2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第13講、函數(shù)模型及其應(yīng)用（教師版）

[在此處鍵入]

第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型：

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)且a0)

反比例函數(shù)模型k

f(x)b(k，b為常數(shù)且a0)

x

二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)且a0)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0，

a1)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0，

a1)

冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)

2、解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．

必考題型全歸納

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

【例1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）汽車(chē)在行駛中，由于慣性，剎車(chē)后還要繼續(xù)向前滑

行一段距離才能停止，一般稱(chēng)這段距離為“剎車(chē)距離”.剎車(chē)距離是分析交通事故的一個(gè)重要

依據(jù).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車(chē)相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車(chē)，

但還是相碰了.事后現(xiàn)場(chǎng)勘查，測(cè)得甲車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)6m，乙車(chē)的剎車(chē)距離略超過(guò)10m.

121

已知甲車(chē)的剎車(chē)距離sm與車(chē)速vkm/h之間的關(guān)系為S甲vv，乙車(chē)的剎車(chē)距離sm

10010

121

與車(chē)速vkm/h之間的關(guān)系為s乙vv.請(qǐng)判斷甲、乙兩車(chē)哪輛車(chē)有超速現(xiàn)象（）

20020

A．甲、乙兩車(chē)均超速B．甲車(chē)超速但乙車(chē)未超速

C．乙車(chē)超速但甲車(chē)未超速D．甲、乙兩車(chē)均未超速

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【答案】C

11

【解析】對(duì)于甲車(chē)，令v2v6，即v210v6000

10010

解得v20km/h（舍）或v30km/h，所以甲未超速；

11

對(duì)于甲車(chē)，令v2v10，即v210v20000

20020

解得v40km/h（舍）或v50km/h，所以乙超速；

故選:C.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，AB

為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線(xiàn)上距離邊線(xiàn)5米的P點(diǎn)處接球，此時(shí)

5

tanAPB，假設(shè)甲沿著平行邊線(xiàn)的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)Q處射門(mén)，為獲得最佳

31

的射門(mén)角度（即AQB最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為（）

A．55B．56C．102D．103

【答案】B

【解析】設(shè)ABx，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH25，BH10，

BH1025

所以tanBPH，且tanAPB，

HP25531

52

3

所以tanAPHtanAPBBPH315，

52

15

315

AHABBHx10x103

又tanAPH，所以，解得x5，即AB5，

PHPH25255

設(shè)QHh，h0,25，則AQQH2AH2h2152，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

BQQH2BH2h2102，所以在AQB中，

AQ2BQ2AB2h2150

有cosAQB，

2AQBQh4325h222500

2

令mh150150m775，所以h2m150，

m1

cosAQB

所以2375025，

m150325m150225001

m2m

111

因?yàn)?50m775，所以，則要使AQB最大，

775m150

1

cosAQB375025

即375025要取得最小值，即1取得最大值，

1m2m

m2m

375025111

即1在取得最大值，

m2m775m150

111

令t,，ft3750t225t1，

m775150

11111

所以ft的對(duì)稱(chēng)軸為：t，所以ft在,單調(diào)遞增，在,單調(diào)遞減，

300775300300150

111

所以當(dāng)t時(shí)，ft取得最大值，即AQB最大，此時(shí)，即m300，

300m300

所以h2150，所以h56，即為獲得最佳的射門(mén)角度（即AQB最大），

則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為：56.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這

種玩具（）

A．116件B．110件C．107件D．106件

【答案】C

【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為x，花費(fèi)為y元，

37x,1x10

32x,11x50

則y30x,51x100，當(dāng)x107時(shí)，y28892990，

27x,101x300

25x,x300

當(dāng)x108時(shí)，y29162900，所以最多可購(gòu)買(mǎi)這種產(chǎn)品107件，

故選：C.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來(lái)的發(fā)展機(jī)

遇，開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另

x210x,0x40

投入成本x萬(wàn)元.其中x10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部

71x945,x40

x

售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（）

A．720萬(wàn)元B．800萬(wàn)元

C．875萬(wàn)元D．900萬(wàn)元

【答案】C

70xx210x25,0x40

【解析】該企業(yè)每年利潤(rùn)為fx10000

70x71x94525,x40

x

當(dāng)0x40時(shí)，fxx260x25(x30)2875

在x30時(shí)，fx取得最大值875；

1000010000

當(dāng)x40時(shí)，fx920x9202x720

xx

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

（當(dāng)且僅當(dāng)x100時(shí)等號(hào)成立），即在x100時(shí)，fx取得最大值720；

由875720，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為875.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏．

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

【例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)

轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備

老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要

更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A．8B．10C．12D．13

【答案】B

【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為xxN，設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，

x22x

則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2462xxx1，

2

1000.5xxx11003100343

所以x年的平均費(fèi)用為yx2x（萬(wàn)元），

xx2x22

當(dāng)且僅當(dāng)x10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未

來(lái)一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2018年1

月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x

2

萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式x3.已知網(wǎng)店每月固

t1

定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，產(chǎn)品每1萬(wàn)件進(jìn)貨價(jià)格為32萬(wàn)元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)

貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利潤(rùn)是

___________萬(wàn)元.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【答案】37.5

2

【解析】根據(jù)題意，得到t1,(1x3)，進(jìn)而得到月利潤(rùn)的表示，結(jié)合基本不等式，

3x

即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷(xiāo)量x萬(wàn)件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足

2

x3，

t1

2

即t1,(1x3)，

3x

tt15

所以月利潤(rùn)為y321.5x32x3t16x316x

2x23x2

1

45.5[16(3x)]45.521637.5，

3x

111

當(dāng)且僅當(dāng)16(3x)時(shí)，即x時(shí)取等號(hào)，

3x4

即月最低利潤(rùn)為37.5萬(wàn)元.

故答案為:37.5.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）迷你KTV是一類(lèi)新型的娛樂(lè)設(shè)施，外形通常

是由玻璃墻分隔成的類(lèi)似電話(huà)亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡

3

迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中ABAE，ABE90，曲線(xiàn)

2

S

段CD是圓心角為90的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則的最大值

L

為_(kāi)__________．（本題中取3進(jìn)行計(jì)算）

【答案】12315

33

【解析】設(shè)圓弧的半徑為x(0x)，根據(jù)題意可得：BCDEABxx

22

2

1233392x

SAE·DEABDE·AEx·xxx·xx

422244

2xx

L2ABBCDE62x

42

9x21

3S，L6x

42

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

S9x2

L242x

2

24t

9

令t242x(21t24)，則24tS2t135

x,12

2Lt4t

t135135t135

根據(jù)基本不等式，2315，當(dāng)卻僅當(dāng)，即t615時(shí)取“=”.

4t44t

S

61521，24，t615時(shí)，12315

Lmax

故答案為：12315.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)

形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD

截去同心扇形OAB所得部分．已知扇環(huán)周長(zhǎng)300cm，大扇形半徑OD100cm，設(shè)小扇形

半徑OAxcm，AOB弧度，則

①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(x)_________．

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為w(x)10x1700，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為

________．

1002x

【答案】，x0,100；3

100x

【解析】由題意可知，AOB，OAx，OD100，

所以ABx，ADBC100x，DC100，

扇環(huán)周長(zhǎng)ABADBCDCx2002x100300，

1002x

解得,x0,100，

100x

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S，

11

則SS扇形S扇形ODDCOAAB

DOCAOB22

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

112x1002x

100100xx5000x5000，

2222100x

即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為m，

2

S10000x1002x100x50x

則m，

w(x)2100x10x170010x170

令tx170，則xt170，

270tt120t2390t120270t12270

m39

10t10t10t

t12270

23936393，當(dāng)且僅當(dāng)t180時(shí)（即x10）取等號(hào)，

10t

所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為3.

1002x

故答案為：，x0,100；3

100x

【解題方法總結(jié)】

1、解決此類(lèi)問(wèn)題一定要注意函數(shù)定義域；

b

2、利用模型f(x)ax求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．

x

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型

【例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)

響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)

率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金

的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：31.821.22,31.731.2）（）

A．10%B．20%C．22%D．32%

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則150(1x)310270，

26

所以x311.210.2，故年平均增長(zhǎng)率為20%.

15

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)

量從2006年的不到600108m3激增到2021年的3726108m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

示從2000年開(kāi)始的第幾年，0k，kN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨時(shí)間

的變化情況符合k，其中是從年后第年天然氣消費(fèi)量，是年

VkV01raVk2000kV02000

83

的天然氣消費(fèi)量，ra是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為90010m，

2018年的天然氣消費(fèi)量為2880108m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)

量約為（）

（參考數(shù)據(jù)：2，22

2.8832.023.232.17，432.52

A．5817.6108m3B．6249.6108m3

C．6928.2108m3D．7257.6108m3

【答案】B

9831883

【解析】據(jù)題意V9V0(1ra)90010m，V18V0(1ra)288010m，兩式相除可得

9

(1ra)3.2，

2

又因?yàn)?8383，

V24V18(1ra)288010(3.2)6249.610m

故選：B．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血

紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)

0

的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于960，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模

kt0

擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:S(t)S0e描述血氧飽和度S(t)（單位0）隨機(jī)給

氧時(shí)間t（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中S0為初始血氧飽和度，k為參數(shù).已知S060，給氧

1小時(shí)后，血氧飽和度為70，若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至少還需要（）

小時(shí).（參考數(shù)據(jù):ln51.61,ln61.79,ln71.95,ln82.07）

A．1.525B．1.675C．1.725D．1.875

【答案】D

7096

【解析】由題意可得，60ek70,60ekt96，則klnln7ln6，ktlnln8ln5，

6060

ln8ln52.071.61

所以t2.875，

ln7ln61.951.79

則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要2.87511.875小時(shí).

故選：D.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）昆蟲(chóng)信息素是昆蟲(chóng)用來(lái)表示聚集、覓食、交

配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲(chóng)之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲(chóng)交流的化學(xué)分子

語(yǔ)言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、

性信息素等．人工合成的昆蟲(chóng)信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲(chóng)害的

預(yù)報(bào)和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲(chóng)釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得

1k

的信息素濃度y滿(mǎn)足lnylntx2a，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，

2t

在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，

m

信息素濃度為，則b＝（）

2

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

m1k

【解析】由題意lnm4ka，lnln4b2a，

224

m1k2

所以lnmln4kaln4ba），

224

k

即4kb20．又k0，所以b216．

4

因?yàn)閎0，所以b4．

故選：B．

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬

性之間的非線(xiàn)性數(shù)量關(guān)系通常以?xún)绾瘮?shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重

x滿(mǎn)足ykx，其中k和為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)

到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（）

1123

A．B．C．D．

4234

【答案】D

【解析】設(shè)初始狀態(tài)為(x1,y1)，則x216x1，y28y1，

又，，即，

y1kx1y2kx28y1k16x1k16x1

8y1k16x1433

，168，22，43，．

y1kx14

故選：D．

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

【解題方法總結(jié)】

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的

一類(lèi)函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型．

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確

定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題．

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：

kt

10e0，其中t為時(shí)間（單位：min），0為環(huán)境溫度，1為物體初始溫度，為

冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為20oC的情況下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.

則k的值為_(kāi)________．

ln2

【答案】

20

kt

【解析】由題意，把020，1100，60，t20代入10e0中，

1

得80e20k2060，所以e20k，

2

ln2

所以20kln2，解得k.

20

ln2

故答案為：.

20

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照

確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)

t

15730

碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中k0為生物死亡之初體內(nèi)的

ktk0

2

1

碳14含量，t為死亡時(shí)間（單位：年），通過(guò)測(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為k，則

80

該生物的死亡時(shí)間大約是______年前．

【答案】17190

t

5730

【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式1，

ktk0

2

1

因?yàn)闇y(cè)定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為k，

80

tt

57305730t

令11，可得11，所以3，解得t17190年.

k0k0

28285730

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

故答案為：17190年.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量fx（毫

5x20x1

x

克/毫升）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿(mǎn)足表達(dá)式fx31《酒后駕

x1

53

車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過(guò)0.02毫克/毫升此

駕駛員至少要過(guò)小時(shí)后才能開(kāi)車(chē)___________.（精確到1小時(shí)）

【答案】4

【解析】當(dāng)0x1時(shí)，由fx0.02得5x20.02，

解得x2log50.02log50.50，舍去；

31

當(dāng)x＞1時(shí)，由fx0.02得()x0.02，即31x0.1，

53

解得x1log30.11log310，

因?yàn)?1log3104，所以此駕駛員至少要過(guò)4小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).

故答案為：4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）能源是國(guó)家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是

重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建

造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬(wàn)元人民幣.

又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬(wàn)

m

元）與隔熱層厚度h（單位：厘米）滿(mǎn)足關(guān)系：Nh0h10，經(jīng)測(cè)算知道，

3h4

如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬(wàn)元人民幣.設(shè)Fh為隔熱層

的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使Fh達(dá)到最小值時(shí)，隔熱層厚度

h__________厘米.

16

【答案】

3

m

【解析】由題意得，當(dāng)h0時(shí)，N(h)10，解得m40，

4

40

又F(h)9h30N(h)9h30(0h10)，

3h4

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

120012001200

所以F(h)9h3(3h4)1223(3h4)12108，

3h43h43h4

120016

當(dāng)且僅當(dāng)3(3h4)，即h時(shí)，等號(hào)成立.

3h43

16

故答案為：.

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP的值

（單位，億元）與時(shí)間（單位：年）之間的關(guān)系為t，其中為時(shí)

PtPtP0110%P0t0

的P值.假定P02，那么在t10時(shí)，GDP增長(zhǎng)的速度大約是___________.（單位：億元/

年，精確到0.01億元/年）注：1.1102.59，當(dāng)x取很小的正數(shù)時(shí)，ln1xx

【答案】0.52

t

【解析】由題可知Pt2110%21.1t，

所以Pt21.1tln1.1，

所以P1021.110ln1.122.590.10.5180.52,

即GDP增長(zhǎng)的速度大約是0.52.

故答案為：0.52.

【解題方法總結(jié)】

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【例5】（2024·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長(zhǎng)的水渠，水渠的過(guò)

水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100

元，為了提高水渠的過(guò)水率，要使過(guò)水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬(wàn)元，當(dāng)過(guò)水橫

斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)據(jù)：31.732）

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

A．0.58米B．0.87米C．1.17米D．1.73米

【答案】B

【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形ABCD，BECD于E，BADABC120，

要使水橫斷面面積最大，則此時(shí)資金3萬(wàn)元都用完，

則100ABBCAD10030000，解得ABBCAD3米，

313

設(shè)BCx，則AB32x,BEx,CEx，故CD3x，且0x，

222

3

32x3xx

梯形ABCD的面積33，

S2x22x

24

33

當(dāng)x1時(shí)，S，

max4

3

此時(shí)