2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第87講、二項(xiàng)式定理（學(xué)生版）

第87講二項(xiàng)式定理

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

（1）二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有：

n0n1n1rnrrnn

(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)，

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式．

式中的rnrr做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：

CnabTr1r1

rnrr

Tr1Cnab，

r

其中的系數(shù)Cn（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

（2）二項(xiàng)式(ab)n的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有n1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

r

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b

升冪排列，次

數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；

012rn

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn，Cn，Cn，，Cn，，Cn，項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)

（包括二項(xiàng)式系

數(shù)）．

（3）兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

n0n1n1rrnrrnnn*

①(ab)CnaCnab(1)Cnab(1)Cnb（nN）

n122rrn

②(1x)1CnxCnxCnxx

（4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：rnrr

Tr1Cnabr0,1,2,3,,n

r

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn；

②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③a與b的次數(shù)之和為n．

nrnrrn

注意：①二項(xiàng)式(ab)的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Cnab和(ba)的二項(xiàng)展開式的第

項(xiàng)rnrr是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．

r+1Cnbaab

②通項(xiàng)是針對(duì)在(ab)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(ab)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是

rrnrr（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．

Tr1(1)Cnabbb

2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題

（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是，即0n；其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，即

1CnCn“”

mm1m．

Cn1CnCn

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即mnm．

“”CnCn

③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為012rnn，

ab1CnCnCnCnCn2

變形式12rnn．

CnCnCnCn21

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令a1，b1，

則0123nnn，

CnCnCnCn(1)Cn(11)0

1

從而得到：C0C2C4C2rC1C3C2r12n2n1．

nnnnnnn2

⑤最大值：

n

如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)2最大；

nTnCn

1

2

n1n1

如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)2，2相等

nTn1Tn1CnCn

1

22

且最大．

（2）系數(shù)的最大項(xiàng)

求(abx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為

AA

，，，，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有r1r，從而解出來．

A1A2An1r1r

Ar1Ar2

知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

n0n1n12n22rnrrnn

（1）設(shè)abCnaCnabCnabCnabCnb，

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)a，b的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要

靈活選取a，b的值．

n01n

①令ab1，可得：2CnCnCn

0123nn

②令a1，b1，可得：0CnCnCnCn1Cn，即：

02n13n1

CnCnCnCnCnCn（假設(shè)n為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：

02n13n1n1

CnCnCnCnCnCn2．

nn1n2

（2）若f(x)anxan1xan2xa1xa0，則

①常數(shù)項(xiàng)：令，得．

x0a0f(0)

②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．

x1f(1)a0a1a2an1an

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

f(1)f(1)

（i）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為aaa；

0242

f(1)f(1)

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為aaa．

1352

（可簡(jiǎn)記為：n為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）

f(1)f(1)

（ii）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為aaa；

0242

f(1)f(1)

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為aaa．

1352

（可簡(jiǎn)記為：n為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）

12n1n

若f(x)a0a1xa2xan1xanx，同理可得．

注意：常見的賦值為令x0，x1或x1，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．

必考題型全歸納

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

43

21

例1．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與xa展開

xx2

式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則a的值為（）

A．3B．2C．2D．3

n

1x

例2．（2024·四川成都·成都實(shí)外校考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，

x2

則n的可能取值為（）

A．4B．5C．6D．8

6

2

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）ax展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝（）

x

A．－1B．1C．±1D．2

6

a

變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)a

x

（）

A．2B．-2C．8D．-8

n

2

變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x的展開式中第3項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n（）

x

A．6B．5C．4D．3

【解題方法總結(jié)】

Nmt

在形如(axmbxn)N的展開式中求xt的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求r，則r．

mn

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

6

a

例4．（2024·重慶南岸·高三重慶第二外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a0，二項(xiàng)式x

x2

的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A．36B．30C．15D．10

8

1

例5．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式2x的展開

x

式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A．1792B．－1792C．1120D．－1120

2

例6．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）(x2)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

x

A．240B．240C．15D．15

6

121

變式3．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學(xué)考試）2x的展開式中的常

x3x

數(shù)項(xiàng)為（）

A．20B．20C．－10D．10

n

12

變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若x3nN*的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n

x

（）

A．2kkN*B．3kkN*C．5kkN*D．7kkN*

n

1*

變式5．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若3xnN展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的

x

最小值是（）

A．2B．3C．12D．10

【解題方法總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，令指數(shù)為零，確定r，代入．

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

5

例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在x3y的展開式中，有理項(xiàng)的系數(shù)為（）

A．10B．5C．5D．10

例8．（2024·全國(guó)·高考真題）二項(xiàng)式(233x)50的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有（）

A．6項(xiàng)B．7項(xiàng)C．8項(xiàng)D．9項(xiàng)

8

1

例9．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）x的展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)和為

3x

（）

A．85B．29C．27D．84

24

41

變式6．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式x展

x

開式中，有理項(xiàng)共有（）項(xiàng)．

A．3B．4C．5D．7

12

1

變式7．（2024·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）在二項(xiàng)式2x的展開式中，有理項(xiàng)共

3x

有（）

A．3項(xiàng)B．4項(xiàng)C．5項(xiàng)D．6項(xiàng)

變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若(36x52x)n的展開式中有且僅有三個(gè)有理項(xiàng)，

則正整數(shù)n的取值為（）

A．4B．6或8C．7或8D．8

【解題方法總結(jié)】

先寫出通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項(xiàng)．

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

n

例10．（2024·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知x2y的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的x5y2項(xiàng)的系數(shù)為（）

A．―4B．84C．―280D．560

16

例11．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）1(2x)展開式中x2的系

2x2

數(shù)為（）

A．270B．240C．210D．180

26

例12．（2024·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）x11x的展開式中x4的系數(shù)是（）

A．20B．20C．10D．10

n

22*

變式9．（2024·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知xnN的展

x

開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則其展開式中x3的系數(shù)為（）

A．240B．240C．160D．160

8

2

變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式x的展開式中，含x的項(xiàng)的二項(xiàng)式

x

系數(shù)為（）

A．28B．56C．70D．112

5

2

變式11．（2024·北京·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式x的展開式中，含x3項(xiàng)的二項(xiàng)式系

x

數(shù)為（）

A．5B．5C．10D．10

【解題方法總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，確定r，代入．

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

12

12

例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在1x的展開式中，x的系數(shù)為.

x2022

例14．（2024·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）(x2y1)5展開式中含xy3項(xiàng)

的系數(shù)為．

例15．（2024·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）(x2y3z)6的展開式中xy2z3的系數(shù)

為（用數(shù)字作答）．

5

1

變式12．（2024·福建三明·高三統(tǒng)考期末）x2展開式中常數(shù)項(xiàng)是.（答案

x

用數(shù)字作答）

7

421

變式13．（2024·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）xy展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

2xy

變式14．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為．

7

225

變式15．（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）x1展開式中x的系數(shù)是.

x

【解題方法總結(jié)】

三項(xiàng)式(abc)n(nN)的展開式：

nnrnrr

(abc)[(ab)c]Cnabc

rqnrqqr

CnCnrabc

rqnrqqr

CnCnrabc

若令nrqp，便得到三項(xiàng)式(abc)n(nN)展開式通項(xiàng)公式：

rqpqr

CnCnrabc(p，q，rN，pqrn)，

n!(nr)!n!

其中CrCq叫三項(xiàng)式系數(shù)．

nnrr!(nr)!q!(nrq)!p!q!r!

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

例16．（2024·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）(12x)(13x)5的展開式

中x3的系數(shù)為．

5

32

例17．（2024·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在x1x的展開式中含x項(xiàng)的系

x

數(shù)是.

26

例18．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）1xx(1x)展開式中x7的系數(shù)

是.

16

變式16．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）x1x1的展開式常數(shù)項(xiàng)是.

x

（用數(shù)字作答）

變式17．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知多項(xiàng)式

3476

(x2)(x1)a1(x1)a2(x1)a7x1a8，則a7.

6

變式18．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）xyx2y的展開式中含x4y3項(xiàng)

的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）

5

2

變式19．（2024·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)1mxx展開式

x

中的常數(shù)項(xiàng)為80，則實(shí)數(shù)m的值為.

變式20．（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）(x1)6x22x1展開

式中x3的系數(shù)為.

【解題方法總結(jié)】

分配系數(shù)法

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

n

1

例19．（2024·山東青島·統(tǒng)考三模）若x展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，

3x

則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為．（用數(shù)字作答）

n

2

例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）二項(xiàng)式x的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系

x

數(shù)最大，則含x6的項(xiàng)是．

例21．（2024·人大附中校考三模）已知二項(xiàng)式(2xa)n的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)最大，且展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20，則實(shí)數(shù)a的值為.

n

1

變式21．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式2x的展開式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)

3x

的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n，展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為．

變式22．（2024·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知(1x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為.

n

3

變式23．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在3x的二項(xiàng)展開式中，只有第5項(xiàng)的二

x

項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于．

【解題方法總結(jié)】

利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可．

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

46

例22．（2024·海南海口·海南華僑中學(xué)?？家荒＃┰趚1yz的展開式中，系數(shù)最

大的項(xiàng)為.

n

例23．（2024·江西吉安·江西省萬安中學(xué)?？家荒＃┮阎?3x的展開式中，末三項(xiàng)的

二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（.不用計(jì)算，寫出表達(dá)式即可）

例24．（2024·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）(x1)8的二項(xiàng)式展開中，系數(shù)最大的項(xiàng)

為．

變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知(13x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則該

展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．

2

變式25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若(x)n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，則

4x

展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．

2n

1*

變式26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）xnN展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)最大，

3x

則其常數(shù)項(xiàng)為.

n

1

變式27．（2024·安徽蚌埠·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若二項(xiàng)式x展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)

2

最大，則n的所有可能取值的個(gè)數(shù)為.

【解題方法總結(jié)】

有兩種類型問題，一是找是否與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)最值

TrTr1

問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：，注意：系數(shù)比較大小．

TrTr1

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

202322023

例25．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知12xa0a1xa2xa2023x，

則下列結(jié)論正確的是（）

A．展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為22023

320231

B．展開式中所有奇次項(xiàng)的系數(shù)的和為

2

32023-1

C．展開式中所有偶次項(xiàng)的系數(shù)的和為

2

aaaa

D．12320231

2222322023

例26．（多選題）（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知

627

x1x2a0a1xa2xa7x，則（）

A．a(chǎn)064B．a(chǎn)163

C．a(chǎn)0a1a70D．a(chǎn)1a3a5a71

929

例27．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知(1x)a0a1xa2xa9x，則

（）

A．a(chǎn)01

B．a(chǎn)1a2a3a90

C．a(chǎn)1a3a5a7a9256

239

D．2a12a22a32a92

10210

變式28．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知(2x1)a0a1xa2xa10x，

則（）

A．a(chǎn)01B．a(chǎn)120

10

C．a(chǎn)1a2a100D．a(chǎn)1a3a913

627

變式29．（多選題）（2024·山東日照·三模）已知x1(x2)a0a1xa2xa7x，

則（）

A．a(chǎn)064B．a(chǎn)71

C．a(chǎn)1a2a70D．a(chǎn)1a3a5a71

2n22n

變式30．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)1xxa0a1xa2xa2nx，

則下列選項(xiàng)正確的是（）

n

A．a(chǎn)01B．a(chǎn)0a1a2a2n2

3n13n1

C．a(chǎn)aaaD．a(chǎn)aaa

0242n21352n12

變式31．（多選題）（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知

627

x1(x2)a0a1xa2xa7x．則（）

．．

Aa064Ba248

C．a(chǎn)1a2a70D．a(chǎn)1a3a5a71

變式32．（多選題）（2024·全國(guó)·校聯(lián)考三模）若在

23nn1n

(12x)(12x)(12x)a0a1xan1xanx中，a05，則（）

379

A．n7B．a(chǎn)aaa

01n1n2

C．a(chǎn)2224D．a(chǎn)664

變式33．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知

727aaa

2xmaa1xa1xa1x，若a127128，則有（）

0127022227

A．m2

B．a(chǎn)3280

C．a(chǎn)01

D．a(chǎn)12a23a34a45a56a67a714

變式34．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知

n76

12xa3xa0a1x...a6xa0，則（）

A．n6B．a(chǎn)128

7

a0a1a67

C．D．a(chǎn)12a26a664

373633

變式35．（多選題）（2024·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知

29218

xx1a0a1xa2xa18x，下列說法正確的有（）

A．a(chǎn)01B．a(chǎn)242

9

3111

C．a(chǎn)aaD．a(chǎn)12a23a318a183

24182

變式36．（多選題）（2024·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若

6236

(x1)a0a1x1a2(x1)a3(x1)a6(x1)，則（）

A．a(chǎn)064B．a(chǎn)0a2a4a6365

C．a(chǎn)512D．a(chǎn)12a23a34a45a56a66

727

變式37．（多選題）（2024·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知12xa0a1xa2xa7x，

則（）

7

A．a(chǎn)01B．a(chǎn)22

7

C．a(chǎn)0a1a2a71D．a(chǎn)0a1a2a73

變式38．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若

220222022

1x1x1xa0a1xa2022x，則（）

3

A．a(chǎn)02022B．a(chǎn)2C2023

20222022

ii1

C．(1)ai1D．(1)iai1

i1i1

【解題方法總結(jié)】

二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：2n；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：2n1．

n2n

系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：(axb)a0a1xa2x...anx

（，，，是系數(shù)），令得系數(shù)和：n．

a0a1...anx1a0a1...an(ab)

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

665

例28．（2024·北京東城·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)(2x1)a6xa5xa1xa0，

則a1a3a5．（用數(shù)字作答）

例29．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)多項(xiàng)式

610109

(x1)(x1)a10xa9xa1xa0，則a0a2a4a6a8a10.

例30．（2024·新疆·高三八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知

425

(xm)(x2)a0a1xa2xa5x，若a016，則a1a3a5．

6

變式39．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在ax1x的展開式中，x的所有奇次冪的系數(shù)和

為32，則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．

變式40．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知

57234567，則aaa的值

(1x)(1x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6xa7x246

為．

52345

變式41．（2024·安徽·高考真題）已知(1－x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，則(a0＋

a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于．

n

變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知2x1的展開式中，奇次項(xiàng)系數(shù)的和比偶次

8123n

項(xiàng)系數(shù)的和小3，則CnCnCnCn．

變式43．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知

4234

2x1a0a1x1a2x1a3x1a4x1，則a0a2a4的值為.

【解題方法總結(jié)】

n2nn

(axb)a0a1xa2x...anx，令x1得系數(shù)和：a0a1...an(ab)①；

令x1得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：

n

a0a1a2a3...an(ab)(a0a2...)(a1a3...)②，聯(lián)立①②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

例31．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）9810除以1000的余數(shù)是．

例32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若

202322023

(x5)a0a1xa2xa2023x,Ta0a1a2a2023，則T被5除所得的余數(shù)

為．

例33．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）99100除以100的余數(shù)是．

20232023

變式44．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）若1xa0a1xa2023x，則

a0a2a4a2022被5除的余數(shù)是．

變式45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）寫出一個(gè)可以使得992023a被100整除的正整數(shù)

a.

變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知742022a能夠被15整除，其中a0,15，則

a.

題型十二：近似計(jì)算問題

例34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二項(xiàng)式定理估算1.0110.（精確到0.001）

例35．（2024·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

122334455

C50.998C50.998C50.998C50.998C50.998（精確到0.01）

例36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問題計(jì)算過程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)0.9810

的處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是.

變式47．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）(1.05)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．

變式48．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）1.028（小數(shù)點(diǎn)后保留三位小數(shù)）．

題型十三：證明組合恒等式

例37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證：

22222(n1)n(n1)(3n2)

2345n

2222224

n

k2n

例38．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：CnC2n．

k0

n

21n1

例．（·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：C2k1C2n1Cn．

3920242n4n2n

k12

變式49．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證：

n1n12n2n1n1n

2Cn2Cn2(1)Cn2(1)1.

*m1n1m

變式50．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）設(shè)m、nN，mn，求證：Cn1Cn；