小學(xué)奧數(shù)34個(gè)解答公式-30類對(duì)應(yīng)經(jīng)典題型(附解析)

小學(xué)奧數(shù)344解答公式+30類對(duì)應(yīng)經(jīng)典題

（附答案及解析）

1、和差倍問(wèn)題：

和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題

已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

①（和-差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差=較大數(shù)

和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)差X倍數(shù)-1）=小數(shù)

和■較小數(shù)=較大數(shù)

公式小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

和■小數(shù)=大數(shù)小數(shù)+差=大數(shù)

較大數(shù)-差=較小數(shù)

和■較大數(shù)=較小數(shù)

求出同一條件下的

關(guān)鍵問(wèn)題

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2、年齡問(wèn)題基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3、歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：

問(wèn)題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度〃

等詞語(yǔ)來(lái)表示。

關(guān)鍵問(wèn)題：

根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4、植樹(shù)問(wèn)題:

在直線或者不在直線或者不

在直線或者不封

基本類封閉的曲線上封閉的曲線上

閉的曲線上植樹(shù)，封閉曲線上植樹(shù)

型植樹(shù)，兩端都植植樹(shù)，兩端都

只有一端植樹(shù)

樹(shù)不植樹(shù)

裸數(shù)二段數(shù)?

棵數(shù)=段數(shù)+1

基本公1棵數(shù)二段數(shù)

棵距X段數(shù)二總

式棵距X段數(shù)二棵距X段數(shù)二總長(zhǎng)

長(zhǎng)

總長(zhǎng)

關(guān)鍵問(wèn)

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

題

5、雞兔同籠問(wèn)題：

基本概念：

雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)?總腳數(shù)）X兔腳數(shù)?雞腳數(shù)）

②把所有鬼子假設(shè)成雞:兔數(shù)=（總腳數(shù)一鳴腳數(shù)X總頭數(shù)）.（兔腳數(shù)一鳴腳數(shù)）

關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問(wèn)題：

基本概念：

一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)

生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組

的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思路：

先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)

系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)二（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差

生長(zhǎng)量二（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)■較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）-（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)

間）；

總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；

8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律：

周期現(xiàn)象：

事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：

我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問(wèn)題：

確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均數(shù):

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和?總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較

接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；

再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的

和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

例：把4介物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以

下四種情況：

@4=4+0+0@4=3+1+0@4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有

2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：

如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有：

?k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②卜二門/^!個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn)：

[X]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問(wèn)題：

構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

11、定義新運(yùn)算：

基本概念：

定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。

基本思路：

嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按

照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問(wèn)題：

正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。

注意事項(xiàng)：

①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12、數(shù)列求和:

等差數(shù)列：

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：

首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng):表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：

等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：〃通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中

al,an,dfn,sn

三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求

這第四個(gè)。

基本公式：

通項(xiàng)公式：an=al+(n-1)d;

通項(xiàng)二首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一l)x公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)xn+2;

數(shù)列和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=（an+al）-rd+1;

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)?首項(xiàng)）+公差+1；

公差公式：d=（an-al））v（n-1）;

公差二（末項(xiàng)?首項(xiàng)）一（項(xiàng)數(shù)?1）；

關(guān)鍵問(wèn)題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13、二進(jìn)制及其應(yīng)用：

十進(jìn)制：

用。?9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上

的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2xl02+3xl0+4o

=Anx10n-l+An-lx10n-2+An-2x10n-3+An-3x10n-4+An-4x

10n-5+An-6xl0n-7+??????+A3xl02+A2xl01+Alxl00

注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然數(shù)）

二進(jìn)制：

用0?1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）=Anx2n-l+An-lx2n-2+An-2x2n-3+An-3x2n-4+An-4x

2n-5+An-6x2n-7

+……+A3x22+A2x21+Alx20

注意：不是就是

An010

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次

所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n

次方，依此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。

14、加法乘法原理和計(jì)數(shù)：

加法原理：

如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方

法中有m2種不同方法.....在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件

任務(wù)共有：ml+m2........+mn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：

確定工作的分類方法。

基本特征：

每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：

如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方法，不管第1步

用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步

總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mlxm2xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問(wèn)題：

確定工作的完成步驟。

基本特征：

每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：

一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：

沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。

線段：

直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：

有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

射線：

把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。

射線特點(diǎn)：

只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)-1）;

②數(shù)角規(guī)律=l+2+3+.??+（射線數(shù)一l）;

③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)二長(zhǎng)的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：

④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=lxl+2x2+3x3+.??+行數(shù)x列數(shù)

15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：

質(zhì)數(shù)：

一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：

一介數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：

如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：

把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因

數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：

N=，其中al、a2、a3......an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且al<a2<a3<......van。

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：

P=(rl+l)x(r2+l)x(r3+l)x……x(rn+l)

互質(zhì)數(shù)：

如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16、約數(shù)與倍數(shù)：

約數(shù)和倍數(shù)：

若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：

幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的

最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

，幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公

約數(shù)乘以

m0

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的

最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的

最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……;

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作口2,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17、數(shù)的整除:

基本概念和符號(hào)：

1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒(méi)有余

數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a.

2、常用符號(hào)：整除符號(hào)，不能整除符號(hào)""；因?yàn)榉?hào)所以的符

號(hào)；

整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除c

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用：

基本概念：

對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q……r,且Ovrvb,那么r叫做a除

以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若除以的余數(shù)相同，則或

a.bcc|a-bc|b-a0

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c

的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的

余數(shù)。

19、余數(shù)、同余與周期：

同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a=b(mod

m),讀作a同余于b模m。

同余的性質(zhì)：

①自身性：ana(modm);

②對(duì)稱性：若aHb(modm),則b三a(modm);

③傳遞性：若a三b(modm),b三c(modm),則a三c(modm);

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c=

b-d(modm);

⑤相乘性：若a=b(modm),c=d(modm),貝ijaxc=bxd(modm);

⑥乘方性：若a=b(modm),則an三bn(modm);

⑦同倍性:若整數(shù)則三

a=b(modm),cfaxebxc(modmxc);

關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M=n(mod9)或(mod

3)；

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)

位上數(shù)字的和，則MEY-X或ME11-(X-Y)(mod11);

費(fèi)爾馬小定理：

如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-lEl(modp)。

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位"1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大

小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位“V平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換

成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分

率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假

設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如

何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總

量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，

但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明

朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21、分?jǐn)?shù)大小的比較：

基本方法：

③通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值

越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方

法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小"具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22、分?jǐn)?shù)拆分:

將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：

23、完全平方數(shù)：

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余?；蛴?;反之不成立。

3.除以4余?；蛴?;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：

X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：

（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24、比和比例：

比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比

的后項(xiàng)。

比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad二be。

正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A

與B成正比。

反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A

與B成反比。

比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25、綜合行程:

基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者

之間的關(guān)系.

基本公式：路程二速度x時(shí)間；路程+時(shí)間=速度；路程+速度=時(shí)間

關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。

相遇問(wèn)題：速度和x相遇時(shí)間;相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式）

追及問(wèn)題：追及時(shí)間二路程差+速度差（寫(xiě)出其他公式）

流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程=（船速■水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速■水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速二（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫(huà)線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度

和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26、工程問(wèn)題：

基本公式：

①工作總量=工作效率x工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思路：

③假設(shè)工作總量為“工”（和總工作量無(wú)關(guān)）；

②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍

數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問(wèn)題：

確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理：

條件分析一假設(shè)法：

假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾

的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假

設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

條件分析一列表法：

當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列

表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不

同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

條件分析一圖表法：

當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線

則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人

之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。

邏輯計(jì)算：

在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)

算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。

簡(jiǎn)單歸納與推理：

根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到

一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。

28、幾何面積：

基本思路：

在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，

平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行

計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律.

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊

位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等

腰直角三角形的面積）

②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

29、時(shí)鐘問(wèn)題一快慢:

基本思路：

1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題；

2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；

5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系；

30、時(shí)鐘問(wèn)題一鐘面追及：

基本思路：

封閉曲線上的追及問(wèn)題。

關(guān)鍵問(wèn)題：

①確定分針與時(shí)針的初始位置；

②確定分針與時(shí)針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小相，每小格我們稱為工分格。分針每小時(shí)走60

分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1/

12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6。，時(shí)針

每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。

31、濃度與配比：

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑.

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量二溶質(zhì)重量+溶劑重量；

溶質(zhì)重量二溶液重量x濃度；

濃度二溶質(zhì)/溶液xl00%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）X100%

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：

在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

32、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題:

利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)二（賣價(jià)-成本）+成本xlOO%;

賣價(jià)二成本X（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

成本=賣價(jià)+（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定；

定價(jià)二成本X（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；

本金：儲(chǔ)蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息:本金X利率X期數(shù)；

含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格X（1+增值稅稅率）；

33、不定方程：

一次不定方程：

含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程,由于它的解不唯一，所以也叫

做二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：

根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方

程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知識(shí)點(diǎn)：

列方程、數(shù)的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：

1、列方程；2、消元；3、寫(xiě)出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答

案；

技巧總結(jié)：

A、寫(xiě)出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考

慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；

B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；

34、循環(huán)小數(shù)：

把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則：

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母

的各位都是9,9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組

成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個(gè)數(shù)

與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0,0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法:

①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，

那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一介最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的

小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。

小學(xué)奧數(shù)應(yīng)用題30道典型題型（完整版）

1、歸一問(wèn)題11.行船問(wèn)題21、方陣問(wèn)題

2、歸總問(wèn)題12、列車問(wèn)題22、商品利潤(rùn)問(wèn)題

3、和差問(wèn)題13、時(shí)鐘問(wèn)題23、存款利率問(wèn)題

4、和倍問(wèn)題14、盈虧問(wèn)題24、溶液濃度問(wèn)題

5、差倍問(wèn)題15、工程問(wèn)題25、構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題

6、倍比問(wèn)題16、正反比例問(wèn)題26、幻方問(wèn)題

7、相遇問(wèn)題17、按比例分配27、抽屜原則問(wèn)題

8、追及問(wèn)題18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題28、公約公倍問(wèn)題

9、植樹(shù)問(wèn)題19、"牛吃草"問(wèn)題29、最值問(wèn)題

10、年齡問(wèn)題20、雞兔同籠問(wèn)題30、列方程問(wèn)題

一、歸一問(wèn)題

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求

出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量小份數(shù)份數(shù)量

1份數(shù)量X所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量+（總量。份數(shù)）二所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6+5=0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12x16=1.92（元）

列成綜合算式0.6^5x16=0.12x16=1.92（7U）

答：需要1.92元。

例23臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？

解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90-3-3=10（公頃）

（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10x5x6=300（公頃）

列成綜合算式90+3+3x5x6=10x30=300（公頃）

答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。

例35輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，

需要運(yùn)幾次？

解（1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？100+5+4=5（噸）

（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？5x7=35（噸）

（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？105-35=3（次）

列成綜合算式105+（100+5+4x7）=3（次）

答：需要運(yùn)3次。

二、歸總問(wèn)題

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量"，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題，

叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地

上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量X份數(shù);總量

總量+1份數(shù)量=份數(shù)

總量?另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？3.2x791=2531.2（米）

（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2+2.8=904（套）

列成綜合算式3.2x791+2.8=904（套）

答：現(xiàn)在可以做904套。

例2小華每天讀24頁(yè)書(shū)，12天讀完了《紅巖》一書(shū)。小明每天讀36頁(yè)書(shū)，幾

天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書(shū)總共多少頁(yè)？24x12=288（頁(yè)）

（2）小明幾天可以讀完《紅巖》？288+36=8（天）

列成綜合算式24x12-36=8（天）

答：小明8天可以讀完《紅巖》。

例3食堂運(yùn)來(lái)一批兼菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后

來(lái)根據(jù)大家的意見(jiàn)，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？

解（1）這批蔬菜共有多少千克？50x30=1500（千克）

（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500~50+10）=25（天）

列成綜合算式50x30+（50+10）=1500+60=25（天）

答：這批蔬菜可以吃25天。

三、和差問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)

題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)二（和+差）+2

小數(shù)=（和?差）+2

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式復(fù)雜的題目變通后再用公式。

例1甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

解甲班人數(shù)=（98+6）+2=52（人）

乙班人數(shù)=（98?6）+2=46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。

解長(zhǎng)二（18+2）+2=10（厘米）

寬=（18?2）+2=8（厘米）

長(zhǎng)方形的面積=10x8=80（平方厘米）

答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩

袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32?30）=2千克，

且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量=（22+2）+2=12（千克）

丙袋化肥重量=（22?2）+2=10（千克）

乙袋化肥重量=32?12=20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4甲乙兩車原來(lái)共裝蘋(píng)果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙

車還多3筐，兩車原來(lái)各裝蘋(píng)果多少筐？

解“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說(shuō)明甲車是

大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14x2+3）,甲與乙的和是97,因此甲車筐數(shù)=

（97+14x2+3）+2=64（筐）

乙車筐數(shù)=97?64=33（筐）

答：甲車原來(lái)裝蘋(píng)果64筐，乙車原來(lái)裝蘋(píng)果33筐。

四、和倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要

求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總和■（幾倍+1）=較小的數(shù)

總和?較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1果園里有杏樹(shù)和桃樹(shù)共248棵，桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，求杏樹(shù)、初闞各

多少棵？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？248+（3+1）=62（棵）

（2）桃樹(shù)有多少棵？62x3=186（棵）

答：杏樹(shù)有62棵，桃樹(shù)有186棵。

例2東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各

存糧多少噸？

解（1）西庫(kù)存糧數(shù)=480+（1.4+1）=200（噸）

（2）東庫(kù)存糧數(shù)=480-200=280（噸）

答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。

例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開(kāi)往乙站28輛，從乙

站開(kāi)往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

解每天從甲站開(kāi)往乙站28輛,從乙站開(kāi)往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開(kāi)往乙

站（28?24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍

量，兩站的車輛總數(shù)（52+32）就相當(dāng)于（2+1）倍，

那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為

（52+32）-（2+1）=28（輛）

所求天數(shù)為（52?28）?（28?24）=6（天）

答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。

例4甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各

是多少？

解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

因?yàn)橐冶燃椎?倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；

又因?yàn)楸燃椎?倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；

這時(shí)（170+4?6）就相當(dāng)于（1+2+3）倍。那么，

甲數(shù)二（170+4-6）（1+2+3）=28

乙數(shù)=28x2?4:52

丙數(shù)=28x3+6=90

答:甲數(shù)是28,次是52,丙數(shù)是90。

五、差倍問(wèn)題

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要

求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差+（幾倍?1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)X幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1果園里桃樹(shù)的棵數(shù)是杏樹(shù)的3倍，而且桃樹(shù)比杏樹(shù)多124棵。求杏樹(shù)、桃樹(shù)

各多少裸？

解（1）杏樹(shù)有多少棵？124,（3?1）=62（棵）

（2）桃樹(shù)有多少棵？62x3=186（棵）

答：果園里杏樹(shù)是62棵，桃樹(shù)是186棵。

例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今

年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=27+（4?1）=9（歲）

（2）爸爸年齡=9x4=36（歲）

答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又知

本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？

解如果把上月盈利作為1倍量，則（30?12）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的（2-1）

倍，因此

上月盈利=(30?12)+(2?1)=18(萬(wàn)元)

本月盈利=18+30=48（萬(wàn)元）

答：上月盈利是18萬(wàn)元，本月盈利是48萬(wàn)元。

例4糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問(wèn)幾

天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差

（）把幾天后剩下的小麥看作倍量，則幾天后剩下的玉米就是倍量，

138-94e13

那么，（138-94）就相當(dāng)于（3?1）倍，因此

剩下的小麥數(shù)量=（138-94）+（3-1）=22（噸）

運(yùn)出的小麥數(shù)量=94?22=72（噸）

運(yùn)糧的天數(shù)=727=8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

六、倍比問(wèn)題

【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出

這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量?一個(gè)數(shù)量二倍數(shù)

另一個(gè)數(shù)量x倍數(shù);另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例1100千克油菜籽可以榨油40千克現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700?100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克？40x37=1480（千克）

列成綜合算式40x（3700+100）=1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2今年植樹(shù)節(jié)這天某小學(xué)300名師生共植樹(shù)400棵照這樣計(jì)算全縣48000

名師生共植樹(shù)多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？48000+300=160（倍）

（2）共植樹(shù)多少棵？400x160=64000（棵）

列成綜合算式400x（48000+300）=64000（棵）

答：全縣48000名師生共植樹(shù)64000棵。

例3鳳翔縣今年蘋(píng)果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)

算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？800+4=200（倍）

（2）800畝收入多少元？11111x200=2222200（元）

（3）16000畝是800畝的幾倍?16000+800=20（倍）

（4）16000畝收入多少元?2222200x20=44444000（元）

答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，

全縣16000畝果園共收入44444000元。

七、相遇問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫

做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程+（甲速+乙速）

總路程二（甲速+乙速）X相遇時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式復(fù)雜的題目變通后再利用公式。

例1南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開(kāi)出一艘輪船相對(duì)而行，從南

京開(kāi)出的船每小時(shí)行28千米，從上海開(kāi)出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)兩船相

遇？

解392-（28+21）=8（小時(shí)）

答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。

例2小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每

秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需

多長(zhǎng)時(shí)間？

解“第二次相遇“可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400x2

相遇時(shí)間=（400x2）-（5+3）=100（秒）

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。

例3甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行

13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。

解”兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎

得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走的路程是（3

x2）千米，因此，

相遇時(shí)間=（3x2）+（15?13）=3（小時(shí)）

兩地距離二（15+13）x3=84（千米）

答：兩地距離是84千米。

A,追及問(wèn)題

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，

或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，

行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)

題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時(shí)間=追及路程+（快速?慢速）

追及路程=（快速?慢速）X追及時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能

追上劣馬？

解（1）劣馬先走12天能走多少千米？75x12=900（千米）

(2)好馬幾天追上劣馬？900-(120-75)=20(^)

列成綜合算式75x12+(120-75)=900+45=20(天)

答：好馬20天能追上劣馬。

例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地

點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多

少米。

解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈即200米此時(shí)小亮跑了(500-200)

米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200

米用40秒，則跑500米用［40x(500-200)］秒，所以小亮的速度是

(500-200)v［40x(500+200)］

=300+100=3(米)

答：小亮的速度是每秒3米。

例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開(kāi)始從甲地以每小時(shí)

10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開(kāi)始從乙

地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？

解敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是(22?16)小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑

的路程是［10x(22-6)］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時(shí)間=［10x(22-6)+60］。(30-10)

=220+20=11(小時(shí))

答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。

例4一輛客車從甲站開(kāi)往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開(kāi)往甲

站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。

解這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車

（16x2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間，

這個(gè)時(shí)間為16x2+（48?40）=4（小時(shí)）

所以兩站間的距離為（48+40）x4=352（千米）

列成綜合算式（48+40）x[16x2+（48-40）]

=88x4

二352（千米）

答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到

校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問(wèn)

他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

解要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從

出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180x2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?0

?60）米，

那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為

180x2+（90-60）=12（分鐘）

家離學(xué)校的距離為90x12-180=900（米）

答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。

例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，

當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。

后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開(kāi)始就跑步，可比原來(lái)步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑

步的速度。

解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（10

?5）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了（10?5）分鐘。

如果從家一開(kāi)始就跑步，可