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文檔簡介
陜西省洛南縣永豐中學(xué)2024-2025學(xué)年招生全國統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)試題模擬試卷(一)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:,,,,則按照以上規(guī)律,若具有“穿墻術(shù)”,則()A.48 B.63 C.99 D.1202.已知分別為雙曲線的左、右焦點,點是其一條漸近線上一點,且以為直徑的圓經(jīng)過點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.5.如圖所示,三國時代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計,?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1086.函數(shù)且的圖象是()A. B.C. D.7.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.8.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為A.72 B.64 C.48 D.329.已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面,那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的()A. B. C. D.10.己知,,,則()A. B. C. D.11.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.12.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,,若動點滿足,則的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.點P是△ABC所在平面內(nèi)一點且在△ABC內(nèi)任取一點,則此點取自△PBC內(nèi)的概率是____14.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點,則實數(shù)的取值范圍為_____.15.點在雙曲線的右支上,其左、右焦點分別為、,直線與以坐標(biāo)原點為圓心、為半徑的圓相切于點,線段的垂直平分線恰好過點,則該雙曲線的漸近線的斜率為__________.16.已知,則展開式中的系數(shù)為__三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.18.(12分)已知直線:與拋物線切于點,直線:過定點Q,且拋物線上的點到點Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點的坐標(biāo);(2)設(shè)直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.19.(12分)如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點,是棱上的點,且.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實數(shù)a,b,使得,?并說明理由.21.(12分)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是:(是參數(shù)).(1)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.(2)設(shè)為曲線上任意一點,求的取值范圍.22.(10分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
觀察規(guī)律得根號內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.【詳解】解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選:C.本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
根據(jù)題意,設(shè)點在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點在第一象限,雙曲線的一條漸近線方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過點,則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線的離心率為.故選:B.本題主要考查雙曲線的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點與最低點的高度差為,所以函數(shù)的半個周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡單題目.5.B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,
則小正方形的邊長為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.6.B【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,再取特殊值,利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況,即可得解.【詳解】由題可知定義域為,,是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,排除C,D.又,,在必有零點,排除A.故選:B.本題考查了函數(shù)圖象的判斷,考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.7.C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當(dāng)時,,在遞減;當(dāng)時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.8.B【解析】
由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,利用體積公式,即可求解?!驹斀狻坑深}意,幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個底面邊長為4,高為3的正四棱錐,所以幾何體的體積為,故選B。本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算,在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解。9.C【解析】試題分析:通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知,只有選項C是符合要求的.考點:三視圖10.B【解析】
先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形,再判斷.【詳解】因為,,所以,故選:B.本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11.C【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項;結(jié)合特殊值,即可排除D選項.【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項A,B;又∵當(dāng)時,,故選:C.本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
設(shè)出的坐標(biāo)為,依據(jù)題目條件,求出點的軌跡方程,寫出點的參數(shù)方程,則,根據(jù)余弦函數(shù)自身的范圍,可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則∵,∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數(shù)方程為(為參數(shù))則由向量的坐標(biāo)表達(dá)式有:又∵∴故選:D考查學(xué)生依據(jù)條件求解各種軌跡方程的能力,熟練掌握代數(shù)式轉(zhuǎn)換,能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積,屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有:①直接法;②定義法;③相關(guān)點法;④參數(shù)法;⑤待定系數(shù)法二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè)是中點,根據(jù)已知條件判斷出三點共線且是線段靠近的三等分點,由此求得,結(jié)合幾何概型求得點取自三角形的概率.【詳解】設(shè)是中點,因為,所以,所以三點共線且點是線段靠近的三等分點,故,所以此點取自內(nèi)的概率是.故答案為:本小題主要考查三點共線的向量表示,考查幾何概型概率計算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為:.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】如圖,是切點,是的中點,因為,所以,又,所以,,又,根據(jù)雙曲線的定義,有,即,兩邊平方并化簡得,所以,因此.16.1.【解析】
由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,求出展開式中的系數(shù).【詳解】∵已知,則,
它表示4個因式的乘積.
故其中有2個因式取,一個因式取,剩下的一個因式取1,可得的項.
故展開式中的系數(shù).
故答案為:1.本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時,恒成立,;②當(dāng)時,,即,;③當(dāng)時,顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),,故得證.本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.18.(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點的坐標(biāo);(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點坐標(biāo),由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因為直線與拋物線C相切,所以,解得,此時,所以點P坐標(biāo)為(1,2)(2)設(shè)存在滿足條件的實數(shù),點,聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實數(shù)=滿足條件.本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.19.(1)見解析(2)【解析】
(1)連結(jié)BM,推導(dǎo)出BC⊥BB1,AA1⊥BC,從而AA1⊥MC,進(jìn)而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形,從而MN∥AP,由此能證明MN∥平面ABC.(2)推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形,設(shè)AB,則AA1=2a,BM=AM=a,推導(dǎo)出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M為坐標(biāo)原點,MA1,MB,MC為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【詳解】(1)如圖1,在三棱柱中,連結(jié),因為是矩形,所以,因為,所以,又因為,,所以平面,所以,又因為,所以是中點,取中點,連結(jié),,因為是的中點,則且,所以且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因為平面,平面,所以平面.(圖1)(圖2)(2)因為,所以是等腰直角三角形,設(shè),則,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,則,,如圖2,以為坐標(biāo)原點,,,的方向分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,.所以,則,,設(shè)平面的法向量為,則即取得.故平面的一個法向量為,因為平面的一個法向量為,則.因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.本題考查線面平行的證明,考查了利用空間向量法求解二面角的方法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.20.(1
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