高中數(shù)學(xué)模塊訓(xùn)練含解析67

模塊素養(yǎng)評價

（120分鐘150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=3+4i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3+4i<3+4。、

【解析】選D.由zi=3+4i得z=---------------=4-3i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐

i-i2

標為（4,-3）,該點位于第四象限.

2.演繹推理“因為對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且aWl）是增函數(shù)，而函數(shù)y=log〃是對數(shù)函數(shù)，所

2

以y=lo0Lx是增函數(shù)”所得結(jié)論錯誤的原因是（）

2

A.大前提錯誤B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤D.大前提和小前提都錯誤

【解析】選A.對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a/l）,當(dāng)a>l時是增函數(shù)，當(dāng)0<a<l時是減函數(shù)，故

大前提錯誤.

3.（1）己知p'+q3=2,求證p+qW2.用反證法證明時，可假設(shè)p+q22.

（2）已知a,bGR,|a|+|b|<l,求證方程x，ax+b=0的兩根的絕對值都小于'1.用反證法證明時

可假設(shè)方程有一根Xi的絕對值大于或等于1,即假設(shè)|xJ21.

以下結(jié)論正確的是（）

A.（1）與（2）的假設(shè)都錯誤

B.（1）與⑵的假設(shè)都正確

C.（1）的假設(shè)正確；（2）的假設(shè)錯誤

D.（1）的假設(shè)錯誤；（2）的假設(shè)正確

【解析】選D.“W”的反面是，故⑴錯誤.“兩根的絕對值都小于1”的反面是“至少

有一個根的絕對值大于或等于1”，故⑵正確.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足：（2+i）z=bi,其中i是虛數(shù)單位，則z的共軌復(fù)數(shù)為（）

1313

A.---iB.-+-i

5555

11

C.—iD.一+i

33

1-iC2^V13i13

【解析】選B.由(2+i)z=1T,得z=---=-----------=---i,所以Z二一十—i.

2+i-275555

【加練?固】

1+i~~

若復(fù)數(shù)Z=—,Z為Z的共軌復(fù)數(shù)，則(z)2017=()

1-1

A.iB.-iC.-22017iD.22017i

1+i(1+i，2

【解析】選B.由已知，z=——=----------=i,可得Z=-i,則⑵2017=[(-i)4]504-(-i)=-i.

1-i(l-i>(l+i>

5.《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額

A.25B.48C.63D.80

r

6.已知函數(shù)f(x)=x?+bx+c(b,ceR),F(x)二--,若己知的圖像在x=0處的切線方程為

ex

y=-2x+c,則函數(shù)f(x)的最小值是()

A.2B.1C.0D.-1

【解析】選C.因為千'(X)=2x+b,所以F(x)二一——,F，(X)二一:—,又F(x)的圖像在x=0

exex

17*(。)―—―2(b二r

處的切線方程為y=-2x+c,所以廠一得［7—二所以f(x)=(X+2)220,

(F=c,3=%

f(x)min=0.

7.要證：a2+b2-l-a2b2^0,只需證明()

A.2ab-l-a2b2^0

a2+&2

B.a92+b92-l------W0

2

以+匕)2

C.l-a2b2^0

2

D.(a2-l)(b2-l)20

【解析】選D.因為a2+b2-1-a2b2=(-a2+1)(b2-1)=-(a2-1)(b2-1)^0.

所以要證22+62-1-2262&0.只需證6-1)廿一1)20.

XV3

&若函數(shù)f(x)=K(a>。)在山+8)上的最大值為可,則,的值為()

卜丹B.8C.V3HD.V3-1

x2+a^2x22

【解析】選D.f'(X)=—;----5-二—;----7,

(xz+a>2(xz+a>2

當(dāng)x>歷時，*(x)<0,f(x)是減少的,

當(dāng)-JE<x〈迎時，fz(x)>0,f(x)是增加的,

當(dāng)x=G時，令f(x)=叵圾V^=-<1,不合題意.

2a32

所以f(X)max二千(1)二—二史,a=V3-1.

1+Q3

9.觀察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,

則式子35是第()

A.22項B.23項C.24項D.25項

【解析】選C.兩數(shù)和為2的有1個，和為3的有2個，和為4的有3個，和為5的有4個，

和為6的有5個，和為7的有6個，前面共有21個，35為和為8的第3項，所以為第24

項.

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x"ax的導(dǎo)數(shù)為『(x)=2x+l,則數(shù)列(nWN*)的前n項和是(

nn+2n+1

A.----B.----D.——

n+1n+1九一1n

【解析】選A.因為f(x)=x^+ax的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x+1,所以m=2,a=1,所以f(x)=x?+x,即

f(n)=n2+n=n(n+1)所以數(shù)列(n￡N*)的前n項和為:

11111\/I1\fl1\1n

S-??=(1一一)+(一一一)+???+(——----)=1---------=------

n1X22X33X4n<n+l>--k2/\23/\nn+17n+1n+1

11.已知曲線3：y2=tx(y>0,t>0)在點2)處的切線與曲線Cz：y=e"：l也相切，則t的

值為()

g2Q

A.4e2B.4eC.——D.—

44

【解析】選A.由y=y/tXf得y‘二一工，則切線斜率為k,，所以切線方程為y-2="(

2y/tx44\t)

即y=-x+l.設(shè)切線與曲線y=e'^+l的切點為(xo,yo).y=ex+1+l,得y，=ex+1,貝|由。“。+1=一,

44

得切點坐標為(/幾——L—F1\故切線方程又可表示為y—1=—(In—+1\即

k44744\47

tttttttt

y二一x—In-+一+1,所以由題思，得—In-+—+1=1,即In-=2,解得t=4e9.

44424424

12.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(eX-l)(x-l)k(k=L2),貝！|()

A.當(dāng)k=l時,f(x)在x=l處取到極小值

B.當(dāng)k=l時，f(x)在x=l處取到極大值

C.當(dāng)k=2時，f(x)在x=l處取到極小值

D.當(dāng)k=2時，f(x)在x=l處取到極大值

【解析】選C.當(dāng)k=1時,f'(x)=ex?x-1,f'⑴手0.

所以x=1不是f(x)的極值點.

當(dāng)k=2時，f'(x)=(x-1)(xe*+e'-2)

顯然f'(1)=0,且x在1的左邊附近f'(x)<0,

x在1的右邊附近f'(x)>0,所以f(x)在x=1處取到極小值.

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分.請把答案填在題中的橫線上)

13.已知函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)為/(%),且函數(shù)f(%)=x，ax夕(1)的圖像在點(L/(1))

處的切線斜率為-2,則@=.

【解析】由f(%)=x，ax?產(chǎn)(1),得(%)=2x+af/(1),

所以f'(l)=2+af/(1),依題意，得-2=2-2a,所以a=2.

答案：2

14.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-l在(-8,+8)上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【解析】依題意可知函數(shù)f(x)在(-8,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f'(x)=-3x2+2ax-1W0在

(-8,+8)上恒成立，則A=4a2T2W0,解得

答案：V3]

15.觀察下列算式，猜測由下列算式提供的一般法則，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示它.

1二1

3+5=8

7+9+11=27

13+15+17+19=64

21+23+25+27+29=125

則這個式子為.

【解析】觀察由前5個等式歸納得到第n個等式的右邊是r?,左邊都是正奇數(shù)的和，設(shè)第n

__

個等式的左邊的首項為an,則a?-二2,a3-a2=4,a4as=6,as~a4-8,?,,,anan-i=2n-2,由累加

-2-2-

法,anai-nn,an-nn+1,貝|第n個等式為(n?—n+1)+(r|2-n+3)+??,+(n2+n-l)=nl

答案:(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n_1)=n3

111

16.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，若命題的左邊是1+-+-+…+—(nEN+),則當(dāng)n=k+1時，

232九'十,

左邊應(yīng)是n二k時的左邊加上________________________.

111

【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時，若命題的左邊是1+-+―?■…+—(幾￡N+),先假設(shè)n二k

232nv十/

11111

時，命題的左邊是千(k)=1+—1+…十4(keN+),則當(dāng)n=k+1時，左邊應(yīng)是1+—+—+…

232k'+,23

11111

+—+-------+------------=f(k)+--------F-------------.

2k2k+l2<k+l>2k+l2</c+l>

11

答案：-----+-------

2k+l2</c+l>

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

一，15-5i

17.(10分)己知復(fù)數(shù)zi=2-3i,Z2-----.

(2+P2

_Z]

求：(1)zi+Zo.(2)zi,z2.(3)一.

Z2

15-5i15-5i5<3-4。5-15i

[解析1z=-------=--------=---------------------=--------=1-3i.

2<2+U23+4l<3+4。<3-4。5

(1)zi+Z2=(2-3i)+(1+3i)=3.

(2)z,?z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.

Zi2-3i<2-3i><l+3i>2+9+3i113

(3)-=---=---------------------=----------=—+—i

z2l-3i<l+3i>101010

1

18.（12分）已知在正數(shù)數(shù)列區(qū)｝中，前n項和為Sn,且2s國+一,用數(shù)學(xué)歸納法證明:

an

a?=VnJn-l.

1=VT_Vo=i,結(jié)論成立.

【證明】（1）當(dāng)n=1時ai=Si二一+

2

⑵假設(shè)當(dāng)n二k時，結(jié)論成立，即

1

Sk二一瓜"k"l+

2

1_

則當(dāng)n—k+1時，ak+1=Sk+i~Sk二一1+Vk,a￡+1+2V^ak+T=0,

2

因為ak+i>0,所以ak+i二VkTl-Vk,所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立,

由（1）（2）知，對于一切正整數(shù)n,結(jié)論都成立.

19.（12分）如圖，直線尸kx分拋物線y=x-X?與x軸所圍成圖形為面積相等的兩部分，求k的

值.

【解析】拋物線y=x-x?與x軸兩交點的橫坐標為Xi=0,x2=1,所以，拋物線與x軸所圍圖形的

1111

面積(x-x2)dx=二---二一

0236

2

V=X->°

又〈

由此可得拋物線y=x-x?與y=kx兩交點的橫坐標x3=0,x4=1-k,

y=kx>

所以（x-x2-kx）dx=（子X2一寧）I1。-k在1城

111也

又S二一，所以（1-k）二一，所以k=1------

622

【誤區(qū)警示】本題容易忽視計算直線與拋物線的交點坐標，導(dǎo)致無法利用定積分計算面積,

另外，開方計算也容易出現(xiàn)化簡方面的錯誤.

20.(12分)已知a>5,求證：Va+5-Va+3<Va+2-Va.

【彳正明】要證Va+5-"a+3<Va+2-?,

只需證Va+5+V^<Va+3+"a+2,

只需證(7a+5+F)2<(Va+3+Va+2)2,

只需證2a+5+2Va2+5a<2a+5+2Va2+5a+6,

只需證Va?+5a〈"a2+5a+6,

只需證a2+5a<a2+5a+6,只需證0<6.

因為o<6恒成立，所以Va+5-?a+3cJa+2-\反成立.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=e*-ax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切

線斜率為-1.

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值.

(2)證明:當(dāng)x>0時，x2<ex.

【解析】⑴由千(x)=e'-ax,得千'(x)=ex-a.

因為千'(0)=1-a=-1,所以a=2.所以f(x)=ex-2x,千'(x)=ex-2.

令f'(x)=0,得x=ln2.

當(dāng)x<ln2時，f'(x)<0,f(x)是減少的;

當(dāng)x>ln2時，*(x)>0,f(x)是增加的,

所以當(dāng)x=ln2時，f(x)取得極小值，

極小值為千(In2)=2-21n2=2-In4,f(x)無極大值.

⑵令g(x)=ex-x2,則g'(x)=ex-2x.

由⑴，得g，(x)=f(x)^f(ln2)=2-In4>0,

所以g(x)在R上是增加的.

因為g(0)=1>0,

所以當(dāng)x>0,g(x)>g(0)>0,即x'e；

1

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+-(x-l)2.

2

⑴判斷f(x)的零點個數(shù).

(2)若函數(shù)8&)=@*-@,當(dāng)x>l時，g(x)的圖像總在f(x)的圖像的下方，求a的取值