高中數(shù)學(xué)求離心率取值范圍-常見6法

求離心率取值范圍一常見6法

在圓錐曲線的諸多性質(zhì)中，離心率經(jīng)常滲透在各類題型中。離心率是描述圓錐曲線“扁

平程度”或“張口大小”的一個重要數(shù)據(jù)，在每年的高考中它常與“定義”、“焦點(diǎn)三角形”

等聯(lián)系在一起。因此求離心率的取值范圍，綜合性強(qiáng)，是解析幾何復(fù)習(xí)的一個難點(diǎn)。筆者從

事高中數(shù)學(xué)教學(xué)二十余載，積累了六種求解這類問題的通法，供同仁研討。

一、利用橢圓上一點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)的取值范圍，構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等式

—+2^=1^>8>0）

例1若橢圓//上存在一點(diǎn)P,使20取=90。，其中。為原點(diǎn)，

A為橢圓的右頂點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍。

解：設(shè)尸（為/。）為橢圓上一點(diǎn)，則

22

配+”=1

.川.①因?yàn)?0為=90。，所以以O(shè)A為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)p,

所以

22

X。一"。+必》=0.②聯(lián)立①、②消去尢并整理得

b2

xj-（而一4）+-7（/一x；）=。_

a當(dāng)X。一”時，P與A重合，不合題意，舍去。

_ab2ab2

所以“a?-/又OYXoYa,所以Y—

/1'品

即a>-2b=2\a-cJ得/即2又OYeYl,故e的取值范圍

的

是L，

二、利用圓錐曲線的焦點(diǎn)和曲線上一點(diǎn)構(gòu)成的“焦三角形”三邊大小關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于

a,b,c不等式

22

—-=l（aA0,6A0）

例2已知雙曲線a?b2左、右焦點(diǎn)分別為R、F2,左準(zhǔn)線為/,P是

雙曲線左支上一點(diǎn)，并且四」二4尸為|,由雙曲線第二定義得PF」=ed,

所以呼2|='廬片|.①由又曲線第一定義得

眄|-閥|=2。②由①-②得

%1=含，1尸居|=含在她至中，鶴|+|尸當(dāng)閆F閱=2g所以

即e-l.又eAl,從而解得e的取值范圍是

三、利用圓錐曲線的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式

—T-+^-r-=l（aM3M0）

例3設(shè)橢圓a?拄的兩焦點(diǎn)為&、F2,問當(dāng)離心率E在什么范圍內(nèi)

取值時，橢圓上存在點(diǎn)P,使△鳥尸鳥=120°.

解:設(shè)橢圓的焦距為2c,由橢圓的定義知?dú)w用+歸用1=2。.

在△片尸尸2中，由余弦定理得

原針=陷『+|阿-2|尸引巡|cos4】尸思

二|叫+|明2+陷陷|=（比|+颶1）2-陷陷I

4--41=陷附.因［產(chǎn)身］=/居外包

所以I）所以a2.

受

又OYeYl,故e的取值范圍是L"）

四、利用圓錐曲線的定義，結(jié)合完全平方數(shù)（式）非負(fù)的屬性構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等

式

例4如圖1,已知橢圓長軸長為4,以y軸為準(zhǔn)線，且左頂點(diǎn)在拋物線r=x-l上，

求橢圓離心率e的取值范圍。

解：設(shè)橢圓的中心為01工，并延長交y軸于N,則Oi4=a=2,NA=x0.

a2212

e=—=----=------<-

a2而+2.3

因?yàn)?。=瓦—120,所以x0之1。所以T

31

所以橢圓離心率e的取值范圍為I3」

五、將題中已知不等關(guān)系巧妙轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式

—y+=1（以ASA0）

例5已知橢圓/心的兩焦點(diǎn)為K、F2,斜率為K的直線I過右焦

1^1<—

點(diǎn)F2,與橢圓交于A、B,與Y軸交于C,B為CFz的中點(diǎn)，若5,求橢圓離心率e

的取值范圍。

解：設(shè)生（C,0）,直線「丁=只工一,1,則22，代入橢圓方程得

c3c/212e2k21

------+-----------------=1-&4----------------=1

又占2“2一己所以4a24（—-1），所以44（1一/）,

?，-5'+4同式空<1

解得e因?yàn)?,所以5

42

e-5e+44422-^5

------------------,—<eY1--------------VeYl

解65得5，所以5

六、利用圓錐曲線參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)，結(jié)合正余弦函數(shù)的有界性，構(gòu)造關(guān)于a,b,c的不等

式

22

XV,

例6若橢圓//一1A*>0）上存在一點(diǎn)P,使NO以=90°,其中0為原點(diǎn)，

A為橢圓的右頂點(diǎn)，求橢圓離心率e的取值范圍。

解：設(shè)P（acos8Jsine）,由NO口=90。，

3sin66sin&

------------------=-]

得acos6acos^-a

即^a2-Z>2)cos20-a2cos0+b2=0

①

投

COS&-1或COS&——------r

解得白一8

當(dāng)cos8=1時，尸與工重合，不合題意，舍去。

b2

—1YY1

因此要使①有解，需a2-b

即今二】,解得十日

又OYeYl,故e的取值范圍是L4；

總之，求圓錐曲線的離心率范圍首先從定義出發(fā)，利用圓錐曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍和焦三

角形的三邊大小關(guān)系，結(jié)合參數(shù)方程中三角函數(shù)有界性和均值不等式，有時也常常轉(zhuǎn)化為

一元二次方程利用判別式或者完全平方數(shù)（式），具體問題具體對待，貴在劃歸轉(zhuǎn)化。

第35關(guān)：高考數(shù)學(xué)選擇題一解題策略

數(shù)學(xué)選擇題在當(dāng)今高考試卷中，不但題目多，而且占分比例高，選擇題題量為12題每題

5分共60分，分值占到試卷總分的40%。數(shù)學(xué)選擇題具有概括性強(qiáng)，知識覆蓋面廣，小巧

靈活，且有一定的綜合性和深度等特點(diǎn)，考生能否迅速、準(zhǔn)確、全面、簡捷地解好選擇題，

成為高考成功的關(guān)鍵。

解答選擇題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速。準(zhǔn)確是解答選擇題的先決條件，選擇題不設(shè)中

間分，一步失誤，造成錯選，全題無分，所以應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏，

確保準(zhǔn)確；迅速是贏得時間獲取高分的必要條件，對于選擇題的答題時間，應(yīng)該控制在不超

過40分鐘左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1?3分鐘內(nèi)解完，要避免“超時失

分”現(xiàn)象的發(fā)生。

高考中的數(shù)學(xué)選擇題一般是容易題或中檔題，個別題屬于較難題，當(dāng)中的大多數(shù)題的解

答可用特殊的方法快速選擇。解選擇題的基本思想是既要看到各類常規(guī)題的解題思想，但更

應(yīng)看到選擇題的特殊性，數(shù)學(xué)選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，因而，在解答

時應(yīng)該突出一個“選”字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的

信息，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題

的基本策略

（-）數(shù)學(xué)選擇題的解題方法

1、直接法：就是從題設(shè)條件出發(fā)，通過正確的運(yùn)算、推理或判斷，直接得出結(jié)論再與

選擇支對照，從而作出選擇的一種方法。運(yùn)用此種方法解題需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

例1、某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)

的概率為（）

解析：某人每次射中的概率為0.6,3次射擊至少射中兩次屬獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

*帝哈+*帝嚏+^5=125故選A

例2、有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行：②過平面a的一條斜線/有

且僅有一個平面與a垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

解析：利用立幾中有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)定理對上述三個命題作出判斷，易得都是正確

的，故選D。

例3、已知R、R是橢圓16+9=1的兩焦點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)R的的直線交橢圓于點(diǎn)A、B,若

|AB|=5,則IAFj+lBF」等于（）

A.11B.10C.9D.16

解析：由橢圓的定義可得|AFI|+|AF2|=2a=8,|BR|+|BF2|=2a=8,兩式相加后將

|AB|=5=|AF/+|BF21代入,得|AF,|+|BFj=ll,故選A。

例4、已知y=l°g/2-ax）在［o,］］上是x的減函數(shù)，則〃的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+oo)

解析：...y12-ax是減函數(shù)，；y="g<2一所)在［o,i］上是減函數(shù)

：.a>l,且2-a>。，/.l<a<2,故選B

2、特例法：就是運(yùn)用滿足題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關(guān)系、特殊圖形、

特殊數(shù)列、特殊函數(shù)等對各選擇支進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它

在一般情況下也不真的原理，由此判明選項(xiàng)真?zhèn)蔚姆椒?。用特例法解選擇題時，特例取得愈

簡單、愈特殊愈好。

(1)特殊值

一<OL<—

例5、若sina>tana>cota(42),則ae()

A.(5,1)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,2)

穴Tl

解析：因42,取a=-6代入sina>tana>cota,滿足條件式，則排除A、

C、D,故選B。

例6、一個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,則它的前3n項(xiàng)和為()

A.-24B.84C.72D.36

解析：結(jié)論中不含n,故本題結(jié)論的正確性與n取值無關(guān)，可對n取特殊值，如n=l,

此時ai=48,a2=S2-Si=12,a3=ai+2d=-24,所以前3n項(xiàng)和為36,故選D。

(2)特殊函數(shù)

例7、如果奇函數(shù)f(x)是［3,7］上是增函數(shù)且最小值為5,那么fi(x)在區(qū)間［-7,-3］

上是()

A.增函數(shù)且最小值為一5B.減函數(shù)且最小值是一5

C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值是一5

5

解析：構(gòu)造特殊函數(shù)fi［x)=3X,雖然滿足題設(shè)條件，并易知f(x)在區(qū)間［―7,—3］上是

增函數(shù)，且最大值為f(-3尸-5,故選C。

例8、定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，設(shè)a+bWO,給出下列不等式：①出a)Y—a)

W0；②f(b)?4-b)》0；③f(a)+f(b)Wf(—a)+f(—b)；④f(a)+f(b)》f(—a)+f(—b)。其中正確的

不等式序號是()

A.①@④B.①④C.②④D.①@

解析：取f(x尸-x,逐項(xiàng)檢查可知①④正確。故選B。

(3)特殊數(shù)列

例9、已知等差數(shù)列(%>滿足的+%+…=則有()

A、%+的01>°B、c、D、叼=51

解析：取滿足題意的特殊數(shù)列%=°,則與+佝9=°,故選C。

(4)特殊位置

例io、過丁二白一缶>°)的焦點(diǎn)?作直線交拋物線與尸、Q兩點(diǎn)，若尸戶與尸。的長

11

—+—二

分別是p、q,則P自()

14

A、2aB、2ac、4aD、a

|PF|=|FQ|=———H—=2a+2a=4a

解析：考慮特殊位置PQLOP時，2a,所以2，，

故選Co

例11、向高為出的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量,與水深入的函數(shù)關(guān)系的圖象

如右圖所示，那么水瓶的形狀是（）

解析：取2,由圖象可知，此時注水量廣大于容器容積的2,故選及

（5）特殊點(diǎn)

例12、設(shè)函數(shù)/。）=2+6。之0）,則其反函數(shù)/-1熾）的圖像是（）

A、B、C、D、

解析：由函數(shù)/（x）=2+?a20）,可令x=o,得y=2；令x=4,得y=4,則特殊點(diǎn)（2,0）

及（4,4）都應(yīng)在反函數(shù)f『（x）的圖像上,觀察得A、C。又因反函數(shù)「（X）的定義域?yàn)閧*1芯之2},

故選C。

（6）特殊方程

a

例13、雙曲線b2x2-a2y2=a2b2（a>b>0）的漸近線夾角為a,離心率為e,則cos2等于（）

JJ_

A.eB.e2C.eD.e1

解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關(guān)系式，故可用特殊方程來考察。

x2y1#a2

取雙曲線方程為4-1=1,易得離心率e=2,cos2=、后，故選c。

（7）特殊模型

y

例14、如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式（x-2）2+y2=3,那么X的最大值是（）

A.2B.3C.2D.6

yy-0-2一用

解析：題中X可寫成工-0。聯(lián)想數(shù)學(xué)模型：過兩點(diǎn)的直線的斜率公式k=*2一公，

可將問題看成圓（x—2>+y2=3上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率的最大值，即得D。

3、圖解法：就是利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問題（如解方程、解不等

式、求最值，求取值范圍等）與某些圖形結(jié)合起來，利用直觀幾性，再輔以簡單計算，確定

正確答案的方法。這種解法貫穿數(shù)形結(jié)合思想，每年高考均有很多選擇題（也有填空題、解

答題）都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決，既簡捷又迅速。

例15、已知a、B都是第二象限角，￡Lcosa>cos3,則（）

A.a<pB.sina>sin0B

C.tana>tan3D.cota<cot0（

解析：在第二象限角內(nèi)通過余弦函數(shù)線cosa>cosB找出a、B的終邊位置關(guān)系，\

再作出判斷，得B。

————

例16、已知a、B均為單位向量，它們的夾角為60°,那么I0+3為=()

A.幣B,而C.屈D.

解析：(?圖，a+3b=OB,在LOAB中，\B

?.?[04|=1,|月8|=3,/048=120：.由余弦定理得|￡2+3々=|。8|=

岳,故選C。

例17、已知｛①｝是等差數(shù)列，a尸-9,S3=ST,那么使其前n項(xiàng)和S”最小的n是()

C.6D.7

dd

解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S產(chǎn)2n2+(a-2)n可表示

為過原點(diǎn)的拋物線，又本題中a=-9<0,S3=ST,可表示如圖,

由圖可知，"2，是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋物線的對稱軸，I\：

所以n=5時S”最小，故選B|、U

4、驗(yàn)證法：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去I;

驗(yàn)證是否滿足題設(shè)條件，然后選擇符合題設(shè)條件的選擇支的一種方法。在運(yùn)用驗(yàn)證法解題時,

若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。

例18、計算機(jī)常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計數(shù)制，采用數(shù)字0—9和字母A-F共16

個讓數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：

十六進(jìn)制0123456789ABCDEF

十進(jìn)制0123456789101112131415

例如：用十六進(jìn)制表示E+D=1B,則AXB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

解析：采用代入檢驗(yàn)法，AXB用十進(jìn)制數(shù)表示為1X11=110,而

6E用十進(jìn)制數(shù)表示為6X16+14=110；72用十進(jìn)制數(shù)表示為7X16+2=114

5F用十進(jìn)制數(shù)表示為5X16+15=105；B0用十進(jìn)制數(shù)表示為11X16+0=176,故選A。

例19、方程芯+3*=3的解勺e()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+°O)

解析：若xe(0，l),則lgx<0,則x+lgxJ若xe(L2),則0<lgx<l,則

1<x+lgx<3；若xe(2,3),則0<lgx<l,貝2cx+lgx<4；若芯>3,也矛>0,則

―取>3,故選以

5、篩選法(也叫排除法、淘汰法)：就是充分運(yùn)用選擇題中單選題的特征，即有且只有

一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，通過分析、推

理、計算、判斷，對選擇支進(jìn)行篩選，將其中與題設(shè)相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正

確結(jié)論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個選項(xiàng)中有且只有一個答案正確。

例20、若x為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)y=sinx+cosx的值域是()

出工立2V?

A.(1,五]B.(0,2]C.[2,2]D.(5,2]

xe(0,芻

解析：因五為三角形中的最小內(nèi)角，故3,由此可得y=sinx+cosx>l,排除B,C,D,

故應(yīng)選A。

例21、原市話資費(fèi)為每3分鐘0.18元，現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費(fèi)為0.22元，超過3分鐘

的，每分鐘按元計算，與調(diào)整前相比，一次通話提價的百分率（）

A.不會提高70%B.會高于70%,但不會高于90%

C.不會低于10%D.高于30%,但低于100%

0.33-0.363.19-1.8

解析：取x=4,y=0.36?100%七一8.3%,排除C、D；取x=30,y=1.8-100%

比77.2%,排除A,故選B。

X2+y2=2—+—=1x2+—=1—+y2=1

例22、給定四條曲線：①2,②94，③4，④4,

其中與直線x+y一正=°僅有一個交點(diǎn)的曲線是（）

A.①②③B.（2X3）@C.①?④D.①@④

解析：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合

條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和

曲線寸+彳一是相交的，因?yàn)橹本€上的點(diǎn)（6°）在橢圓內(nèi)，對照選項(xiàng)故選D。

6、分析法：就是對有關(guān)概念進(jìn)行全面、正確、深刻的理解或?qū)τ嘘P(guān)信息提取、分析和

加工后而作出判斷和選擇的方法。

（1）特征分析法一一根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等,

進(jìn)行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法。

例23、如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線

表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大

息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳送信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳送，

則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）

A.26B.24C.20D.19

解析：題設(shè)中數(shù)字所標(biāo)最大通信量是限制條件，每一支要以最小值來計算，否則無法同

時傳送，則總數(shù)為3+4+6+6=19,故選D。

例24、設(shè)球的半徑為R,P、Q是球面上北緯60°圈上的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在緯度圈上的劣

成

弧的長是2,則這兩點(diǎn)的球面距離是（）

、尼成液成

A、&RB、2C、3D、2

解析：因緯線弧長A球面距離〉直線距離，排除A、B、D,故選C。

.〃冽一3八4一2加,開八、0

sin5=-----,cos&=-------（―<&<7T）tan—

例25、己知活+5加+52，則2等于（）

加一3m-31

-----I-----1-

A、9一冽B、9一冽C、3D、5

解析：由于受條件sir?0+COS?0=1的制約，故m為一確定的值，于是sin9,cos?的值

d7T7T07T&

應(yīng)與m的值無關(guān)，進(jìn)而推知tan2的值與m無關(guān)，又2<9<n,4<2<2,.-.tan2>1,

故選Do

（2）邏輯分析法一一通過對四個選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析，達(dá)到否定謬誤支，選

出正確支的方法，稱為邏輯分析法。

例26、設(shè)a,b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么（）

A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|

解析：：A,B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C,D?又由ab<0,可

令a=l,b=-1,代入知B為真，故選B。

例27、的三邊a，、，。滿足等式acosA+bcosB=ccosC,則此三角形必是()

A、以口為斜邊的直角三角形B、以力為斜邊的直角三角形

C、等邊三角形D、其它三角形

解析：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于％”與瓦B的對稱式，因此選項(xiàng)在A、B為等價命題都

11=11=1

被淘汰，若選項(xiàng)c正確，則有5+55,即2,從而c被淘汰，故選D。

7'估算法：就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，求出答案的近似值，或把有關(guān)數(shù)值

擴(kuò)大或縮小，從而對運(yùn)算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計，進(jìn)而作出判斷的方法。

例28、農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。03年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為

3150元(其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元)，預(yù)計該地區(qū)自04年起

的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資源共享性收入將以每年的年增長率增長，其它性收入每年增加160

元。根據(jù)以上贅據(jù)，08手該地區(qū)人均收入介手_()

(A)4200元?4400元(B)4400元?4460元

(C)4460元?4800元(D)4800元~5000元

解析：08年農(nóng)民工次性人均收入為：黑1800(1+C；X0.06+C；X0.062

=1800(1+0.3+0.036)=1800x1.336?2405

又08年農(nóng)民其它人均收入為1350+16()X5=2150

故08年農(nóng)民人均總收入約為2405+2150=4555(元)。故選B。

說明：1、解選擇題的方法很多，上面僅列舉了幾種常用的方法，這里由于限于篇幅，

其它方法不再一一舉例。需要指出的是對于有些題在解的過程中可以把上面的多種方法結(jié)合

起來進(jìn)行解題，會使題目求解過程簡單化。

2、對于選擇題一定要小題小做，小題巧做，切忌小題大做?！安粨袷侄?，多快好省”是

解選擇題的基本宗旨。

(二)選擇題的幾種特色運(yùn)算

1、借助結(jié)論一速算

例29、棱長都為血的四面體的四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()

A、34B、4開c、3歷D、6萬

解析：借助立體幾何的兩個熟知的結(jié)論：(1)一個正方體可以內(nèi)接一個正四面體；(2)

若正方體的頂點(diǎn)都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑

R=—

2,從而求出球的表面積為3k，故選A。

2、借用選項(xiàng)——驗(yàn)算

'3x+y>12,

2x+9y>36,

'2x+3^>24,

例30、若冗丁滿足以2°，丁之°，，則使得z=3x+2y的值最小的(x,y)是()

A、(4.5,3)B、(3,6)C、(9,2)D、(6,4)

解析：把各選項(xiàng)分別代入條件驗(yàn)算，易知B項(xiàng)滿足條件，且z=3x+21y的值最小，故

選B?

3、極限思想——不算

例31、正四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角的平面角為a,側(cè)面與底面所成的二面角的平

面角為戶，則2cos°+cos2內(nèi)的值是()

3

A、1B、2C、-1D、2

解析：當(dāng)正四棱錐的高無限增大時，a-90?，內(nèi)—90二則

2cosa+cos2?―?2cos9(T+cosl80-=-1.故選c。

4、平幾輔助——巧算

例32、在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A(l,2)距離為1,且與點(diǎn)B(3,1)距離為2的直線

共有()

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：選項(xiàng)暗示我們，只要判斷出直線的條數(shù)就行，無須具體求出直線方程。以A(l,

2)為圓心，1為半徑作圓A,以B(3,1)為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知，

滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關(guān)系是相交，只有兩條公切線。故選B。

5、活用定義——活算

例33、若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)E(1,0),F2(3,0),則其離心率為()

A、；B.3c、5D、，

_c_1

解析：利用橢圓的定義可得2a=42c=2,故離心率一。一5.故選c。

6、整體思想設(shè)而不算

例34、若Qx+g)=&+?1五+?2/+&/+%/則(&+。2+%)2-(%+&)

的值為()

A、1B、-1C、0D、2

解析：二項(xiàng)式中含有也,

似乎增加了計算量和難度，但如果設(shè)

44

aQ+的+劭+&+?4=以=(2+^3)+。2-。3+。4=乃=Q-萬),則待求式

子=必=[(2+揚(yáng)(2-揚(yáng)]4=1。故選A。

7、大膽取舍一估算

例35、如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF〃AB,

3

EF=2,EF與面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為()

915

A、2B、5C、6D、~2

…%-ABCD=二，ABCD卜=二乂3義3義2=6vrr

解析：依題意可計算33，而％的>展was=

6,故選D。

8、發(fā)現(xiàn)隱含——少算

1y=以+2與/+匕=1,,

例36、2交于人、8兩點(diǎn)，且為必+無。3=5,則直線人8的方

程為()

A2工一3伊-4=0?2x+3y-4=0

「3x+2y-4=0n3x-2y-4=0

解析：解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線AB的方程就是丁=上芥+2,它過

定點(diǎn)(0,2),只有C項(xiàng)滿足。故選C。

9、利用常識——避免計算

例37、我國儲蓄存款采取實(shí)名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲蓄點(diǎn)代扣代收。某

人在2001年9月存入人民幣1萬元，存期一年，年利率為2.25%,到期時凈得本金和利息

共計10180元，則利息稅的稅率是()

A、8%B、20%C、32%D、80%

解析：生活常識告訴我們利息稅的稅率是20%。故選B。

(三)選擇題中的隱含信息之挖掘

1、挖掘“詞眼”

例38、過曲線$：丁二3X一/上一點(diǎn)工(2,—2)的切線方程為()

A、y=-2B、I

C9x+y-16=0D9x+y-16=0或y=-2

/

錯解：/(x)=-3?+3,/(2)=-9；從而以A點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率為-9,即所

求切線方程為+丁-16=0.故選c。

剖析：上述錯誤在于把“過點(diǎn)A的切線”當(dāng)成了“在點(diǎn)A處的切線”，事實(shí)上當(dāng)點(diǎn)A

為切點(diǎn)時，所求的切線方程為一16=°,而當(dāng)A點(diǎn)不是切點(diǎn)時，所求的切線方程為

丁=_2故選口。

2、挖掘背景

〃x+a)1+/W

例39、已知xcRaeR,a為常數(shù),且1一J(x),則函數(shù)/(X)必有一

周期為()

A、2aB、3aC、4白D、5a

1+tanx

tan(,xH—開、)=

分析：由于4l-tanx,從而函數(shù),(x)的一個背景為正切函數(shù)tanx,取

_7T

4,可得必有一周期為4以。故選C。

3、挖掘范圍

例40、設(shè)tan&、t3n2是方程齊+3、反+4=0的兩根，且

3苧/e弓苧則a+力的值為

)

2開7T7F_K2開_開或2開

一或----

A、3B、3C、33D、

tan(a+0=小，又ae(一￡令,「e(-g,g),&+戶e(一兀幻

錯解：易得2222，從而

c7T-U2開

儀+產(chǎn)二—或一一.

33故選c。

剖析：事實(shí)上，上述解法是錯誤的，它沒有發(fā)現(xiàn)題中的隱含范圍。由韋達(dá)定理知

tana+tan廣<0,tanatan尸>0,故tana<0,且tan戶<0從而

.7C八、八.7T八、—27r

ofe(--,0),a+j8=--1.

22,故3故選A。

4'挖掘偽裝

例41、若函數(shù)/0)=1制式/—公+3)(4>0且口01),滿足對任意的*1、孫，當(dāng)

0

,2一2時，/U1）-/U2）>,則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A、（0,l）U（L3）B、（L3）

以（o,i）u（i,2布）口、a2世）

x—<-

分析：“對任意的xi、xz,當(dāng)1"―2時，■/（/）一實(shí)質(zhì)上就是“函數(shù)

x<2

單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“丁（X）有意義事實(shí)上由于g（x）=/一”+3在一萬

a>1,

時遞減，從而1以5）>°由此得a的取值范圍為°，2“）。故選D。

5、挖掘特殊化

例42、不等式,12<C12的解集是（）

A、。B、｛大于3的正整數(shù)｝C、｛4,5,6｝D、｛4,4.5,5,5.5,61

分析：四個選項(xiàng)中只有答案D含有分?jǐn)?shù)，這是何故？宜引起高度警覺，事實(shí)上，將x

值取4.5代入驗(yàn)證，不等式成立，這說明正確選項(xiàng)正是D,而無需繁瑣地解不等式。

6、挖掘修飾語

例43、在紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭勝利六十周年的集會上，兩校各派3名代表，校際間

輪流發(fā)言，對日本侵略者所犯下的滔天罪行進(jìn)行控訴，對中國人民抗日斗爭中的英勇事跡進(jìn)

行贊頌，那么不同的發(fā)言順序共有（）

A、72種B、36種C、144種D、108種

分析：去掉題中的修飾語，本題的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生所熟悉的這樣一個題目：三男三女站

成一排，男女相間而站，問有多少種站法？因而易得本題答案為22^^=72種。故選A。

1、挖掘思想

2X-X2=-

例44、方程x的正根個數(shù)為（）

A、0B、1C、2D、3

分析：本題學(xué)生很容易去分母得2,一/=2,然后解方程，不易實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

22

y=20x-x,y=—

事實(shí)上，只要利用數(shù)形結(jié)合的思想，分別畫出x的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在

第一象限沒有交點(diǎn)。故選A。

8、挖掘數(shù)據(jù)

例45、定義函數(shù)XCO,若存在常數(shù)C,對任意的司，存在唯一的與，

五）+/（叼）—c

使得2-，則稱函數(shù)“X）在D上的均值為C。己知

/（x）=lgx,xe[10,100],則函數(shù)）（x）=lgx在xe[10,100]上的均值為（）

332

A、5B、彳C、10D、10

?（勺）+-熾2）_lgOiM）_c

分析：22",從而對任意的為父10，100],存在唯一的

x2e[10,100],使得和心為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)io,100o令

“曾[10,100]

XJXJ=10x100=1000,當(dāng)Xj€[10,100]時，X]，由此得

《_lg（占心）_3

22故選A。

（四）選擇題解題的常見失誤

1、審題不慎

例46、設(shè)集合M=｛直線｝,P=｛圓｝,則集合舷口尸中的元素的個數(shù)為（）

A、0B、1C、2D、0或1或2

誤解：因?yàn)橹本€與圓的位置關(guān)系有三種，即交點(diǎn)的個數(shù)為0或1或2個，所以產(chǎn)

中的元素的個數(shù)為0或1或2。故選D。

剖析：本題的失誤是由于審題不慎引起的，誤認(rèn)為集合M,P就是直線與圓，從而錯

用直線與圓的位置關(guān)系解題。實(shí)際上，M,P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒

有公共元素。故選A。

2、忽視隱含條件

例47、若sin2x、sinx分別是sin碼cos9的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，則cos2x的值為

1+后1-屈