2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第31講、W的取值范圍與最值問(wèn)題（學(xué)生版）

第31講的取值范圍與最值問(wèn)題

知識(shí)梳理

1、f(x)Asin(x)在f(x)Asin(x)區(qū)間(a，b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)

T

Tba

ba2

2

k

kaka

kbk

k

b

同理，f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)

T

Tba

ba2

2

k

kaka

kbk

k

b

2、f(x)Asin(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)

Tba2T

Tba2T

k(k1)

kaka

3kb4k

(k3)(k4)

b

同理f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

T3T

T3Tba

ba22

22

kk

kaka

2kb3k

(k2)(k3)

b

3、f(x)Asin(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

同理f(x)Asin(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)

(n1)T(n1)T

ba

22

kk

a

(kn)(kn+1)

b

2n1

4、已知一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，由于對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心的水平距離為T(mén)，則

4

2n1(2n1)

Tba．

42

T

5、已知單調(diào)區(qū)間(a,b)，則ab.

2

必考題型全歸納

題型一：零點(diǎn)問(wèn)題

1

例1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxsinx(0)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，

2

函數(shù)fx在區(qū)間0,2π上至少有3個(gè)零點(diǎn)，至多有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

44557

A．1,B．,C．,2D．2,

33333

3

例2．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)2sinx1(0)，在區(qū)間,上至少

44

有2個(gè)不同的零點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

26102658

A．,B．,

9399

345826103458

C．,D．,,

999399

例3．（2024·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)f(x)2sinx10，若對(duì)于任意實(shí)

3

數(shù)，f(x)在區(qū)間,上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

44

8161620820

A．,B．4,C．4,D．,

333333

變式1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx的圖象是由y2sinx（0）

3

的圖象向右平移個(gè)單位得到的，若fx在,上僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

32

（）．

5

A．0,B．1，3

2

5

C．1,D．1,4

2

變式2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記函數(shù)fxsinx0,0的最小正周

2

3

期為T(mén).若fT，x為fx的零點(diǎn)，則的最小值為（）

26

A．2B．3C．4D．6

2sinx13

,cosx

cosx32

變式3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx0在0,4π上

3

x,cosx

2

有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

131325313143

A．,B．,C．,D．,

242424242424

題型二：?jiǎn)握{(diào)問(wèn)題

π

例4．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxsinx0的圖象

3

π5π

關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱(chēng)，且fx在0,上單調(diào)，則的取值集合為（）

648

A．2B．8C．2,8D．2,8,14

ππ

例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx0,，x是函

28

πππ

數(shù)fx的一個(gè)零點(diǎn)，x是函數(shù)fx的一條對(duì)稱(chēng)軸，若fx在區(qū)間,上單調(diào)，則

854

的最大值是（）

A．14B．16C．18D．20

ππ

例6．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測(cè)）若直線x是曲線ysinx(0)的一條

44

ππ

對(duì)稱(chēng)軸，且函數(shù)ysin(x)在區(qū)間[0，]上不單調(diào)，則的最小值為（）

412

A．9B．7C．11D．3

變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx0的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為

5

,0，fx在區(qū)間,上不單調(diào)，則的最小正整數(shù)值為（）

36

A．1B．2C．3D．4

變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx0在,上單調(diào)，

36

4

且fff，則的可能取值（）

633

A．只有1個(gè)B．只有2個(gè)

C．只有3個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)

題型三：最值問(wèn)題

23π

例7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx3sinxcosx(0)在區(qū)間[,]

54

上單調(diào)遞增，且在區(qū)間[0,π]上只取得一次最大值，則的取值范圍是（）

28252858

A．[,]B．[,]C．[,]D．[,]

33363969

例8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx2sinx0，若f0，且

33

5

fx在,上有最大值，沒(méi)有最小值，則的最大值為_(kāi)_____．

312

π

例9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fx2sinx0在x處取得最大

3

π5π

值，且fπ0，若函數(shù)fx在,上是單調(diào)的，則的最大值為_(kāi)_____．

312

變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx在（0，2]上有最大值和最

6

小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是___________.

變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sinxacosx(a0,0)的最大值

為2，則使函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxcos2x2sinxcosxsin2x(0)

ππ

在,上有最大值，無(wú)最小值，則的取值范圍是________．

123

題型四：極值問(wèn)題

ππ

例10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）記函數(shù)f(x)sin(x)0,的最小正周

22

T2π

期為T(mén)．若f,x為f(x)的極小值點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．

228

例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)4sin(x)0,||，

2

f(0)f(4)2，函數(shù)f(x)在(0,4)上有且僅有一個(gè)極小值但沒(méi)有極大值，則的最小值為

（）

54

A．B．C．D．

6363

例12．（2024·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fxcosx0在區(qū)間0,內(nèi)有

42

1

且僅有一個(gè)極小值，且方程fx在區(qū)間0,內(nèi)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍

22

是（）

2511251125112511

A．,B．,C．,D．,

62626262

變式9．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)fx2sinx0，x,.若函

632

數(shù)fx只有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，則的取值范圍為（）

88

A．2,5B．2,5C．2,D．2,

33

π

變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fxsinx0在0,1上有唯一的極

3

大值，則（）

13π13ππ13π13π25π

A．π,B．π,C．,D．,

666666

變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxcosx0在區(qū)間0,內(nèi)有且

42

1

僅有一個(gè)極大值，且方程fx在區(qū)間0,內(nèi)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是

22

（）

74174141152515

A．,B．,C．,D．,

26266262

題型五：對(duì)稱(chēng)性

例13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxcosx(0)在區(qū)間[0，]上有

4

且僅有3條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍是（）

13179139131317

A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）

44444444

例14．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxcosx3sinx(0)，若fx

在區(qū)間0,2上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和2條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍是（）

541319419134

A．,B．,C．,D．,

631212312123

π

例15．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)fxsinx(0)在區(qū)間0,π上有且

4

僅有4條對(duì)稱(chēng)軸，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A．fx在區(qū)間0,上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)

π

B．fx的最小正周期可能是

4

1317

C．的取值范圍是,

44

π

D．fx在區(qū)間0,上單調(diào)遞增

15

π

變式12．（2024·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)fxsinx0在區(qū)間0,π上恰

4

有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍為（）

71391171159

A．,B．,C．,D．,

44444444

變式13．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

1

fx3sinxcosxcos2x(0,xR)在0,內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值

2

范圍是（）

2775513138

A．,B．,C．,D．,

36633663

題型六：性質(zhì)的綜合問(wèn)題

例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)fx3sinx（0，），已知|f|3，

23

52

且對(duì)于任意的xR都有fxfx0，若fx在,上單調(diào)，則的

66369

最大值為（）

A．11B．9C．7D．5

例17．（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)cosx(0)，已知f(x)在[[0,2]有

4

且僅有4個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)1在[0,2]有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；②f(x)1在[0,2]

1519

有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；③的取值范圍是,；④f(x)在0,單調(diào)遞增，其中正確個(gè)數(shù)

8810

是（）

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

例18．（多選題）（2024·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)

xxx1

fxsincoscos20在0,π上有且僅有4條對(duì)稱(chēng)軸；則（）

2222

1317

A．,

44

B．π可能是fx的最小正周期

ππ

C．函數(shù)fx在,上單調(diào)遞增

1616

D．函數(shù)fx在0,π上可能有3個(gè)或4個(gè)零點(diǎn)

變式14．（多選題）（2024·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）知函數(shù)fxsinx0，則下述

4

結(jié)論中正確的是（）

A．若fx在0,2有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則fx在0,2有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

2

B．若fx在0,2有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則fx在0,上單調(diào)遞增

15

1519

C．若fx在0,2有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是,

88

5

D．若fx的圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，且在,單調(diào)，則的最大值為9

41836

變式15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sinx(0)，則下

4

述結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[0，2π]有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

2

B．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在0,上單調(diào)遞增

15

1519

C．若f（x）在[0，2π]有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則ω的范圍是,

88

5

D．若f（x）圖象關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，且在,單調(diào)，則ω的最大值為11

41836

變式16．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)sin(x),(0)在[0,]上

6

有且僅有三個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，則下列結(jié)論正確的是（）

A．函數(shù)fx在(0,)上單調(diào)遞增.

10

B．(,0)不可能是函數(shù)yfx的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

4

1013

C．的范圍是[,)

33

D．f(x)的最小正周期可能為

2

變式17．（多選題）（2024·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

ππ

fx2sinx0的最小正周期Tπ，f1，且f