2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第24講、不等式的證明問(wèn)題（學(xué)生版）

第24講不等式的證明問(wèn)題

知識(shí)梳理

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式fxgx（或fxgx）轉(zhuǎn)化為證明

fxgx0（或fxgx0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)hxfxgx；

（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔

助函數(shù).

（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題

（6）同構(gòu)變形

必考題型全歸納

題型一：直接法

例1．（2024·北京房山·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx2lnx1．

(1)若函數(shù)fx在點(diǎn)Px0,fx0處的切線平行于直線y2x2，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)及此切線

方程；

2

(2)求證：當(dāng)x0,e1時(shí)，fxx2x．（其中e2.71828）

lnx1

例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函數(shù)f(x).

xx

(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)求證：f(x)2x3.

a

例3．已知函數(shù)f(x)(a1)lnxx，a0．

x

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a1時(shí)，證明：x(1,)，f(x)aa2．

題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）

x

1

例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx1(x0)．

x

(1)證明：fxe；

(2)討論fx的單調(diào)性，并證明：當(dāng)nN*時(shí)，2n1lnn1nlnnn1lnn2．

x21

例5．已知曲線f(x)與曲線g(x)alnx在公共點(diǎn)(1,0)處的切線相同，

2

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；

x21

（Ⅱ）求證：當(dāng)x0時(shí)，x1lnx．

2

例6．已知函數(shù)f(x)exax1(aR)，g(x)xlnx．

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若直線yx1是函數(shù)yf(x)圖象的切線，求證：當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)．

x2

變式1．已知函數(shù)f(x)sinxln(1x)．

2

（1）證明：f(x)0；

1

（2）數(shù)列{a}滿足：0a，af(a)(nN*)．

n12n1n

1

（ⅰ）證明：0a(nN*)；

n2

（ⅱ）證明：nN*，an1an．

x2

變式2．討論函數(shù)f(x)ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0時(shí)，(x2)exx20．

x2

題型三：分析法

例7．已知函數(shù)f(x)ln(ax)，已知x0是函數(shù)yxf(x)的極值點(diǎn)．

（1）求a；

xf(x)

（2）設(shè)函數(shù)g(x)．證明：g(x)1．

xf(x)

例8．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)eax

(1)求yf(x)在xa處的切線;

a

(2)若0a2，證明當(dāng)x0時(shí)，f(x)2.

x

例9．已知1a2，函數(shù)f(x)exxa，其中e2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）證明：函數(shù)yf(x)在(0,)上有唯一零點(diǎn)；

（Ⅱ）記x0為函數(shù)yf(x)在(0,)上的零點(diǎn)，證明：

（?。゛1x02(a1)；

x0

（ⅱ）x0f(e)(e1)(a1)a．

x

變式3．已知函數(shù)f(x)eax1在(0,)上有零點(diǎn)x0，其中e2.71828是自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）記g(x)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：g(x0)a(a1)．

題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)

例10．（2024·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxx3ax2bxa2，當(dāng)a0，b3時(shí)，

x1

證明：任意的xR，都有fx2恒成立.

exe

例11．（2024·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fxx22xex，gxe2lnxaex．

(1)若函數(shù)gx在e,上存在最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a2時(shí)，求證：fxgx．

1x22

例12．已知函數(shù)f(x)a(lnx)(aR)．

x2x

（Ⅰ）若x2是f(x)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；

3

（Ⅱ）若a1，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)1x2時(shí)，f(x)f(x)．

2

變式4．已知函數(shù)f(x)x3ax．(aR)

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

x3

（Ⅱ）求證：exxlnxex2．

f(x)ax2ex

題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友

1x

例13．已知函數(shù)f(x)lnx．

ax

1

（Ⅰ）當(dāng)a1時(shí)，求f(x)在[，2]上最大值及最小值；

2

（Ⅱ）當(dāng)1x2時(shí)，求證(x1)lnx2(x1)．

b(x1)

例14．已知函數(shù)f(x)alnx，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程為y2．

x

（1）求a、b的值；

(x1)lnx

（2）當(dāng)x0且x1時(shí)．求證：f(x)．

x1

例15．已知二次函數(shù)g(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g(x1)g(1x)x22x1，且g（1）

19

1，令f(x)g(x)mlnx(mR,x0)．

28

（1）求g(x)的表達(dá)式；

（2）設(shè)1me，H(x)f(x)(m1)x．證明：對(duì)任意x1，x2[1，m]，恒有

|H(x1)H(x2)|1．

變式5．已知函數(shù)f(x)lnxaxl(aR)．

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

ex

（2）若函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)，求證：lnxx10．

x

變式6．已知函數(shù)f(x)lnxax1(aR)．

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)，求證：exxf(x)0．

題型六：放縮法

2axlnx

例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知fxex1，gx，aR．

xx

(1)當(dāng)x1,時(shí)，求函數(shù)gx的極值；

(2)當(dāng)a0時(shí)，求證：fxgx．

2

例17．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎瘮?shù)fxaxexx1（aR，e為

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

1

(2)當(dāng)a時(shí)，求證：fxlnxx2x2.

e2

例18．已知函數(shù)f(x)aex2x1．（其中常數(shù)e2.71828，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）證明：對(duì)任意的a1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(xae)x．

a1a(sinx1)2

變式7．已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)

xx

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)0a1時(shí)，f(x)g(x)．

ex1

變式8．已知函數(shù)f(x)．

1lnx

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

11

（2）解關(guān)于x的不等式f(x)(x)

2x

題型七：虛設(shè)零點(diǎn)

例19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx(aR)．

(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；

x2

(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：對(duì)任意的x0，f(x)exx2．

例20．（2024·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxxlnxm.

(1)若fx在區(qū)間1,e上有極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求證：fxx3exm1x.

例21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxmxnexmx22mnx在x=1處取得

1

極小值1．

e

(1)求實(shí)數(shù)m,n的值；

16

(2)當(dāng)x0,時(shí)，證明：fxlnxx．

9

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxlnxa1,aR．當(dāng)a0,1時(shí)，證明：

x1ex

fx．

ea

ex1

變式10．（2024·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x).

x

(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，fxxlnx1.

題型八：同構(gòu)法

例22．已知函數(shù)f(x)axlnxx1，aR．

（1）討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)pq1時(shí)，證明qlnplnqplnqlnp．

2a

例23．已知函數(shù)f(x)lnx2(aR)．

x1

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a2時(shí)，求證：f(x)0在(1,)上恒成立；

x2

（3）求證：當(dāng)x0時(shí)，ln(x1)．

ex1

例24．已知函數(shù)f(x)ax1lnx(aR)．

（1）當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，對(duì)x(0,)，f(x)bx2恒成立，求實(shí)數(shù)b

的取值范圍；

ln(x1)

（3）當(dāng)xye1時(shí)，求證：exy．

ln(y1)

變式11．已知函數(shù)f(x)ax1lnx(aR)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，不等式f(x)bx2對(duì)x(0,)恒成立，求實(shí)

數(shù)b的取值范圍；

（3）當(dāng)xye時(shí)，證明不等式exlnyeylnx．

題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

xx2

例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明不等式：11x(x0)．

28

x2x3

例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：ln(1x)x(1x1)

23

例27．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列an滿足

2

2n1an1n

aaa0n2，且a11.（函數(shù)fx求導(dǎo)n次可用fx表示）

nnnn1n

(1)求an的通項(xiàng)公式.

n

*xi

(2)求證：對(duì)任意的nN，x0，都有e1aix.

i1

1

變式12．（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxlnxa1.

x

(1)若fx0，求實(shí)數(shù)a的值；

111

(2)已知nN*且n2，求證：lnn.

23n

變式13．已知函數(shù)f(x)x2lnxax．

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f(x)2x2，對(duì)x[0，)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

設(shè)x2fx

（3）當(dāng)a1時(shí),gxxex1．若正實(shí)數(shù)1，2滿足121，x1，x2(0，

)(x1x2)，證明：g(1x12x2)1g(x1)2g(x2)．

變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)fx可導(dǎo)，我們通常把

導(dǎo)函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)叫做fx的二階導(dǎo)數(shù)，記作fx．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階

導(dǎo)數(shù)，記作fx，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階

導(dǎo)數(shù)，記作nn1．②若，定義

fxfx,n4nN

n!nn1n2321．③若函數(shù)fx在包含x0的某個(gè)開區(qū)間a,b上具有n階

的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一xa,b有

n

fxfx2fx3fxn

gxfx0xx0xx0xx0xx，我

01!02!03!0n!0

x

們將gx稱為函數(shù)fx在點(diǎn)xx0處的n階泰勒展開式．例如，ye在點(diǎn)x0處的n階

11

泰勒展開式為1xx2xn．

2n!

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

（1）求出f1xsinx在點(diǎn)x0處的3階泰勒展開式g1x，并直接寫出f2xcosx在點(diǎn)

x0處的3階泰勒展開式g2x；

（2）比較（1）中f1x與g1x的大?。?/p>

（3）已知yex不小于其在點(diǎn)x0處的3階泰勒展開式，證明：exsinxcosx22x．

題型十：分段分析法、主元法、估算法

例28．（2024·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxexax21．

（1）討論函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；

2

7e13

（2）若a，求證：對(duì)x0，fx≥xx恒成立．

42

例29．（2024·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)(m1)xmlnxm．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)m￡1，且x1時(shí)，f(x)ex1．

f(1)

例30．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)e2x2x22f(0)x，

2

x1

g(x)f()x2(1a)xa，aR．

24

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)g(x)單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若x、y、m滿足|xm||ym|，則稱x比y更接近m．當(dāng)a2且x1時(shí)，

e

試比較和ex1a哪個(gè)更接近lnx，并說(shuō)明理由．

x

變式15．已知函數(shù)f(x)ex(sinxax22ae)，其中aR，e2.71828為自然對(duì)數(shù)

的底數(shù)．

（1）當(dāng)a0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

1

（2）當(dāng)a1時(shí)，求證：對(duì)任意的x[0，)，f(x)0．

2

題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值

例31．已知函數(shù)f(x)(x2x)ex

（1）求曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程；

（2）若f(x)axe0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

m

（3）若方程f(x)m(mR)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x，x，求證：|xx|m1．

1212e

例32．已知函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為

ykxb(k,bR)．

（1）求k，b的值；

（2）證明：f(x)kxb；

m

（3）若函數(shù)g(x)f(x)m(mR)有兩個(gè)零點(diǎn)x，x，證明|xx|1m．

1221ln2

例33．設(shè)函數(shù)f(x)xlnx．

（1）求曲線yf(x)在點(diǎn)(e2，f(e2))處的切線方程；

（）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，，證明：2．

2xf(x)ax1x2(x1x2)x2x112ae

題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題

例34．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxxlnxax1.

(1)若fx0，求實(shí)數(shù)a的值；

111

(2)已知nN*且n2，求證：sinsinsinlnn.

23n

1

例35．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)exax2x.

2

(1)若f(x)在xR上單調(diào)遞增，求a的值；

112

(2)證明：(11)(1)(1)e（nN*且n2）.

4n2

1

例36．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxx2xlnxttR.

2

(1)gx是fx的導(dǎo)函數(shù)，求gx的最小值；

1111

(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)nn2，都有