2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變換 階段綜合提升 第4課 三角恒等變換（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修4

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換階段綜合提升第4課三角恒等變換（教師用書(shū)）教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修4授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容教材：新人教A版必修4

章節(jié)：第3章三角恒等變換

內(nèi)容：本節(jié)課將重點(diǎn)講解三角恒等變換的基本公式，包括正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的平方和關(guān)系、倍角公式、半角公式等，并通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生掌握三角恒等變換的應(yīng)用方法。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)三角恒等變換的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象意義，發(fā)展嚴(yán)密的邏輯推理能力，并能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。此外，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生的學(xué)情分析如下：

1.學(xué)生層次：本節(jié)課面向的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們?cè)诔踔须A段已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而，由于個(gè)體差異，學(xué)生在數(shù)學(xué)思維能力、邏輯推理能力和解決問(wèn)題的能力上存在一定差異。

2.知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，對(duì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)有一定的了解。但在高中階段，三角恒等變換的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具備更強(qiáng)的抽象思維能力和邏輯推理能力。

3.能力素質(zhì)：部分學(xué)生在面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)，可能存在理解困難，需要教師引導(dǎo)和啟發(fā)。此外，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可能缺乏對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建和應(yīng)用能力，需要通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)得到提升。

4.行為習(xí)慣：學(xué)生在課堂上的參與度、自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)意識(shí)等方面存在差異。部分學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒；而部分學(xué)生則能夠積極參與課堂討論，勇于提出問(wèn)題。

5.對(duì)課程學(xué)習(xí)的影響：鑒于以上學(xué)情，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重以下方面：首先，通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生理解三角恒等變換的基本公式；其次，通過(guò)分組討論和合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力；最后，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。同時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，因材施教，確保每位學(xué)生都能在課程學(xué)習(xí)中有所收獲。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，即新人教A版必修4教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如三角函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)展示、三角恒等變換的動(dòng)畫(huà)演示等。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器、三角板等教學(xué)工具，以便學(xué)生在課堂上進(jìn)行實(shí)際操作和練習(xí)。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，包括設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，并在需要時(shí)提供實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（5分鐘）

1.提問(wèn)：回顧初中階段學(xué)習(xí)的三角函數(shù)知識(shí)，如正弦、余弦、正切等函數(shù)的定義和圖像。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考：在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的一些性質(zhì)，那么如何將它們進(jìn)行變換和運(yùn)用呢？

3.提出本節(jié)課的主題：今天我們將學(xué)習(xí)三角恒等變換，掌握三角函數(shù)之間的關(guān)系和變換規(guī)律。

二、新課講授（15分鐘）

1.講解三角恒等變換的基本公式：

-以正弦函數(shù)的平方和關(guān)系為例，講解$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

-通過(guò)公式推導(dǎo)，幫助學(xué)生理解三角恒等變換的原理。

2.講解倍角公式和半角公式：

-以倍角公式$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$和$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$為例，講解如何應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)。

-結(jié)合實(shí)例，演示倍角公式和半角公式的應(yīng)用。

3.講解三角函數(shù)的和差化積公式：

-以$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$和$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$為例，講解和差化積公式的應(yīng)用。

-通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握和差化積公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

三、實(shí)踐活動(dòng)（15分鐘）

1.學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，鞏固對(duì)三角恒等變換的理解和應(yīng)用。

2.教師選取典型題目，在黑板上展示解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生注意解題步驟和技巧。

3.學(xué)生分組討論，互相檢查練習(xí)題的答案，并分享解題心得。

四、學(xué)生小組討論（15分鐘）

1.討論內(nèi)容一：如何運(yùn)用三角恒等變換將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)？

-例如：$\sin^3\theta+\cos^3\theta$可以化簡(jiǎn)為$\sin\theta+\cos\theta$。

2.討論內(nèi)容二：如何運(yùn)用三角恒等變換將三角函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為另一種形式？

-例如：將$\cos\theta$表達(dá)式轉(zhuǎn)化為$\sin$表達(dá)式，可以運(yùn)用$\cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$。

3.討論內(nèi)容三：如何運(yùn)用三角恒等變換解決實(shí)際問(wèn)題？

-例如：已知$\sin\theta=\frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。

五、總結(jié)回顧（5分鐘）

1.總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的三角恒等變換公式和變換方法。

2.強(qiáng)調(diào)三角恒等變換在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

3.提出課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)，包括練習(xí)題和思考題。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.理解并掌握了三角恒等變換的基本公式，如正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的平方和關(guān)系、倍角公式、半角公式等。學(xué)生能夠熟練運(yùn)用這些公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和變換，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率。

2.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能夠靈活運(yùn)用三角恒等變換的方法。例如，在處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題或工程問(wèn)題時(shí)，學(xué)生能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用三角恒等變換進(jìn)行求解，提高了問(wèn)題解決的能力。

3.學(xué)生在小組討論和實(shí)踐活動(dòng)中的表現(xiàn)顯示出他們?cè)跀?shù)學(xué)思維和邏輯推理方面的進(jìn)步。通過(guò)小組合作，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何與他人溝通、分享和合作，提高了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。同時(shí)，學(xué)生在討論中積極思考，提出問(wèn)題并尋找解決方案，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維。

4.學(xué)生對(duì)三角恒等變換的學(xué)習(xí)不僅提高了他們的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，還增強(qiáng)了他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)了他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

5.學(xué)生在課堂上的積極參與和主動(dòng)提問(wèn)，表明他們對(duì)三角恒等變換的學(xué)習(xí)有較高的熱情。他們?cè)谡n堂上能夠主動(dòng)思考，提出問(wèn)題，并嘗試用自己的方式解決問(wèn)題，這有助于培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力。

6.學(xué)生在課后作業(yè)和復(fù)習(xí)過(guò)程中，能夠鞏固所學(xué)知識(shí)，并通過(guò)練習(xí)題的反復(fù)練習(xí)，提高了對(duì)三角恒等變換的理解和應(yīng)用能力。這有助于他們?cè)诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)中更好地掌握更高難度的數(shù)學(xué)知識(shí)。

7.學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)和作業(yè)完成情況顯示出他們?cè)跀?shù)學(xué)素養(yǎng)方面的提升。他們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，具備一定的數(shù)學(xué)思維能力，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。典型例題講解例題1：已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosA>0$，求$\cosA$和$\sin2A$的值。

解答：由$\sin^2A+\cos^2A=1$，得$\cos^2A=1-\sin^2A=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}$。因?yàn)?\cosA>0$，所以$\cosA=\frac{4}{5}$。由二倍角公式$\sin2A=2\sinA\cosA$，代入$\sinA$和$\cosA$的值，得$\sin2A=2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$。

例題2：化簡(jiǎn)表達(dá)式$\sin^2x+\cos^2x+2\sinx\cosx$。

解答：利用三角恒等變換公式$\sin^2x+\cos^2x=1$和$\sin2x=2\sinx\cosx$，得$\sin^2x+\cos^2x+2\sinx\cosx=1+\sin2x$。

例題3：求$\cos75^\circ$的值。

解答：利用和差化積公式$\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB$，得$\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$。代入$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$，得$\cos75^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

例題4：證明$\sin^4x+\cos^4x=\frac{1}{2}(1+\cos2x)$。

解答：利用三角恒等變換公式$\sin^2x+\cos^2x=1$，得$\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x$。由二倍角公式$\sin^22x=2\sin^2x\cos^2x$，得$\sin^4x+\cos^4x=1-\sin^22x$。由二倍角公式$\cos2x=1-2\sin^2x$，得$\sin^4x+\cos^4x=1-(1-2\sin^2x)=2\sin^2x=1+\cos2x$。

例題5：已知$\tanA=3$，求$\tan2A$的值。

解答：利用二倍角公式$\tan2A=\frac{2\tanA}{1-\tan^2A}$，代入$\tanA=3$，得$\tan2A=\frac{2\times3}{1-3^2}=\frac{6}{1-9}=\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$。板書(shū)設(shè)計(jì)①三角恒等變換公式

-正弦、余弦、正切的基本平方關(guān)系：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

-倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$

-半角公式：$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$，$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

-和差化積公式：$\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB$，$\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB$

②公式推導(dǎo)步驟

-從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)出目標(biāo)公式

-注意公式的應(yīng)用條件和范圍

-熟練掌握公式推導(dǎo)過(guò)程中的運(yùn)算技巧

③應(yīng)用實(shí)例

-幾何問(wèn)題中的角度和邊長(zhǎng)求解

-物理問(wèn)題中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

-工程問(wèn)題中的三角函數(shù)應(yīng)用

④注意事項(xiàng)

-正確區(qū)分不同公式之間的應(yīng)用條件

-在解題過(guò)程中注意正負(fù)號(hào)和絕對(duì)值的使用

-培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力教學(xué)反思與改進(jìn)今天這節(jié)課，我主要講解了三角恒等變換的內(nèi)容，包括基本公式、推導(dǎo)步驟和應(yīng)用實(shí)例。在回顧教學(xué)過(guò)程時(shí)，我有一些反思和改進(jìn)的想法。

首先，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解三角恒等變換的基本公式時(shí)，存在一些困難。尤其是對(duì)于倍角公式和半角公式的推導(dǎo)過(guò)程，有的學(xué)生覺(jué)得比較抽象，不容易理解。因此，我考慮在未來(lái)的教學(xué)中，可以通過(guò)更多的實(shí)例和圖示來(lái)幫助學(xué)生更好地理解這些公式。比如，可以用幾何圖形來(lái)直觀展示倍角公式，用數(shù)值例子來(lái)演示半角公式的應(yīng)用。

其次，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用三角恒等變換解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往不夠靈活。有些學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，不知道如何選擇合適的公式進(jìn)行變換。為了提高學(xué)生的應(yīng)用能力，我計(jì)劃在課后布置一些實(shí)際應(yīng)用題，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，逐步提高自己的應(yīng)用技巧。

此外，我在課堂上發(fā)現(xiàn)，部