現(xiàn)代控制系統(tǒng)第十二版課后習(xí)題5章答案

第5章反饋控制系統(tǒng)的性能

基礎(chǔ)練習(xí)題

E5.1圖5.18所示為計算機磁盤驅(qū)動器的電機驅(qū)動定位控制系統(tǒng)，它必須能夠降低干擾信號

或參數(shù)變化對磁頭位置的影響，能夠減小磁頭定位的穩(wěn)態(tài)誤差。

(a)如果要求定位穩(wěn)態(tài)誤差為零，系統(tǒng)應(yīng)是幾型系統(tǒng)(即包含幾個純積分環(huán)節(jié))？

(b)如果輸入為斜坡信號，并要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為零，系統(tǒng)又應(yīng)是幾型系統(tǒng)？

【解析】對于零穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)輸入是階躍信號時我們需要一個積分即類型1系統(tǒng)。對于斜坡

信號，％=0系統(tǒng)應(yīng)為類型2系統(tǒng)。

E5.2發(fā)動機、車體和輪胎都能夠影響賽車的加速能力和運行速度。賽車速度控制系統(tǒng)模型如

圖E5.2所示。當(dāng)速度指令為階躍信號時，試求

(a)車速的穩(wěn)態(tài)誤差。

(b)車速的超調(diào)量P.Q。

圖E5.2賽車速度控制系統(tǒng)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

7⑺/⑸.G(s).24024。

2

I，R(s)1+G(s)(5+4)(54-6)+240s+2^a)ns+^

AA240A

穩(wěn)態(tài)誤差為紇,其中R(s)=一，K,=liijjG(s)=元二10,因此《二I。

1"■pS11

(b)閉環(huán)系統(tǒng)是具有自然頻率的二階系統(tǒng)例=歷，阻尼比為。=-7=y=().31,

2V264

因此，車速的超調(diào)量為POMIOOH/QUBG%。

E5.3為了與航空業(yè)競爭，鐵路公司一直在發(fā)展新的旅客營運系統(tǒng)，法國的TGV和日本的新

干線系統(tǒng)是其中的兩個典型代表，它們的時速都達到了160mpho磁懸浮列車Transrapid是

另外一種新型旅客營運系統(tǒng)，如圖E5.3(a)所示。

Transrapid采用了與普通列車完全不同的磁懸浮技術(shù)和電磁推進技術(shù)，在正常運行時，它不

與軌道直接接觸。在輪軌式系統(tǒng)中，列車車廂的底部是常見的輪式底盤,而在磁懸浮系統(tǒng)中，

車廂底部卻包裹著軌道，因此軌道中的磁鐵能對電磁"包鐵"產(chǎn)生吸引力，使車廂最底層的

電磁"包鐵”向上靠近軌道，從而能使列車以約1cm的間隙懸浮在軌道上方。

(a)利用表5.6,確定;曾益K的值，使系統(tǒng)稱為ITAE指標(biāo)意義下的最優(yōu)系統(tǒng)。

(b)利用圖5.8,確定系統(tǒng)對階躍輸入/(S)的超調(diào)量P.O.。

丫⑸

氣隙的寬度

小)二G(S)K

【解析】閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

/(s)1+G(s)s(s+14)+K$2+14S+K

利用表56最佳系數(shù)為/+1.4助產(chǎn)+助)我們有/+14s+K,因此，由等式系數(shù)可得

例=10,K=o：=100。阻尼比為，=：=0.7。

2①“

利用圖5.8可得超調(diào)量P.O.工5%0

E5.4某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G,(s)G(s)=

(a)確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)=y(s)/R(s)。

(b)當(dāng)輸入為階躍信號r(1)=A,/>0時，計算系統(tǒng)的時間響應(yīng))4)。

(c)利用圖5.13(a),確定階躍響應(yīng)的超調(diào)量。

(d)利用終值定理，確定)?)的穩(wěn)態(tài)值。

G(s)2(s+8)

【解析】(a)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為7(s)=

1+G(s)§2+6s+16

(b)將y(s)部分分式展開為y(s)=/2(S+8)4=S+4、

-(『+6S+16)S(SS-+6S+\6J

拉普拉斯逆變換得)?)=A[1-1.071飛仙(歷+1.21)]

(c)由閉環(huán)傳遞函數(shù)可計算得[=0.75,3.=4。因此，—=^=2.67,其中4=8。

G03

從圖5.13可得超調(diào)量為P.O.=4%。

(d)這是類型1系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng),-8時A。

E5.5考慮圖E5.5所示的反饋控制系統(tǒng)，選擇K的值，使得系統(tǒng)在階躍信號激勵下，ITAE性

能準(zhǔn)則達到最小。

受控對象

控制器

R(5)丫⑸

圖E5.5具有比例控制器G,.（S）=K的反饋控制系統(tǒng)

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為黑=齊餐，由表5.6可得最佳系數(shù)為-+L?s+a'

我們有/+4s+K,因此由等式系數(shù)得4=2.86,K=o：=8.16。

4

阻尼比為^=—=0.7o由圖5.8可得超調(diào)量為P.O.工5%o

E5.6考慮圖E5.6所示的柩圖模型。

（a）計算系統(tǒng)對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

（b）選擇增益K的合適取值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量為零，同時使響應(yīng)速度盡可能地

塊。繪制系統(tǒng)在S平面上的零-極點分布圖，討論復(fù)極點的主導(dǎo)性，并由此估計系統(tǒng)

的超調(diào)量。

圖E5.6具有位置和速度反饋的框圖模型

【解析】（a）閉環(huán)傳遞函數(shù)為T（s）=黑=——

7

'R（s）1+G"（s）/+]00K+100

H（s）=l+Ks,G（.v）=IOO/.r.

穩(wěn)態(tài)誤差為

riooi

%=!則R（s）"（s）]=陰$[—（$）]+理1-]+向；+對7

§2I）

I（）（）K

（b）由閉環(huán)傳遞函數(shù)7（s）可知@,=10,^=——^5Ko

Pde-ZofoMap

由于主導(dǎo)極點為5=-2±2.45/,阻尼比為G=0.63。超調(diào)量為

P.Q=100。』/八2=7.69%。

階躍響應(yīng)如圖所示，實際超調(diào)量為8%o

E5.9某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為L(s)=G(s)G(s)7/1\試求

e^S+yj2Kj

(a)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間(按2%準(zhǔn)則)o

(b)當(dāng)調(diào)節(jié)時間小于1s時，確定增益K的取值范圍。

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=1+提S+K，阻尼比為，=0/2,自然頻率為

8〃二瓜。因此，超調(diào)星為八0.二1006-,叱=4.3%,q-0.707。

4

調(diào)節(jié)時間為］=---=

(b)當(dāng)K>32時調(diào)節(jié)時間小于1s。

E5.io二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為r(s)=y(s)//?(s),系統(tǒng)階躍響應(yīng)的設(shè)計指標(biāo)要求為：

(1)超調(diào)量P.O.V5%。

(2)調(diào)節(jié)時間4<4$(按2%準(zhǔn)則)。

(3)峰值時間9

試確定乙的極點配置范圍，以便獲得預(yù)期的響應(yīng)特性。

療

【解析】二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(S)=2."——7,由于超調(diào)量P.O.《5%,則

5-+2^5+69；

。之0.69,由于調(diào)節(jié)時間7；<4s,則七§>1。由于峰值時間丁〃〈卜，則4/1一一>乃。

T(s)的極點配置范圍如下所示：

desired

region

E5.ll考慮圖E5.ll所示的單位負反饋系統(tǒng)，其受控對象G(S)為

6

G(5)=—~、(，坐------試求系統(tǒng)階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

&s)----*

圖E5.ll單位負反饋系統(tǒng)

【解析】系統(tǒng)為類型1,誤差常數(shù)為=8,K「=1.0,因此，階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0；

斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為1.04,其中人為斜坡輸入的幅度。

E5.12在大型博覽會和狂歡節(jié)上，F(xiàn)erris轉(zhuǎn)輪是大家熟悉的娛樂節(jié)目。這種轉(zhuǎn)輪的發(fā)明人是

GerogeFerris,他于1859年出生在伊利諾斯州的蓋爾斯堡，后來搬到內(nèi)華達州。Fenis先生

于1881年畢業(yè)于倫斯勒理工學(xué)院。到1891年，他在鋼鐵和橋梁建筑等方面已積累了相當(dāng)

豐富的經(jīng)驗，由此構(gòu)思建造了著名的Ferris轉(zhuǎn)輪，并于1893年在芝加哥哥倫比亞博覽會上

首次公開展出。為了不使游客受到驚嚇，F(xiàn)erris轉(zhuǎn)輪的速度穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在預(yù)期速度的

5%以內(nèi)。速度控制系統(tǒng)如圖E5.12所示。

(a)試選擇增益K的合適取值，以滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時的速度要求。

(b)利用(a)中確定的增益K,計算由于單位階躍干擾信號4($)=1/5導(dǎo)致的響應(yīng)誤

差e(/),并繪制誤差曲線，確定速度的變化是否超過了5機為便于計算，令R(s)=0,

并請留意E(s)=R(s)-T(s)］。

干擾信號

Rs)

Rs)r(5)

預(yù)期轉(zhuǎn)速實際轉(zhuǎn)速

圖E5.12Ferris轉(zhuǎn)輪的速度控制系統(tǒng)

,.品/、R(s)(s+9)(s+2)(s+4)

解析(a跟蹤誤差為E(s)=「—=7—焉一多—J―右R(s)

'7l+G,G(s)(s+9)(s+2)(s+4)+K(s+6)

i72

H(s)=-時穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為lirn5E(5)=正去°

要使％<0.05,則K>228。

(b)干擾的跟蹤誤差為

購=途/卜西諾森備西網(wǎng))

誤差曲線如下：

。01

2

。0

。03

d

p

n

s0^4

d

E

a

0

0S

^

。6

0

Q7

0.08

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

Time(secs)

E5.13重新考慮圖E5,ll所示的單位負反饋系統(tǒng)，令其受控對象G（s）為

G（s）=一^——試確定系統(tǒng)對階躍輸入和斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

'752+145+50

【解析】系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，誤差常數(shù)為K〃=o.4,4,=0。斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為8,階

躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為4二—^―=0.71o

1+勺

E5.14考慮圖E5.14所示的反饋系統(tǒng)。

（a）當(dāng)K=0.4,Gp（s）=l時，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

（b）選擇合適的G〃（s）,使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)杰誤差為零“

R(s)Y(s)

圖E5.14反饋系統(tǒng)

【解析】（a）跟蹤誤差為￡（S）=［1—T（S）［R（S）。R（s）=g時穩(wěn)態(tài)誤差為

6$,=吧$口-?。?耶。）=理［1-7（$）］=1-7（。）

閉環(huán)傳遞函數(shù)為『（$）=而就熱研，丁⑼為血

因此4,=1-7(0)=0.967。

(b)G，(s)=3(),則

%=li聯(lián)[1-7(5)6,,($)]/?(5)=1-州丁($)5(5)=1-307(0)=0。

E5.15某閉環(huán)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)r(s)為42=r($)=------三2-------r試

分別使用以下兩種方法，計算系統(tǒng)對單位階躍輸入R(s)=l/s的時間響應(yīng))4),并繪制響應(yīng)

曲線，對計算結(jié)果進行比較。

(a)利用實際的傳遞函數(shù)T(s)。

(b)利用主導(dǎo)復(fù)極點近似方法。

【解析】y(f)的曲線如下：

利用主導(dǎo)極點近似閉環(huán)傳遞函數(shù)為Ta(5)=4]05+50

5()0

實際的傳遞函數(shù)為T(S)=---------------ro

'7(5+10)(52+105+50)

E5.16某二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為4?=T(5)=<1°?其中,1<zv8。當(dāng)z分

/?(5)(s+l)(s+8)

別取值2,4和6時，求T(S)的部分分式展開形式，并分別繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線]?)。

.呸“，+業(yè)”—.25

【解析】部分分式展開為y(/)=

7z56乙

2=2,4,6時)，(，)的曲線如下：

E5.17某閉環(huán)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)7(s)有1對共瓢的主導(dǎo)復(fù)極點。試根據(jù)下列各組設(shè)

計指標(biāo)要求，在$左半平面上分別勾繪制主導(dǎo)復(fù)極點的配置區(qū)域。

(a)0.6=40.8,3“W10

(b)0.547Ko.707,0,210

(C)7N0.5,5W10

(d)<0.707,5<6^,r<10

(e)<>0.6,^?<6o

【解析】

(c)0.5<zand5Vwn<10

fo*potri

E5.18考慮圖E5.18(a)所示的反饋系統(tǒng)，當(dāng)K=1時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖E5.17

(b)所示。試確定K的合適取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

我⑸

【解析】輸出為Y(s)=T(s)"(s)=KE(s),當(dāng)K=1時穩(wěn)態(tài)誤差為@=0.2,

I+G(s)

則lim5y(s)=0.8。

sf0

由于希望@=0,則lim$y(s)=l,即0.8K=l,因此K=1.25。

E519某二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為了⑸二曙二42七；二八3；75“7

(a)試根據(jù)傳遞函數(shù)估算系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)R(s)=l/s的超調(diào)量P.O.、峰值時間)和調(diào)

節(jié)時間(7；按2%準(zhǔn)則)。

(b)計算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，并以此對(a)的結(jié)果進行驗證。

【解析】(a)特征方程為/=240$+0；=52+3.17$+7=0,可得?=療=2.65,

3174

q==0.6°因此招調(diào)量和調(diào)節(jié)時間為P.O.=100e=9.53%，=——=25s.

2例皿

(b)單位階躍響應(yīng)如下:

StepResponse

5”3nM

Peakampiftude:1.1

Ovenhoof刖:9.53

Attime(seel：1.47

p5

￡n

ud

YJ

Time(sec)

E5.20考慮圖E5.20所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其中G,(s)G(s)=不出一，”($)二(

s"I"03s

(a)試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)=y(s)/R(s)。

(b)當(dāng)輸入為單位斜坡信號，即R(s)=l//時，試求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(c)選擇K“的合適取值，使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)R(s)=l/s的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

圖E5.20非單位閉環(huán)反饋系統(tǒng)(反饋回路增益為K0)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為r(s)=,+/s+K，阻尼比為。=弓，固有頻率為

5=瓜。因此，超調(diào)量為P.0.=100"^7=4.3%,G=0.7()7。調(diào)節(jié)時間為

(b)當(dāng)K>32時，調(diào)節(jié)時間小于Is.

一般習(xí)題

P5.1電視攝像中的一個重要問題是攝像機的移動會造成畫面的跳躍或晃動。在運動的車輛

和飛機上進行拍攝時，就會出現(xiàn)這個問題。為了降低這種不利影響，人們發(fā)明了圖P5.1(a)

所示的Dynalens系統(tǒng)。若攝像機拍攝時允許的最大掃描速度是25°/s、&=(=且

“可以忽略不計，

(a)試求系統(tǒng)的誤差E(s)。

(b)試確定開環(huán)增益的合適取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為l°/5o

(c)若電機的時間常數(shù)為0.40s,試確定開環(huán)增益儲的合適取值，使輸出匕，的調(diào)

節(jié)時間不大于0.03s(按2%準(zhǔn)則)。

%■

攝像

機

的輸

入

角速

度

速度計

i2s1,1sec

【解析】⑶系統(tǒng)誤差為E(s)=———R(s).其中R(s)=^^o故

j十八4八,"S

SQ+1

盛e(f)=l盤sE(s)=7T

25,

(b)若使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差「/see,則'“/sec,K(iKin>24o

1+

匕(s)一KMn

(c)閉環(huán)傳遞函數(shù)為7($)=

匕⑸Si+l+K,Kn

AKK（-（K，，3八T+K“K“）

階躍響應(yīng)（匕（Z）=A）為以:;:\~e%,所以1-e%>0.98,

1+K￡”

\/

其中々=0.4。

，=0.03時（（,252。

P5.2要求設(shè)計一個閉環(huán)控制系統(tǒng)，使系統(tǒng)對階躍輸入的響應(yīng)具有欠阻尼特性，且滿足下面的

設(shè)計要求：超調(diào)量P.O.在10%到20%之間；調(diào)節(jié)時間小于0.6s,那么

（a）試確定系統(tǒng)主導(dǎo)極點的配置區(qū)域。

（b）如果希望系統(tǒng)的共輾復(fù)極點為主導(dǎo)極點，試確定第三個實極點々的最小值。

（c）如果希望系統(tǒng)是三階單位負反饋系統(tǒng),按2%準(zhǔn)則的調(diào)節(jié)時間為0.6s,超調(diào)量為20機

試求系統(tǒng)的前向通路傳遞函數(shù)G（S）=X（5）/E（V）。

4o

【解析】（a）調(diào)節(jié)時間7；=—<0.6則四>6.67。P.0.<20%則q<0.45，即。<63。

眄

RQ>10%則G〉（）.6O即。>53°,COS6=G。極點的配置區(qū)域如下：

S=-6.671

（b）第三個根在左半平面上至少要遠10倍，故同之10卜㈤=66.7。

（c）選擇第三極點4二一66.7。當(dāng)。=0.45,/?”=6.67時q=14.8。所以閉環(huán)傳遞函數(shù)

66.7(219.7)

為7(s)=,其中選擇增益K=（66.7）（219.7）,階躍輸入的

(s+66.7)(/+i3.3s+219.7)

,/、G（s）/、T（s）

穩(wěn)態(tài)誤差為零。則7⑸=]+'；）,即G（s）=匚咕。

P5.3如圖P5.3(a)所示，激光束可以用來對金屬進行焊接、鉆孔、蝕刻、切割、標(biāo)記等操

作。激光束閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖P5.3(b)所示，若要求在工件上標(biāo)記拋物線，即激光束的運

動軌跡為r?)=/cm,試選擇增益K的合適取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為5mm。

【解析】輸入=穩(wěn)態(tài)誤差為

要使％W0.5cm,則K22。

K

P5.4某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(見圖E5.ll)為L(S)=G,(S)G(S)=7—大對

s+2

系統(tǒng)階躍響應(yīng)的設(shè)計指標(biāo)要求為：峰值時間q二l1s,超調(diào)量PQ.二5機

(a)判斷系統(tǒng)能否同時滿足這兩個指標(biāo)的設(shè)計要求。

(b)如果不能同時滿足上述要求.按相同的比例放寬設(shè)計要求后,試折中選擇增益K的

取值，使系統(tǒng)能夠同時滿足設(shè)計指標(biāo)要求。

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為——.因此

(a)7(s)=[G[9\=,f=,可；7

''1+G(s)s-+2s+KS~+2G&S+怒

①〃=,G=1/例=\/y/Ko超調(diào)量為5弱即G=1/五，①“=叵。

峰值時間為9=力=3.15,然而期望的峰值時間為[=Lis,所以不能同時滿足這兩個

指標(biāo)的設(shè)計要求。

(b)令9=1.必，P.O.=0.05A,其中△為待確定的松弛系數(shù)。由于K=叱，胭；=1故

G=表。因此尸.0.="%/加了=。-"/囚

/=1.1A°

根據(jù)前面兩個方程可得P.O.=0.05A=e-,JA，求解△得/(△)=In△+In(0.05)+1.1A=0。

/(△)與△的曲線如下:

可以得到△=2.07時/(A)=0,因此P.Q=0.05A=10%,7；,=1.1A=2.3seco

因此如果將其放寬約2倍即A=2.07時可滿足設(shè)計要求。

P5.5太空望遠鏡將被發(fā)生到太空中去執(zhí)行天文觀測任務(wù)，它的定向控制系統(tǒng)的精度可以達

到0.01弧分，跟蹤太陽的速度可以達到0.21弧分/秒。太空望遠鏡如圖P5.5(a)所示，其

定向控制系統(tǒng)的框圖如圖P5.5(b)所示。令盯=is,r2=OS(近似值)。

(a)確定增益K="號的合適取值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量小于5眼并保持適當(dāng)?shù)?/p>

響應(yīng)速度，

(b)確定系統(tǒng)階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(c)當(dāng)輸入分別為階躍信號和斜坡信號，確定K"?的取值，使系統(tǒng)稱為ITAE指標(biāo)意義

下的最優(yōu)系統(tǒng)。

Rs)

輸入!

(b)

圖P5.5(a)太空望遠鏡(b)太空望遠鏡定向控制系統(tǒng)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=1-v——1—o超調(diào)量小于5%即G20.69,故

+&K2s+&K?

選擇G=0.69o

令2G?=K匹，*=則a=2(0.69)例；解得q=0.38。因此成=%(=1.9。

當(dāng)%長221.9時,20.69。

(b)我們有一個2型系統(tǒng)，故階躍和斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差都為零。

(c)對于階躍輸入，最佳ITAE特征方程為s2+|.4qs+式=0；對于斜坡輸入，最佳ITAE

特征方程為+3.29,s+=0。因此5勺=公=3.20，故”=3.2,&(=1().240

P5.6對機器人進行程序控制，可使工具或焊接頭沿設(shè)想的路徑運行。若工具的預(yù)期路徑為圖

75(s+l)

P5.6(a)所示的鋸齒波，圖P5.6(b)所示的閉環(huán)系統(tǒng)的受控對象為G(s)=

s(s+5)(s+25)

試計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

0(5)>Y(s)

運動路徑

圖P5.6機器人路徑控制

/X.75(s+l)]75

【解析】斜坡輸入《，)=，故降=lim$G(s)=lims——\、=—=0.6,

'I)')sf。s(s+5)(s+25)125

\R\1

=□=—=1.670

K、0.6

P5.7如圖P5.7(a)所示，1984年2月7日，宇航員BruceMcCandlessII利用手持的噴氣

推進裝置，完成了人類歷史上的首次太空行走。宇航員機動控制系統(tǒng)的框圖如圖P5.7(b)

所示，其中手持式噴氣推進控制器可以用增益&表示，宇航員及自身裝備的整體轉(zhuǎn)動慣量

為25kg-nro

(a)當(dāng)輸入為斜坡信號「(/)=/(單位為m)時，試確定增益小的合適取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)

態(tài)誤差小于1cmo

(b)沿用(a)中確定的增益號，試確定的取值,使系統(tǒng)的超調(diào)量小干10機

(c)試用解析方法確定增益K、勺的合適取值，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的ISE指標(biāo)最小。

航天員位置

(單位為m)

圖P5.7控制系統(tǒng)的框圖

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為小)=/,八空；K：s+K得'斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為

e=limsE（s）=lim.vfl-7'（5））/C（.v）=-7⑴）］=lim—；-2K、--

由于期望％=0.01m,故E=0.01。

(b)對于超調(diào)量P.Q=10%,有G=0.6,2眄=。絲A,①：二哈。因此解得

匕a=36x10、

P5.8太陽能電池板產(chǎn)生的直流電，既可以直接用于驅(qū)動直流電機，也可以轉(zhuǎn)換成交流電輸入

電網(wǎng)使用。一天中，太陽的照射強度總是在不斷地變化，但我們希望太陽能電池板能始終對

準(zhǔn)太陽，以獲得最大的可用輸出功率。圖P5.8所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)這一功能，其

受控對象的傳遞函數(shù)為G(s)=*^其中，K=20。試求：

(a)閉環(huán)系統(tǒng)的時間常數(shù)。

(b)當(dāng)存在單位階躍干擾時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間(按2%準(zhǔn)則)。

干擾信號

最大功率變化P($)

曲線的斜率輸出功率

圖P5.8太陽能板控制系統(tǒng)

【解析】⑶閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(上需\+島

,因此，閉環(huán)

系統(tǒng)的時間常數(shù)為，=1/40*ec。

⑹從刀⑸到尸⑸的峙遞函數(shù)為罌=西瑞市=湍。

單位階躍擾動的

響應(yīng)為〃(/)=_3(1_6網(wǎng)’)。

〃(。=0.98/乙=-0.49.因此解得調(diào)節(jié)時間為7；=0.098sec。

P5.9圖P5.9所示的地面天線能夠接收和發(fā)送Telstar通信衛(wèi)星的信號，它是目前最大的崎角

形天線。該微波天線長1"英尺，重達340噸，并且可以沿底座上的圓形軌道做全方位旋

轉(zhuǎn)。而Telstar通信衛(wèi)星的直徑為34英寸，運行速度為16000千米/小時，運行高度為2500

英里。由于跟蹤距離長達數(shù)千千米，微波波束將要承受高度衰減，因此天線的波束寬度不能

太寬，只有0.2,而天線的定向精度必須達到0.1二試確定居的取值范圍，使天線能正常

跟蹤衛(wèi)星運動。

【解析】跟蹤速度。=:=^^=1.78、10一3陽

期望的穩(wěn)態(tài)誤差4<—degree=0.1754xl(F2rad,因此%=」,

10K

i78x10-3

^=----7=1.02,假定系統(tǒng)為類型1系統(tǒng)。

0.1754x10

P5.10在電樞控制式直流電機的速度控制系統(tǒng)中，反饋信號為電機的反電動勢電壓。

(a)試繪制系統(tǒng)的框圖模型[見式(2.69)]o

(b)當(dāng)輸入為階躍指令(即調(diào)整電機轉(zhuǎn)速)時，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；假定

Rt=La=J=b=\,電機常數(shù)為Km=1和=】。

(c)試選擇合適的反饋放大器增益，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量不超過15%o

【解析】(a)框圖模型如下：

,、)?、

(b)閉環(huán)傳遞函數(shù)為7=a(s)K限G(」s)/\，其中Gs=/p/K'％廣、因

穴⑸1+KKQ(s)((+Las)(Js+b)

此丁(S)二2J其中&=La=J=b=Ka=K,n=l。

S+ZS+1+A

穩(wěn)態(tài)誤差為

“則R(s)/s))=理-夫卜捻

(c)超調(diào)量為15%時9=0.5。由特征多項式有2Gq=2,colt=>JUK,解得4=2,

K=3。

P5.ll某單位反饋控制系統(tǒng)的前向通路傳遞函數(shù)為”=G(s)=4系統(tǒng)的輸入是幅值為

川)

4的階躍信號，系統(tǒng)在〃時刻的初始狀態(tài)是丁代))=。，其中)4)為系統(tǒng)的輸出。性能指

標(biāo)定義為/=,"(，)加

(a)試證明，/=(A-Q)7(2K)。

(b)試選擇增益K的合適取值，使性能指標(biāo)/最小，并分析該增益值是否符合實際。

(c)選擇符合實際的增益值，并計算此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(5)=需=3兄，由初始條件，微分方程為

/⑺+Ky(Z)=KR)。拉普拉斯變換可得sy(s)-y(fo)+Ky(s)=K一,其中

\^/

y"o)=Q。拉普拉斯逆變換Z/{y(s)}可得y(/)=A(l-e-K')+Q?F'

跟蹤誤差為e(，)=A—)?)="K'(A—Q)。因此，性能指標(biāo)為

/=J：(A-Q)/a=(A-研看卜卻

(b)當(dāng)K=8時，性能指標(biāo)最小。

(c)將K設(shè)置為允許的最大值，使得過程不會飽和。例如，如果K=50,則/二(：；),。

P5.12隨著火車的不斷提速，在中心城市之間旅行M,乘坐火車和飛機所花費時間將相差無

幾，因此將有更多的人選擇乘坐火車旅行。日本國立鐵路公司在東京和大阪之間的Tokaid。

線上，開行了名為“子彈快車”的城際列車，運行320英里只需3小時10分鐘，平均時速

達到了101英里/小時(mph)o如果采用新的軌道運輸系統(tǒng)，如磁懸浮列車系統(tǒng)等，火車速

度還會增加。為了保持火車運行的預(yù)期速度，需要設(shè)計車速控制系統(tǒng)，以使火車車速對斜坡

輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。用三階模型足以描述整個系統(tǒng)，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)7(5),

使其成為ITAE指標(biāo)意義下的最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)；當(dāng)5=1()時，估計系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間(按

2%準(zhǔn)則)和超調(diào)量。

【解析】斜坡輸入的最佳皿傳遞函數(shù)為《)二岳祥馬

斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為％=0。當(dāng)q=10時，階躍輸入的響應(yīng)如圖所示。超調(diào)量為

P.O.=39%,調(diào)節(jié)時間為7；=0.72s.

P5.13常常希望利用低階模型來近似四階系統(tǒng)。若某四階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

/+7/+24$+24_S、7S2+24S+24

G〃($)=試驗證，若采用5.8節(jié)

/+10$3+35/+50$+24(s+1)(s+2)(s+3)(.v+4)

的方法來取二階近似模型，且不事先指定二階模型G/s）的零點和極點，則二階近似系統(tǒng)

0.731(5+3.428)

的傳遞函數(shù)G/s）應(yīng)為Gjs）=0.29175+1

0.399./+1.375s+1(s+1.043)($+2.4)

【解析】實際系統(tǒng)和近似系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖所示，可以看出，幾乎相同。

P5.14繼續(xù)考察習(xí)題P5.13給出的四階系統(tǒng)。若將二階近似系統(tǒng)5（S）的極點指定為-1和

-2,且近似系統(tǒng)G/s)還存在一個未定零點，試驗證，二階近似系統(tǒng)的傳遞函數(shù)應(yīng)該為

G0.9865+2_0.986(5+2.028)

，㈤-7+35+2-(s+l)(s+2)

【解析"(s)=2(；?在消除相同因素后可得妙?女?。貉?2：

7

'(s+l)(s+2)L(s)(5+3)(5+4)2(C15+1)

2

因此例($)=/+7/+245+24,A(.y)=2[crf+(7C,+1)5+(12C,+7)5+12]o

根據(jù)5.10節(jié)概述的程序，可得M°(0)=24,M1(0)=24,M2(O)=14,M3(0)=6,

0123

A(0)=24,A(0)=(12^4-7)2,A(0)=2(2-(7c1+1)),A(0)=12c,o

對于q=l：M2=240,4=4。44c；+25],由4=%解得9=0493,故

2(0.493s+1)0.986s+20.986(s+2.028)

⑸一(771)(7+2)=r+35+2-(s+l)(s+2)°

P5.15考慮某單位反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

L(s)=G(s)G(s)=——~試確定增益K的取值，使得系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的

I'…'(s+4乂$2+S+10)

超調(diào)量最小。

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(§)=?——、/、~~-——

'7(5+4)(52+5+10)+/C(5+l)

作為增益K的函數(shù)的超調(diào)量如圖所示?？梢钥闯?，隨著增益的增加，超調(diào)量減小，最小值約

為85玳增益越大，超調(diào)量越小。當(dāng)增益Ka250時，超調(diào)量達到最小值。

P5.16將低輸出阻抗的磁放大器與低通濾波器及前置放大器串聯(lián)，所構(gòu)成的反饋放大器如圖

P5.16所示，其中前置放大器具有較高的輸入阻抗，增益為L其作用是對輸入的信號進行

累加。試選擇電容C的合適取值，使傳遞函數(shù)匕(s)/匕(s)的阻尼系數(shù)為1/也o若磁放大

也=________12______=，其中蘇=11L=7+1

以⑸(s+l)S+1)+102("rV22叫

JII]?+I

「2—20丁+1=0解得匯=19.95或0.05。

對于匯=19.95=50。解得C=0.399尸;對于匯=0.05=50。解得。=11演,

P5.17心臟電子起搏器可以用于調(diào)節(jié)患者的心率。圖P5.17提供了一種電子起搏器系統(tǒng)的閉

環(huán)設(shè)計方案，它包括起搏器和心率測量儀。其中，心臟和起搏器的傳遞函數(shù)為

C(5)=4V^1)

(a)試確定K的取值范圍，使系統(tǒng)對單位階躍干擾的調(diào)節(jié)時間不超過1s,且當(dāng)心率的預(yù)

期輸入為階躍信號時，系統(tǒng)的超調(diào)量不超過10%o

(b)當(dāng)增益K的標(biāo)稱值K=10時，試求系統(tǒng)對K的靈敏度。

(c)當(dāng)s=0時，在(b)的基礎(chǔ)上，計算系統(tǒng)對K的靈敏度的值。

(d)當(dāng)預(yù)期的標(biāo)準(zhǔn)心率為60次/分時，計算系統(tǒng)對K的靈敏度的幅值。

Td(s)

預(yù)期心率——實際心率

圖P5.17心臟起搏器系統(tǒng)

\2K

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=ho,要使超調(diào)量P.O<10%則

R(s)/+12s+l2K

G>0.59。根據(jù)特征方程可得=12K,=6。通過2(0.59)J12^=12解得K=8.6。

故，區(qū)間0<K<8.6中的任何值都是有效的。調(diào)節(jié)時間為(=4/Gq=4/6s滿足要求。注

意，(不是K的函數(shù)0

(b)靈敏度為鼠(s)=2,"：：?其中K=10。

')1+G(s)?+125+120

(c)s=0時靈敏度為S；；(0)=0。

(d)在這種情況下，s=J2乃」=/2不，故靈敏度為博(，2刈=噂甯=0.77。

P5.18考慮例5.9所示的三階系統(tǒng)，試用一階模型來近似三階系統(tǒng)，而且要求該一階模型沒

有零點，只有1個極點。

【解析】選擇〃s)=—則”?=3，罕+?因此M(s)=6as+6,

as+\s+6s~+lls+6

2

M°(O)=6,"⑼=6a,M(0)=0O

32

A(5)=5+6?4-115+6,A°(O)=6,"(0)=11,A(0)=12O

2

所以，計算％和Af2=36?,A2=490

1AQC7

令股2=4。，即36a2=49,解得a=1.167。因此L(s)=---------=——一

1?1675+1s+0.857

P5.19考慮某單位負反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

Z(S)=G,(S)G(S)=3(『+"⑵

(a)試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)7(5)o

(b)求取7(s)的二階近似系統(tǒng)。

(c)繪制原系統(tǒng)T(s)和二階近似系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并加以比較。

Q

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=§3+6/+12，+8°

(b)二階近似系統(tǒng)為L(s)=J--t其中4和4使用DorfBishop中第5.10節(jié)的

d2s+4s+1

方法確定。對于〃(，)=84d+845+8，A(5)=?+652+125+8,可以確定

M2=-1284+64〃：，/%=64片，A2=48,A4=18O

令”2=4，%=△「求解得&=1.35,d2=().53o因此，二階近似系統(tǒng)為

L(s)=----;-------o

'7().53?+1.355+1

(c)原系統(tǒng)7($)和二階近似系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如下：

Time(sec)

P5.20考慮圖P5.20所示的反饋系統(tǒng)，

(a)確定系統(tǒng)對單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差E(s)=H(s)-Y(s)，其中K和3為可變參

數(shù)。

(b)選擇3的取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零.

K

R(s)>y(s)

(s+5)(s+lD

圖P5.20帶有前置增益&的反饋系統(tǒng)

(s+5)