>|P(f)]M—r(at)(「〃)一幣)是f的非減函數.

4.34證：

a)

°、(一/*(5)ll|),*(7)=-,(f)cxp(-Q(g),r(0MD

P?)=exp-

16

b)

P(f)=expJnP(/)=-

4.35

解：

17

第5章合約的套利定價

5.1W：

a)性敦?頃.新TO=F

b)

5.2解：

.0Q.06x1/2-5=-

a)

5.性擋-5=-3.059.

b)

5.3解：

利用一價律，有

S=Kc-CX=S-Kel

5.4證：

若C>S,則通過同時賣出看漲期權和購買證券來實現套利.

5.5解：

由命題5.2.2,有S+P-C=KQ而P>0,所以Kc”>S-C.

5.6解：

由上一題，C>S-K"=30-28C-°O8/J=2.4628.

5.7解：

山練習5.4,有CVS,貝IJ

a)RS=而'，C’-2S正負皆有可能，該式不一定成立.

b)P-Kea=C-S<0'P<Ke"就該式一定成立.

5.8證：

P—K"+S=CNOnPNTS.

5.9證：

在時刻0,賣出一股股票S,賣出一個看跌期權P,買入一個看漲期權C,收入S+P-C：

在時刻f,若<A；賣出的看跌期權無用，看漲期權被執(zhí)行，以執(zhí)行價K買入股票：若S(f)>K,買入的看

漲期權無用，看跌期權被執(zhí)行，以執(zhí)行價K買入股票.

由于S+P_C>KeF,所以(S+P-C)e”_K>0,即總可以獲得正的收益.

5.10證：

?在時刻0,買入一股股票5,買入一個看跌期權P,賣出一個看漲期權C,支出5+P—C：在時刻總是收

?向銀行存入Kc”,支出Ke”,收入K.

所以S+P-C=Ke-".

18

5.11解：

設P為看跌期權的價格，則

a）在時刻0,買入看跌期權P、證券s：在時刻，，由于K>si〉$2,所以賣出看跌期權K,所以回報是3

-S）礦.

b）K一（PS）e"0nP=Ke"—*s.

5.12解：

?在時刻0,買入看漲和看跌期權P,支出C,?；在時刻1,收入I.

一向銀行存入e.,支出e",收入1.

所以C,+&=e-rt.

5.13解：

因為25=S+P—OKeF=20c-°J/4,所以套利策略為在時刻0.賣出征券S,賣出看跌期權P,買入看漲期

權在時刻f,收入K.回報為（S+P*-K=5.6329.

5.14解：

若這些期權均為歐式期權，令其價格分別為GP,則有

C,=C,Pa>P,

所以

S+P-C=Kcr-3+

5.15證：

若Kx?K2<Px-P2,即陽一&+打一月〉0,不妨假設R>3,在時刻0,賣出（Ki,R）,買入（&,3）,收入R■月:在

時刻f,若兩者均執(zhí)行，則支出任-&則陽-&+必-月>0,存在套利機會，產生矛盾，于是K-K>>Pi-P2.

5.16解：

設某一美式看跌期權I時刻的價格為8,另一個美式看跌期權$（$<,>時刻的價格為P4即證八八”若P）

<8,買入（Rj）,賣出（3,s）,若兩者均執(zhí)行，則此時收入支出相互抵消，獲得初始收益外-固，于是存在套

利機會，產生矛盾，所以P,>A.

5.17解：

a）正確，因為C=5+P-Ke”關于I非減，同時該結論對美式看漲期權也成立.

b）錯誤，因為F=Se（「f”，若要關于f非減，需要，而題中未說明大小關系.

O錯誤,因為F=Ke-"+C-S關于1非增.

5.18解：

設歐式看漲期權的價格為C,歐式看跌期權的價格為P,則*=S/P—C