高等數(shù)學復習題

高等數(shù)學

一、填空題

1.設/。）="';〃'，則函數(shù)的圖形關于對稱。

解：/（?的定義域為（-8,+8）,且有

/（-幻=-----------=---=---=JM

L乙乙

即/（X）是偶函數(shù)，故圖形關于y軸對稱。

[sinx-2<x<04

2.若y=（，則y（彳）=____________.

H+i0<A:<22

解：1十――O

4

x2sin—

3.極限lim----工

iosinx

2?1

xsin—.Iy.Iv*

解：lim------=lim（xsin------）=limxsin--lim----=0x1=0

sinxxsinx―。xsinx

注意：limxsin』=0（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量）

X

Y111Qinr

lim」一=lim=——：—=-=l,其中l(wèi)im—=1是第一個重要極限。

x-?°sinx—osinx..sinjr1DX

lim----

x--fx

.....尸+a￥+力_.

4.己知lim------=2,則nila=,b-。

―2廠一工一2

由所給極限存在知，4+2。+人=0,得b=-2a-4,又由

x2+ax+bx+a+2a+4一八，，、

lim-.......=hm--------=-----=2,如a=2,〃=一8

^->2x2-x-2—2X+13

5.已知x-0時，（1+。/戶-1與cosx—l是等價無窮小，則常數(shù)"

1.（1+at?）'-[

解.,/limA------』------=lim

XT°COSX-1zO

zHz

6.設廠+z~=)g(—)>其中/可微,則二.

)'oy

dz.

—y-z-1

dz,dy

解2oz——=(p+y(p

力y~

az/-/

5y2z-。'

7.設u=exyz123,其中z=z(x,y)由x4-y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則

duI

菽|(o』)=----------°

An()ur，/Kdz

解一=eyz~+2zey—

dx'dx

,ndzdzdz-yz

dxdxdx1+封

里=eW+2zer，上二

dx1+盯

x=(),)，=]時，z=-l

dz,

dx

<o.i)

[K2

8.設z=—f(xy)+yeO+y),f°具有二階連續(xù)導數(shù)，則

xdxdy

解：

聶=*^)+，5)+Wa+y)

d2z—1I........

=-J(xy)+-f(xy)+yf(盯)+8(x+y)+y。(x+y)

dxdyx

=y[f(盯)+(P*+j)]+。(x+y)

9.函數(shù)/(x,y)=町，一肛2-/y的可能極值點為和

1

.v=-

x=0x=0x=1

解3

y=03=1y=01

y=-

3

-2yl-2y-2x>

H=

人=-2y,fiy=\-2y-2x,f>y=-2x,

\-2y-2x一2x；

?)1-2-r

(0.0)H=不是，10,1)H=不是

J0-i0,

(1。H=不是

r-2/3一1/3、

H=負定,極大值（1,1

「1/3-2/3,

22

10.設/(x,y)=xsiny+(x-l)^n則f'y(h0)=

解：因為/(1,)，)=siny,故G(l,0)=cos)，Jo=l

11.\x2sin2xdx=.

解：原式=J/djgcosZx)=-3/cos2x+jxcos2xtZx-

=--x2cos2x+sin2x)=——x2cos2x+—xsin2x--jsinIxdx

22222

=--x2cos2x+—xsin2x+—cos2x+C.

224

12.在區(qū)間［0,乃］上曲線）:=cos/,y=sinx之間所圍圖形的面積為

解：A=cosx-sin^dx=Jj(cosx-sinx)dx+j(sinx-cosx)dx

=(sinx+cosx)|^+(-cosx-sinx)|^=V2-1+1+V2=272.

13.若「屋也甘，則攵=

|f+00

答案”二J。eAv(lr=lim

b->4cok0kb-Qkk

:?k=2

14.設D：/+<i,則由估值不等式得<jj(x2+4y2+\)dxdy<

D

解f(x,y)=x2+4y2+\<4(x2+y2)+\,又D:x2+y2<\

=>max{/(x,y)}=4x1+1=5>niin{f(x,y)}=1

(,r.y)€D-(x.y)€D

由HUTWjj/(x,y)dcr<Ma,cr=So=^-1=

it

:.7T<I<57V

15.設。由y=y=2x2,y=1,y=2圍成(xN0),則jj/(x,y}d(y在直角坐標系下的

兩種積分次序為和.

--<x<1l<x<>/2

解D：(X—型)=。|+。2，

fWyW2

1W)，Wlx1

1=jl_泣廣于(x,y)dy+J；dx\l/(x,y)dy

16.設D為0W），Wl—x,0WxW1,則JJ7（產(chǎn)公力的極坐標形式的二次積分為

04”工T,

解：D：{-,/=底def"+cos〃/⑺曲

0^r<----!----

sinO+coN。

001

17.設級數(shù)2工收斂，則常數(shù)p的最大取值范圍是.

〃=1

仔1

解:由〃級數(shù)的斂散性知，僅當2+〃>1即〃>-1時，級數(shù)收斂，其他情形均發(fā)

1〃

散.

?C廣1八X2X4X’一

18.IX（1-----1---------F…）.

J。1!2!3!

V2r4r6工

解：因為1-----1---------1?…=e',所以原積分

1!2!3!

19.方程一/:H—=0的通解為arcsini+arcsiny=c;

Jl一廠也一y~

5

20.微分方程4y〃-2()y'+25=()的通解為y=(q+QX)^”.

21.3n=時，方程y+p*)y=4。))，”為一階線性微分方程。

解n=0或1.

22.若4x4階矩陣A的行列式為|A|=3,A是A的伴隨矩陣，則|A|=.

答案：27

23.設4海與/兀曲均可逆，則c=八「也可逆，且C"=?

“T0、

答案:

<0B-'>

24.設31,且AX-E=3X,則X二

3

1

O-

答案?2

10

-2-12

25.矩陣402的秩為.

0-33

解答：將矩陣化成階梯形，可知填寫：2。

26.向量。二(一1,0,3,-5),p=(4,-2,0,1)淇內(nèi)積為.

答案：一9

27.n階方陣A的列向量組線性無關的充要條件是.

答案：尸n,或|A|W0;

28.給定向量組四=(1I1)。2=(。()人)。3=(132),,若%,%,見線性相關，

則。，。滿足關系式.

答案：a-2b=0

29.已知向量組(1)與由向量組(II)可相互線性表示，則”)與r(U)之間向量個數(shù)的大小關系

是.

答案：相等；

30向量y=(2,l)T可以用與夕二。,3尸線性表示為.

答案：y=—5a+2#；

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的條件.

答案：必要不充分;

32.設A為mXn矩陣，非齊次線性方程組Av=》有唯一解的充要條件是r(A)

r(A\b)=.

答案：r(A)=r(A:Z?)=/r；

33.已知元線性方程組有解，且r(A)<n,則該方程組的一般解中自由未知量的個

數(shù)為.

解答；n“八)

34.設20是方陣A的一個特征值，則齊次線性方程組(4七-人k=0的都是A的屬

于4的特征向量.

答案：非零解；

35.若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則川的特征值為.

答案：1」,」；

23

36.設A是n階方陣，|A|WO,A?為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值兒,則

(萬丁+2E必有特征值;1=.

答案：(*尸+2.

37.a,夕分別為實對稱矩陣A的兩個不同特征值乙,4所對應的特征向量，則a與尸的內(nèi)枳

(a,。)=.

答案：0

38.二次型/(xl,x2,x3,x4)=xlx4+12巧的秩為.

答案：4.

‘420、

39.矩陣A=242為正定矩陣，則4的取值范圍是.

<04b

答案：大<￡

40.二次型/區(qū),工2，與)=21；+3石+戊；+2中2+2工/3是正定的，則/的取值范圍是.

3

答案：t>-

5

41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二個發(fā)生”可表示為4B+8C+AC.

42.事件A、B相互獨立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5則P(AU8)=.

解：??抽、8相互獨立，：.P(AB)=P(A)P(B)

：.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6

43.若隨機事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個發(fā)生的概率為.

解：P（；4+^）=|-P（A+5）=1-P（AB）=1-/?

44.在相同條件下，對目標獨立地進行5次射擊，如果每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標k次的概率為（0<A:<5）.

解：設X表示擊中目標的次數(shù)，則X服從二項分布，其分布律為：

45.設隨機變量X服從泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},則P{X=3}=.

e~AAk

解：：X服從泊松分布，其分布律為P{X=M=-----（^=0,1,2,-??,A>0）

k\

由已知得：-——=-一求得；1=2

1!2!

e~22

???P{X=3}=—

x0<x<1

46.設隨機變量X的分布密度為—x則。=.

0其它

解：由性質匚/（龍心=1

即10d.x++「（〃-工心+￡0公

=0+牛+?司+0

1CC1.1

=—+2a-2-a+—=a-\=\

22

解得:a=2

47.若二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為

解：:X,丫相互獨立

尸（x=i,r=i）=p（x=i）p（r=i）

....1（13Y1]

即：——=—+—0——+a

1611616人16）

.3

??67=----

16

又7ZU1

fJ

,13,,

??---卜----a+b=\

1616

??.一

16

48.設X的分布密度為力工），則y=X'的分布密度為.

解：???p{yw），}=p（x3w），）=p（x<y7）=E（y7）

???y=x3的分布密度為

。。）=母（#）'）=（>3/3），產(chǎn)。

49.二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為

二1

1Ct0.2

2Q0.3

則。與/?應滿足的條件是,當X,Y相互獨立時，a=.

解:ZZq=10+4+0.2+0.3=1即有a+夕=0.5

/j

當x,y相互獨立???P(X=I,y=i)=p(x=i)p(y=i)

，〃=(〃+0.2)(〃+夕)Aa=0.2

50.設隨機變量X與Y相互獨立，且乂~/7(1,2),丫~"(0』).令Z=-Y+2X+3,則

D(Z)=.

解，:x與y相互獨立，o(z)=o(—y+2x+3)=zx—r)+o(2x+3)

=(-l)2O(y)+4D(X)=1+4x2=2。

51.已知隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1,E(X2)=4.令Y=2X-3,則

o(y)二.

解D(D=D(2X-3)=4D(X)=4{E(X2)-[E(X)]2]=4(4-l2)=12o

二、單項選擇題

1.設/a)=x+i,則f(fa)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于/(x)=x+l,得/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1=/(x)+2

將f(x)=x+1代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正確答案：D

2.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.y=(-)rB.y=Inx2C.y=D.y=

ecosA:

解因為y=ln/是由y=in〃，〃=/夏合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案:B

3.下列各對函數(shù)中，()中的兩個函數(shù)相等.

xln(l一幻,In(l-x),2」…

A.y=----；——^與8=-----B.y=InX?與g=21nx

x~x

C.y=V1-sin2x與g=cosxD.y=個x(x-1)與y=?'(戈-1)

解：A

4.設f(x)在x=/處間斷，則有()

(A)/(x)在x=x()處一定沒有意義；

(B)f(x0-0)*f(x+0);(即lim/(x)Alim/(x))；

x—>.r0x—>.tQ

(C)limf(x)不存在，或limf(x)=co；

與x-?.t0

(D)若/(幻在X=/處有定義，則XfX。時，/(x)-/(%)不是無窮小

答案：D

1-,V1+2.x

5.函數(shù)/*)=-x-'在x=0處連續(xù)，則上=().

k,x=0

A.-2B.-IC.1D.2

答案：B

X

6.若/*)=°一"，x=()為無窮間斷點，x=l為可去間斷點，則。=().

x(x-1)

(A}1(R)0(Hp.(〃)e

解?:由于工=（）為無窮間斷點，所以（/一。）|…w（）,故awl.若。=0,則x=l也是無窮

間斷點.由x=l為可去間斷點得a=e.故選（0.

7.函數(shù)2=必（了2+）理-2）+"4-"2一32的定義域為（）.

A.1+V工2B./+y2w4c./+),2N22<x2+y2<4

解：z的定義域為：

X2+/-2>0

=>2<x2+y2<4選D

4-X2-/>0

8.二重極限limEr()

sox+y

v->0

（C）等于1

(A)等于0(B)等于I（D）不存在

2

D)

解:=與女相關，因此該極限不存在

:呼/+），1+公

9.利用變量替換…T，一定可以把方程啜+y導z化為新的方程

（）.

dzdz

(A)U—=Z(B)v(C)u—=z(D)

dudv

dz

V—=Z

du

解z是x,y的函數(shù)，火u=x,u可得x=〃，y=uv,故z是〃，u的函數(shù)，又〃=x,

x

U=￡故z是苞)，的復合函數(shù)，故包=包.1+竺？，^=^.0+^.1,從而

xdxdudvx~oyonovx

力vi,dzdzdzydzydzdzdz

左以二x——+y——=x------+——=x—=u——

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程變?yōu)椋骸ㄉ?2

cu

選A

10.若f(x)=-/(-x),在(0,+8)內(nèi)f'(x)>0,/‘‘(x)>0,則/(x)在(-00,0)內(nèi)().

(A)r(x)<0,/M(x)<0;(B)/,u)<o,/,,a)>o；

(or(x)>o,r'(x)vo,(O)/'(x)>0,/MW>0,

選(0.

11.設/(x)在x=()的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且八0)=0,lirn"幻=1,則在點％=0處

v->°2sin2-

2

fM().

3)不可導QB)可導，且/'(())?09取得極大值(〃)取得極小值

解:因為lim=1,則f(x)>0=/(0)在x=0的鄰域內(nèi)成立，所以/(0)為f(x)

t->°2sin2-

2

的極小值.故選(〃).

12.設函數(shù)/(x),g(幻是大于零的可導函數(shù)，且r(x)g。)—/(x)g'(x)<0,

則當avxvb時，有().

(力)f(x)g(b)>f(b)g(x)(8)f(x)g(a)>f(a)g(x)

(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(〃)f(x)g(x)>f(a)g(a)

解：考慮輔助函數(shù)F(x)=上立,則F'(x)=/二)?(工)一人工),(工)vo,

g(x)g'(x)

則/(x)嚴格單調(diào)減少函數(shù).當X<胡寸,>華，

g(x)g(b)

即有了(x)g?>g(x)f(b).應選(A).

13.設/V)是連續(xù)函數(shù)且2x)=「'/⑺川,則/x)=().

(A)-e-xf(e-x)-f(x)⑺-e-xf(e-x)+f(x)

(C)e~xf(e-x)-f(x)(〃)e-xf(e-x)+f(x)

解：由積分上限函數(shù)的導數(shù)可得尸'(幻=-6一、/(小、)-/(?，故選(力).

14.設/(幻在［1,2］上具有連續(xù)導數(shù)，且/(I)=1,/(2)=1=-1,

則=().

(A)2(B)19-1(〃)-2

解：因為「？'(幻公=『網(wǎng)〃此=?(工)|："f'fMdx=2/(2)-/(l)-[2f(x)dx

=2-1-(-1)=2,故應選(/O

15.設/(幻在上二階可導，且/(x)>0,/'(幻<0,/〃(大)<0.記

b

S,={f(x)dxS2=f(b)(b-a),邑="")+/(")(〃_〃)，則有().

Ja2

(J)51〈S2Vs3(B)52Vs3Vsi(OS3<Sl<S2(〃)<S3<S2

解：依題意，函數(shù)在上嚴格單調(diào)減少，且其圖形是向上凸的曲線.依據(jù)幾何圖形可得

S2Vs3<與,故選(曲.

16.設品級數(shù)￡%(工一1)"在工=一1處收斂.則此級數(shù)在工=2處().

n=\

(A)絕對收斂(B〉條件收斂

(C)發(fā)散(。)收斂性不能確定

解：選(A).

17.下列命題中，正確的是().

(J)若級數(shù)￡〃“與￡匕的一般項有〃“〈乙(〃=1,2…),則有<￡匕

〃=1〃=1〃=1n=l

(B)若正項級數(shù)Sx滿足殳51(〃=1,2，…)，則發(fā)散

M露M

8

(。若正項級數(shù)收斂，則lim皿<1

⑺)若哥級數(shù)￡為V的收斂半徑為/?(()</?<+8),則lim2=R.

.…《x"

解：由&NI(〃=I,2,…)有〃“之對>0(〃=1,2,…)，因此從而￡您發(fā)散.

故選(皮.

18.設級數(shù)￡(一1)"42”收斂，則級數(shù).

/1=1n=l

(力)絕對收斂(B)條件收斂(。)發(fā)散(力斂散性不確定

解：因為￡(一1)%”2"收斂，即轅級數(shù)”/在x=-2處收斂，由Able定理知，某級數(shù)

〃=1n=l

在X=1處絕對收斂，亦即Z4絕對收斂?故選(月).

?=1

19.微分方程(1+“公-心')=公+力的通解是()

(A)x+y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+)，)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c

解：D

20.設y=/(x)滿足微分方程)，〃-5y'+5y=0,若/(方)<0,)=0,則函數(shù)/(A)在

點/()

(A)取極大值；(B)取極小值;

(C)附近單調(diào)增加；(D)附近單調(diào)減少.

解：B

21.函數(shù)y=y(x)在點x處的增量滿足

yAx

Ay=4-⑶-0)

\+x2

且)(o)=7i、貝ijMD二(D)

(A)2肛(B),T;(C)e4;(D)歡4.

解令Arf0,得y=ce"-,c=萬，)()二碇7,故選(D)O

y1+JT

22.若含有s個向量的向置:組線性相關，且該向量組的秩為r,則必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

答案：D;

23.已知向量組T二(1,1』,0),%=(0/，0,1)，%=(2,2,0,1),%=(0,0,2,1)線性相關，則

k=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

答案:(C)

24.向量組%,％，…,4線性相關的充分必要條件是()

(A)4中含有零向量

(B)?,%，…，％中有兩個向量的對應分量成比例

(C)①,。2,…,4中每一個向量都可由其余S-1個向量線性表示

(D)4中至少有一個向量可由其余sT個向量線性表示

答案:(D)

25.對于向量組,因為0%+0%+…+0%=0,所以名，見,…，％是[].

(A)全為零向量；(B)線性相關；

(C)線性無關；(D)任意.

答案：D;

26.設A,B均為n階矩陣，^LAB=O,則必有()

(A)A=O或8=0⑻|力|=0或|6=0(C)A+B=O(D)|川+劇=0

答案：B

27.若非齊次線性方程組4叱〃乂=》的(),那么該方程組無解.

A.秩(A)=nB.秩(4)=〃？

C.秩(A)w秩(A)D.秩(4)=秩(A)

解根據(jù)非齊次線性方程組解的判別定理，得A〃KX=/;無解。秩(A)工秩(彳)

正確答案：C

722

28.若線性方程組的增廣矩陣為囚=則當；1=()時線性方程組有無窮

<2I4

多解。

1

A.IB.4C.2D.

2

解將增廣矩陣化為階梯形矩陣,

42(\X2、

<214101-2X0>

此線性方程組未知量的個數(shù)是2,若它有無窮多解，則其增廣矩陣的秩應小于2,即

1-2九=0,從而/l=L,即正確的選項是D。

2

29.設X=2是非奇異矩陣A的特征值,貝I」(；A?)T有一個特征值是

)

(A)I

(B)-(O2⑻-

244

答案：c

30.若二次型

/(2,孫電)=(&+1)4+(上一2濯+(女一3溫正定，則()

(A)k>-1(B)k>\(C)k>2(D)k>3

答案：(D)

211

31.已知a=(l,&1)7是矩陣A=121的特征向量，則Z=()

J12

(A)1或2(B)-1或-2(C)1或一2(D)一1或2

答案：(C)

32.在隨機事件A,B,C中，A和B兩事件至少有一個發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機事件可表

示為()

(A)ACUBC(B)ABC(C)ABCUABCUABC(D)AUBUC

解由事件間的關系及運算知，可選(4)

33.袋中有5個黑球，3個白球，大小相同，一次隨機地摸出4個球，其中恰有3個白球的

概率為()

5

-

od

解基本事件總數(shù)為C：,設A表示“恰有3個白球”的事件，A所包含的基本事件數(shù)

為。；=5,故尸(4)=備

故應選(。)。

34.設A、B互為對立事件，且P(A)>(),尸(3)>0,則下列各式中錯誤的是()

(A)P(B|A)=O(B)P(A|B)=O(C)P(AB)=O(D)P(A(JB)=1

解：因為A、B互為對立事件，所以P(A+8)=1,P0B)=O,又P(A)>0,P⑻>0,

所以巨=A,因而P(萬|A尸P(A|A)=1,故選(A)

35.離散型隨機變量X的分布列為P{%=1,2,3,4.則。=()

(A)0.05(B)i).1(C)0.2(D)0.25

4

解：由概率分布性質可知，常數(shù)4應滿足gP(X=6=1,???a+2a+3a+4el,即有

Zr-l

a=O.l,故應選(8)。

36.設隨機變量X的分布函數(shù)為產(chǎn)(工)=〃+-!■arctanx(-8<x<8,。為常數(shù))則

冗

P\--<X<y/3\=()

3

(A)-(B)-(C)-(D)-

6323

141(乃)111

=-X------------X=1=—,故應選（C）。

乃3乃16)362

37.設隨機變量X服從N（〃,4），則?{XV2+〃},的值（）

（A）隨〃增大而減??；（B）隨〃增大而增大；

（C）隨〃增大而不變；（D）隨〃減少而增大.

解：???X?N（〃，4）???尸［XW2+〃］二尸與幺W"尸￡=i=0（］）,而。⑴

值不隨〃的變化由?變化，/.P{XW2+〃}值隨〃增大而不變，故應選（C）。

38.設隨機變量X?NT，/）,則丫=。乂+人服從（）

(A)N(N，￡)(B)N(O,1)(C)N幺,(2產(chǎn)22

(D)N(a/.i+b>a(y)

14b

解選(D),■:E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=ap+b

D(^=D(aX+b)=crD(X)=a2b2

丫?N（a〃+〃，a2（J2）o

39.對目標進行3次獨立射擊，每次射擊的命中率相同，如果擊中次數(shù)的方差為0.72,則

每次射擊的命中率等于（）

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4

解選（。）；由題意知：X?3（3,〃），而。（X尸3?〃?（1-〃尸0.72

〃=0.4。

1

-/\x\<a

40.設隨機變量X的概率密度為/（幻=《局￡—4,〃>（）,則七（x）=（）.

0\x\>a

（A）-1（B）0（C）1（D）以上結論均不正確

解選（8）；:鳳X）:1%*（工）辦=『一而被積困數(shù)為對稱區(qū)間上的奇

7r\la2-x2

函數(shù)，￡(%)=()。

三、解答題

a+x2x<0

1.設/*)=1x=0,已知/(x)在x=O處連續(xù)可導,

ln(/?+x2)x>0

試確立4,/?并求f\x)

22

解limf(x)=limIn(b+x)=In/?,limf(x)=lim(a+x]=atvf(x)在-=0

47

.t->0.r->0+''x->0~XT。-'

處連續(xù)，ln〃=a=l,即a=l,/?=e。

當x>0時,

當R<0時,f\x)=2x,

當x=0時，/；(())=lim=lim1傘+/片=(),

x->04xfX

,/\y(o+A)—y(o)..14-X"-1

fr"(0n)=hm--------匕3=hm--------=0n,故

x->0-x.r->0+x

2x,x<0

7(x)=42x°

e+x

o2

2.設z=/(2x-y,ysin/),其中/(〃,□)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求三石.

dxoy

解：等=2/+ycosV；,

dx

z

——=2(-/u+sinVP)+cosx/；+ycosx(-f^+sinxf^)

dxoy

=-2yM+(2sinx-ycosx)力2+cos^>4-ysinACOS^2.

XV2八

3.設〃a)=2工°討論f(x，y)在(°，°)

0,.v2+y2=0

(1)偏導數(shù)是否存在。

(2).是否可微。

解：(I)6(0.0)=lim/(—，0)-/(0,0)=出口2z2=o

Av-*0&VAx->0At

同理可得力(0,0)=0,偏導數(shù)存在。

(2)若函數(shù)/在原點可微，則

Az-必=/(()+Aa0+Ay)-/((),())-faW))Ax-力」((),())Ay=,呼

心2+42

應是較「高階的無窮小量，為此，考察極限limA*=lim-產(chǎn)J,由前面

。-?0p(Ar.Ay)->(0.0)2kv-+A)-

所知，此極限不存在，因而函數(shù)了在原點不可微。

4.在過點尸(1,3,6)的所有平面中，求一平面，使之與三個坐標平面所圍四面體的體

積最小.

解：設平面方程為A￥+8y+Cz=l,其中均為正，則它與三坐標平面制成

四面體的體積為丫=!_!—,且A+33+6C=l,令

6ABC

F(A,C,2)=ABC+A(A+3B+6C-1),則由

竺

=BC+2=0

A=-

aVA3

而=AC+32=0_p.

,求得ZHB=-.由于問題存在最小值，因此所求平面方程為

"

一=AB+6A=0

朋C=—

18

A+33+6C=l

-++—=1,fiV=-x3x9xl8=81.

3918mimn6

5.仁xcos2Adr

■一12],一.

解：2xcos2.uk=—xsin2x---2sin

J。202」。

=0+kos2x02=27

4

6.jj|x2+/-4klo-,其中D為圓域d+Vw9。

解：將區(qū)域。分為外。2,其中A={(x,y)|f+y2K4},。2={(工3)|44%2+/49}。

于是

jj|x2+y2-4|dcr=jj(4-x2-y2Xlc+jj(x2+y2-4)do-

DD2

2JT22開3

=j呵(4-r)rdr+J呵(r2-4)rJr

0002

二2乃(2/一;/)|+2小;/一2產(chǎn))J;

41

=—71

2

7.設/(x,y)在/+y241上連續(xù)，求證：]im」yJJ/(x，y)"b=4(。，°)。

zRa%肥

證明。=(*,)，)|犬+)，24RZ)

由重積分中值定理，駕,)，)€。，使得4/(尤)，川。=/(5)，)(7=知/?2/侑,)，)，當R->0時,

D

&y)f(0,0)

由/的連續(xù)性，知lim/C，y)=f(O,O),從而有：

=hm3成打&y)=乃lim