高一立體幾何試題及答案

高一立體幾何試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列各組中，不是空間四邊形相鄰的棱的是（）

A.AB與BC，BC與CD，CD與DA

B.AB與BC，BC與CD，CD與DB

C.AB與BC，BC與CD，DA與DB

D.AB與BC，BC與CD，DA與DB

2.在直角坐標(biāo)系中，點A（0，2，0），B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，0），下列命題正確的是（）

A.AB垂直于平面BDC

B.AC垂直于平面BDC

C.AD垂直于平面BDC

D.BC垂直于平面BDC

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，則B1D1=（）

A.2√2

B.2

C.2√3

D.3

4.正方體ABCD-A1B1C1D1中，若AB=2，則對角線AC的長度是（）

A.2√2

B.2

C.2√3

D.3

5.若四面體A-BCD中，AB=AC=AD=2，BC=BD=CD=√3，則該四面體的體積是（）

A.√3

B.√2

C.√6

D.√12

二、填空題（每題5分，共25分）

6.正方體的對角線互相垂直的夾角是_________。

7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，則AB1的長度是_________。

8.四面體ABCD中，若AB=BC=CD=2，且AC⊥BC，AD⊥BD，則四面體的體積是_________。

9.若正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，則對角線AC的長度是_________。

10.若四面體ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=BD=CD=√3，則該四面體的表面積是_________。

三、解答題（每題10分，共30分）

11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求證：平面A1B1C1D1垂直于平面ABCD。

12.已知正四面體ABCD的棱長為a，求證：平面ABC垂直于平面ADD1。

13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求證：對角線AC與對角線BD互相垂直。

四、解答題（每題10分，共30分）

14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求點A1到平面ABCD的距離。

15.在正四面體ABCD中，AB=AC=AD=BC=CD=BD，求四面體的高。

16.若正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求證：平面A1B1C1D1與平面ABCD所成的二面角的余弦值為√2/2。

五、證明題（每題10分，共20分）

17.證明：若平面α平行于平面β，且平面α與直線l相交，則直線l垂直于平面β。

18.證明：若直線a垂直于平面α，直線b垂直于平面α，且直線a與直線b相交于點O，則點O在平面α內(nèi)。

六、綜合題（每題15分，共30分）

19.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，求證：對角線AC與對角線B1D1互相垂直。

20.已知四面體ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=BD=CD=√3，且AC⊥BD，求四面體ABCD的體積。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B?？臻g四邊形的相鄰棱是指相鄰兩條棱，所以選項B中的AB與BC，BC與CD，CD與DB都是相鄰的棱。

2.A。點A到點B的距離是2，到點C的距離是2，到點D的距離是2，說明點A在平面BDC上，因此AB垂直于平面BDC。

3.A。正方體的對角線長度等于棱長的√3倍，所以B1D1=2√3。

4.A。對角線AC的長度等于棱長的√2倍，所以AC=2√2。

5.C。四面體的體積V=1/3×底面積×高，底面積為√3，高為2，所以V=√6。

二、填空題答案及解析：

6.90°。正方體的對角線互相垂直，所以夾角是90°。

7.2√2。AB1是正方體的空間對角線，長度等于棱長的√2倍，所以AB1=2√2。

8.√6/3。四面體的體積V=1/3×底面積×高，底面積為√3，高為2，所以V=√6/3。

9.2√2。對角線AC的長度等于棱長的√2倍，所以AC=2√2。

10.6√3。四面體的表面積S=4×底面積，底面積為√3，所以S=6√3。

三、解答題答案及解析：

11.證明：連接A1C1，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AC1是正方體的對角線，AC1垂直于平面ABCD。又因為ABCD是正方體的底面，所以AC1垂直于ABCD。同理，A1C1垂直于平面ABCD。由于AC1與A1C1都在平面A1B1C1D1上，所以平面A1B1C1D1垂直于平面ABCD。

12.證明：連接AC和AD，因為ABCD是正四面體，所以AC=AD。由于AC=AD，所以AC垂直于BD。同理，AD垂直于BC。又因為AC和AD都在平面ABC上，所以平面ABC垂直于平面ADD1。

13.證明：連接AC和BD，因為ABCD是正方體，所以AC垂直于BD。同理，AC垂直于BC，BD垂直于BC。由于AC和BD都在平面ABCD上，所以對角線AC與對角線BD互相垂直。

四、解答題答案及解析：

14.解答：連接A1B1，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AB1垂直于平面ABCD。又因為AB1與A1B1在平面A1B1C1D1上，所以A1B1垂直于平面ABCD。由于AB1=2，所以A1B1到平面ABCD的距離等于AB1的長度，即2。

15.解答：連接AD，因為ABCD是正四面體，所以AD垂直于BC。同理，AD垂直于CD。由于AD垂直于BC和CD，所以AD垂直于平面BCD。又因為AD=2，所以四面體ABCD的高等于AD的長度，即2。

16.證明：連接A1B1，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AB1垂直于平面ABCD。又因為AB1與A1B1在平面A1B1C1D1上，所以A1B1垂直于平面ABCD。由于AB1=2，所以A1B1到平面ABCD的距離等于AB1的長度，即2。同理，A1C1到平面ABCD的距離也是2。所以平面A1B1C1D1與平面ABCD所成的二面角的余弦值為2/2√2=√2/2。

五、證明題答案及解析：

17.證明：由于平面α平行于平面β，所以它們的法線向量相同或相反。設(shè)平面α的法線向量為n，直線l的方向向量為m，則n·m=0。又因為平面α與直線l相交，所以存在一點P在直線l上，且P在平面α上。設(shè)P到平面β的距離為d，則d=n·P。由于n·m=0，所以d=0，即點P在平面β上。因此，直線l垂直于平面β。

18.證明：由于直線a垂直于平面α，所以a的方向向量與平面α的法線向量垂直。設(shè)直線a的方向向量為m，平面α的法線向量為n，則m·n=0。同理，直線b的方向向量與平面α的法線向量垂直。設(shè)直線b的方向向量為m'，則m'·n=0。由于m·n=0且m'·n=0，所以m和m'垂直。又因為直線a和直線b相交于點O，所以點O在直線a和直線b上。因此，點O在平面α內(nèi)。

六、綜合題答案及解析：

19.解答：連接A1D1，因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以A1D1垂直于平面ABCD。又因為AC與A1D1都在平面A1B1C1D1上，所以AC垂直于平面ABCD。同理，BD垂直于平面ABCD。由于AC和BD都在