2025年高考數(shù)學必刷題分類：第78講、參數(shù)范圍與最值（教師版）

第78講參數(shù)范圍與最值

知識梳理

1、求最值問題常用的兩種方法

（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這

是幾何法．

（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求

該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導數(shù)法和三角換元法

等，這就是代數(shù)法．

2、求參數(shù)范圍問題的常用方法

構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如ABfk，并且進一步找到自變量范圍，進而

求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：

a

（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)”yx(a0)；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若

x

出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導數(shù)進行解決．這里找自

變量的取值范圍在Δ0或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時，還可

以從以下幾個方面考慮：

①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．

②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)

系．

③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．

④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．

必考題型全歸納

題型一：弦長最值問題

例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┮阎獔AO:x2y2r2的任意一條切

x2y2

線l與橢圓M:1都有兩個不同交點A，B（O是坐標原點）

124

（1）求圓O半徑r的取值范圍；

（2）是否存在圓O，使得OAOB0恒成立？若存在，求出圓O的方程及OAOB的最大

值；若不存在，說明理由.

【解析】（1）當0r2時，圓O在橢圓內(nèi)部，切點在橢圓內(nèi)，圓的每一條切線都過橢圓內(nèi)

部的點，切線與橢圓總有兩個不同交點，滿足題意；當r2時，圓的切線yr和yr都

和橢圓最多只有一個公共點，不滿足題意；

故r的取值范圍是(0,2).

x2y2

1

（2）當圓的切線的斜率存在時，設(shè)圓的切線為ykxm，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由124

ykxm

2

2226km3m12

消去y得：(13k)x6kmx3m120，則x1x2，xx，則

13k21213k2

m212k24m212k212

y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB0得x1x2y1y20，即0，

13k213k2

mm2

m23(1k2)，又由ykxm與圓O相切得r，即r2，解得r23，此時

1k21k2

圓O的方程為x2y23.

當切線斜率不存在時，上述圓的切線為x3或x3，這兩條切線與橢圓的交點為

A(3,3)，B(3,3)或A(3,3)，B(3,3)，也滿足OAOB0，故滿足條件的

圓O存在，其方程為x2y23.

當切線斜率存在且不等于0時，因為

22242

22236km12m489k10k1

AB1k(x1x2)x1x21k23

(13k2)213k29k46k21

24

4k231421

，當且僅當k時取等號；

2314221

9k6k19k263

k

當切線斜率不存在或等于時，，則=，又，故

0AB3ABmax4OAOB

OAOBrAB3AB，則OAOB3AB43

maxmax.

例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸上滑動，點B在y

軸上滑動，A、B兩點間距離為13．點P滿足BP3PA，且點P的軌跡為C．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)M，N是C上的不同兩點，直線MN斜率存在且與曲線x2y21相切，若點F為2,0，

那么MNF的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．

【解析】（1）設(shè)點P坐標為x,y，點A,B的坐標分別為a,0,0,b．

由題意BP3PA，得x,yb3ax,y

13

則ax，b13y，

3

2

又因為A、B兩點間距離為13，則a2b213

2

1322

x213y213

3

x2

整理得點P的軌跡為橢圓，其方程C：y21．

3

（2）因為直線MN的斜率存在，設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，

設(shè)直線MN：ykxm，因為M，N是橢圓C上的不同兩點，所以k0

m

由直線MN與曲線x2y21相切可得1，得m2k21，

k21

ykxm

聯(lián)立2可得13k2x26kmx3m230，

x2

y1

3

6km3m23

所以x1x2，xx，

13k21213k2

所以22

MN1kx1x24xx2

222222

26km3m3224k224k24km

1k41km，

13k213k213k213k213k2

2

222

MFx12y1x122x12y1

x2

∵1y21，

31

x22x22x262x932x

211111

MFx122x12122x13

3333

6

3x

31

6

同理NF3x

32

666kmkm

MFNF23xx232326

312313k213k2

24k2m2km

所以MNF的周長2326

13k213k2

當km0時，MNF的周長23

km

當km0時，MNF的周長2346，

13k2

（法一）由m2k21

22

kmkk1k4k2

222

13k3k213k21

t1

設(shè)3k21t，則t1,，k2，

3

12

4221

kmktt2tt2

22

13k3k219t3

12

1112

當，即t4時，tt2最大值為．

t44

3

k1k1

此時，3k214，所以k1，即或，

m2m2

此時直線MN：yx2或yx2，

2

所以MNF的周長最大值為234643．

4

kmkm

（法二）23462346

13k2m2k23k2

kmkm

2346234643

m22k22m22k2

k1k1

當m22k2，即k21時，等號成立，則或，

m2m2

此時直線MN：yx2或yx2，

2

所以MNF的周長最大值為234643．

4

例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）在橢圓

x2y23

C:1(ab0)）中，c2，過點0,b與a,0的直線的斜率為.

a2b23

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)F為橢圓C的右焦點，P為直線x3上任意一點，過F作PF的垂線交橢圓C于M,N

|MN|

兩點，求的最大值.

|PF|

3

【解析】（1）過點0,b與a,0的直線的斜率為，

3

b3

所以，即a=3b，

a3

又c2，即a2b24，解得b22,a26，

x2y2

所以橢圓C的標準方程是1.

62

（2）由題知F2,0，作出圖形如圖所示

設(shè)點P3,m，則直線FP的斜率為kFPm.

1

當m0時，直線MN的斜率k，直線MN的方程是xmy2；

MNm

當m0時，直線MN的方程是x2，也符合xmy2的形式，

x2y2

將直線MN的方程xmy2代入橢圓1方程得

62

m23y24my20，且Δ(4m)28m2324m2240，

4m2

設(shè)Mx,y,Nx,y，則yy,yy.

112212m2312m23

2222

所以MNxxyym21yym21yy4yy

1212121212

24m224m21

2

m12242

m23m3

又PFm21，令tm21t1，則

MNt2424

243

22，

PFt2t22

t

2

當且僅當t，即t2時等號成立，

t

由tm212，解得m21，

MN

所以的最大值為3.

PF

x2y22

變式1．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓E:1ab0的離心率為，焦

a2b22

距為2，過E的左焦點F的直線l與E相交于A、B兩點，與直線x2相交于點M．

(1)若M2,1，求證：MABFMBAF；

(2)過點F作直線l的垂線m與E相交于C、D兩點，與直線x2相交于點N．求

1111

的最大值．

MAMBNCND

【解析】（1）證明：設(shè)F1c,0、F2c,0，因為橢圓E的焦距為2，所以2c2，解得c1．

c2

又因為橢圓E的離心率e，所以a2，所以b2a2c2211，

a2

x2

所以橢圓E的方程為y21.

2

10

因為直線l經(jīng)過M2,1、F1,0，kMF1，

21

所以，直線l的方程為yx1，

yx1

2

設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2，聯(lián)立22可得3x4x0，

x2y2

24

由3x4x0，得x，x20.

13

24

所以MABF2x22x121，

1233

14

MBAF2x22x122，

2133

因此，MABFMBAF.

（2）證明：若直線l、m中兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中有一條必與直線x2

平行，不合乎題意，

所以，直線l的斜率存在且不為零，設(shè)直線l方程為ykx1，

1

則直線m方程為yx1，其中k0．

k

ykx1

2222

聯(lián)立22可得12kx4kx2k20，

x2y2

4222

設(shè)A1x1,y1、Bx2,y2，則16k82k1k18k10，

4k22k22

由韋達定理可得xx，xx，

122k21122k21

易知x12且x22，將x2代入直線l的方程可得yk，即點M2,k，

1111

所以

MAMB22

1kx121kx22

11xx4

1112

22

1kx12x221kx1x22x1x24

2

4k4

12122

12k4k4，

222222

1k2k28k41k2k21k

12k212k2

22k

11

同理可得NCND21k2，

11

k

21kk212k

11112212

所以22

MAMBNCND1kk1k1

k

2

2122

1，

2k

k

當且僅當k1時，等號成立，

1111

因此，的最大值為.

MAMBNCND22

22

xy1

變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓C:1ab0的離心率為，左頂

a2b22

點為A2,0，直線l與橢圓C交于P，Q兩點.

(1)求橢圓的C的標準方程；

9

(2)若直線AP，AQ的斜率分別為k，k2，且kk，求PQ的最小值.

1124

22

xy1

【解析】（1）由題知，橢圓C:1ab0的離心率為，左頂點為A2,0，

a2b22

c1

a2

所以a2，解得a2,b3,c1，

222

abc

x2y2

所以橢圓C的標準方程為1.

43

x2y2

（2）由（1）得，C:1，

43

因為直線l與橢圓C交于P，Q兩點，

由題可知，直線l斜率為0時，k1k20，

所以直線l的斜率不為0，

=+

所以設(shè)直線l:xmyn,P(x1,y1),Q(x2,y2)，

xmyn

222

聯(lián)立方程x2y2，得43my6mny3n120，

1

43

所以36m2n248n219236m2n2144m2483m2n24，

6mn3n212

yy,yy，

1243m21243m2

y1y2y1y2

所以k1k2

x12x22my1n2my2n2

yy

12

22

my1y2mn2y1y2n2

3n212

43m2

2

23n126mn2

mmn2n2

43m243m2

3n2123n29

2，解得n1，

4n24n24

此時483m230恒成立，

所以直線l的方程為直線xmy1，直線l過定點1,0，

6m9

此時yy,yy，

1243m21243m2

36m236

所以|PQ|1m2(yy)24yy1m2

1212(43m2)243m2

12(1m2)3m231

4413,4，

43m23m243m24

當且僅當m0時取等號，

所以PQ的最小值為3.

x2y2

變式3．（2024·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知雙曲線1（b＞a＞0），O為坐標原點，離

a2b2

心率e2，點M5,3在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點，且OPOQ0.求|OP|2+|OQ|2的最小值.

【解析】（1）由e2，可得c2a，

∴b2c2a23a2，

x2y2

∴雙曲線方程為1，

a23a2

∵點M5,3在雙曲線上，

53

∴1，

a23a2

解得a24，

x2y2

∴雙曲線的方程為1．

412

（2）①當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykxm，

ykxm222

由22消去y整理得3kx2kmxm120*，

3xy12

∵直線l與雙曲線交于P，Q兩點，

∴(2km)24(3k2)(m212)12(m24k212)0．

設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，

2kmm212

則xx,xx，

123k2123k2

由OPOQ0得到：x1x2y1y20，

22

即1kx1x2kmx1+x2m0，

m2122km

∴1k2kmm20，

k23k23

化簡得m26k26．

2

222384k

OPOQ|PQ|21k2xx4xx2424

∴12122，

k23

當k0時上式取等號，且方程（*）有解．

②當直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為xt，則有P(t,y),Q(t,y)(y0)，

由OPOQ0可得y2t2，

可得3t2t212，解得t26.

∴|PQ|24y24t224．

∴OP|2OQ|2|PQ|224．

綜上可得OP|2OQ|2的最小值是24．

題型二：三角形面積最值問題

x2y2

例4．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓C:1ab0的左、右頂點分別為M1、

a23

3

M，T為橢圓上異于M、M的動點，設(shè)直線TM、TM的斜率分別為k、k2，且kk.

212121124

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)動直線l與橢圓C相交于A、B兩點，O為坐標原點，若OAOB0，OAB的面積是

否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

222

x0y023x0

【解析】（1）不妨設(shè)T的坐標為x0,y0，則1，則y3，

a230a2

2

3x0

23

又Ma,0、Ma,0，則yyy233

12000a.

k1k222222

x0ax0ax0ax0aa4

33x2y2

故可得，可得a24，故可得橢圓C的方程為1.

a2443

（2）因為OAOB0，且OA、OB均為非零向量，則OAOB.

1

當點A、B均為橢圓C的頂點時，則S△OAB233；

2

若直線OA、OB的斜率都存在時，設(shè)直線OA的方程為ykxk0，

1

則直線OB的方程為yx，

k

12

x2

22

ykx4k3121k

聯(lián)立22可得，所以，，

2OA2

3x4y12212k

y4k3

4k23

1

1212

k212k1

同理可得OB，

42

33k4

k2

222

1112k112k16k1

此時，SOABOAOB22

224k33k44k233k24

2

6k112

4k233k247，

2

當且僅當4k233k24時，即當k1時，等號成立，

1212

又因為3，故當OAOB0時，OAB的面積存在最小值，且最小值為.

77

例5．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預測）如圖，E,F,G,H分別是矩形ABCD四邊的

中點，F(xiàn)2,0,C2,1，CSCF,OROF.

(1)求直線ER與直線GS交點M的軌跡方程；

(2)過點I1,0任作直線與點M的軌跡交于P,Q兩點，直線HP與直線QF的交點為J，直線

HQ與直線PF的交點為K，求△IJK面積的最小值.

【解析】（1）由已知，R2,0,S2,1，E0,1，G0,1，

1

當0時，直線ER方程：yx1，

2

直線GS方程：yx1，

2

x2

聯(lián)立上述兩方程消去得：y21，

4

當0時，交點M0,1符合上述方程，

又交點M不可能為0,1，

x2

故所求的軌跡方程為y21(x0且y1).

4

（2）設(shè)PQ方程：xmy1（依題意m存在)，

代入x24y240得m24y22my30，

2

Δ16m30，設(shè)Px1,y1,Qx2,y2，

4m33

yy,yy，myyyy，

12m2412m2412412

yy

HP方程：y1x2，QF方程：y2x2，

x12x22

聯(lián)立上述兩方程消去得：

3

y1y23y2

x2x12y2my13y2

43.

x2x2ymy1y3

2121yyy

4121

x4，

6y1

所以J4,yJ，其中yJ，

x12

6y

2

同理直線HQ與直線PF的交點K4,yK，其中yK，

x22

6y16y218y2y12

yJyK2m3，

x12x22my13my23

1

S41yy3m2333（當且僅當m0時取等號），

IJK2JK

故△IJK的面積最小值為33，此時直線PQ的方程為x1.

x2y2

例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）已知橢圓C:1．

43

(1)求該橢圓的離心率；

xxyy

(2)設(shè)點P(x,y)是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為001；

0043

(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為A,B，

求△MAB的面積的最小值．

x2y2

【解析】（1）橢圓C:1中，a24,b23，則c21，

43

c1

則a2,c1，則橢圓的離心率為

a2

（2）當切線斜率存在時，其方程可設(shè)為ykxt，

ykxt

222

由x2y2，整理得34kx8ktx4(t3)0，

1

43

2

則8kt1634k2(t23)0，則t234k2

8kt4k

4k

此時方程的根為2，則切點橫坐標x，

234kt0t

4k2t23

切點縱坐標ykxt，

00tt

313x0

則t，ktx0，

y044y0

3x03xxyy

則切線方程為yx，整理得001；

4y0y043

當切線斜率不存在時，其切點為(2,0)或(2,0)，

xxyy

切線方程為x2，滿足001.

43

綜上，點P(x0,y0)是橢圓C上一點時，

xxyy

過點P的橢圓C的切線方程為001

43

（3）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，M(4,n)，

xxyyxxyy

則橢圓C在點A,B的切線方程分別為111，221，

4343

4xny4xny

又M在兩條切線上，則111，221，

4343

4xnyny

則直線AB的方程為1，即x1

433

ny

x1

3

由整理得，n212x224x124n20，

x2y2

1

43

24124n2

則xx,xx，

12n21212n212

92

則AB1x1x24x1x2

n2

2

224n9

9244816n，

12222

nn12n12n12

n2

41

3

又點M到直線AB的距離dn29，

n2

1

9

則△MAB的面積為

22

114n92n9

ABdn29n29

22n212n212

令sn29，則n2s29，s3，

2

2n92s3

則n29，s3

n212s23

2x3

令p(x)，x3，

x23

224

6xx34x42

2x18x

則p(x)220恒成立，

x23x23

2x32279

則p(x)在3,上單調(diào)遞增，則p(x)p(3)

x23932

當且僅當n0即點M坐標為(4,0)時等號成立，

9

則△MAB的面積的最小值為.

2

22

xy222

變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：1ab0和圓O：xyb

a2b2

（其中原點O為圓心），過雙曲線C上一點Px0,y0引圓O的兩條切線，切點分別為A、B．

（1）若雙曲線C上存在點P，使得APB90，求雙曲線離心率e的取值范圍；

（2）求直線AB的方程；

（3）求三角形OAB面積的最大值．

2

bca2b2b

【解析】（1）因為ab0，所以1，所以e12．

aaaa

由APB90及圓的性質(zhì)，可知四邊形PAOB是正方形，所以O(shè)P2b．

2

b2ca2b2b6

因為OP2ba，所以，所以e1．

a2aaa2

6

故雙曲線離心率e的取值范圍為,2．

2

222222

（2）因為PAOPOAx0y0b，

22222

所以以點P為圓心，PA為半徑的圓P的方程為xx0yy0x0y0b．

因為圓O與圓P兩圓的公共弦所在的直線即為直線AB，

222

xyb

所以聯(lián)立方程組，

22222

xx0yy0x0y0b

222

消去x，y，即得直線AB的方程為x0xy0yb．

2

（3）由（2）知，直線AB的方程為x0xy0yb，

b2

d

所以點O到直線AB的距離為22．

x0y0

4222

2b2bxyb

因為AB2OAd22b200，

x2y222

00x0y0

1b3x2y2b2

所以三角形的面積00．

OABSABd22

2x0y0

：

x2y2

因為點Px0,y0在雙曲線1上，

a2b2

222222

x0y02bx0ab22

所以1，即yx0a．

a2b20a2

b2

設(shè)2222222，

tx0y0b12x02bab

a

x2y2

所以1．

a2b2

b3tbtb

因為S2，

t2b2

所以當0tb時，S0，當tb時，S0．

x2y2

所以1在0,b上單調(diào)遞增，在b,上單調(diào)遞減．當a2b2b，即ba2b

a2b2

3

bb1222

時，S最大值