山西大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析

高三年級數(shù)學(xué)模擬試題評分細(xì)則一、單選題1.設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，而陰影部分表示的集合是，則圖中陰影部分表示的集合是，故B正確.故選：B2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，∴.故選：B.3.已知向量，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】∵向量，，，∴，∵，∴，即得，解得，故選：C．4.已知函數(shù)為奇函數(shù)且，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)且，則，解得，于是，所以.故選：A5.已知拋物線的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5，則的最大值為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義，可得，數(shù)形結(jié)合可得，得解.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，的橫坐標(biāo)分別為，，則，拋物線的準(zhǔn)線為，則，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時取等號）如圖所示，即的最大值為12.故選：A.6.某廠生產(chǎn)一批圓臺形臺燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺兩個底面半徑之比為，高為16cm，母線長為20cm，如果要對100個這樣的臺燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100克涂料，則共需涂料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】C【解析】【分析】先求圓臺的底面半徑，計(jì)算圓臺的側(cè)面積，即可得到答案.【詳解】作圓臺的軸截面如圖：梯形為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為、，再取中點(diǎn)，連接，則中，因?yàn)?，所以，，所?所以所以燈罩的側(cè)面積為：.所以100個燈罩的外表面面積為：.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故選：C7.若數(shù)列滿足，則一定等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】證明，求出數(shù)列的周期即可求解.【詳解】由得，所以，于是數(shù)列的周期為4，所以故選：D.8.若函數(shù)，滿足．若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，則或，若，由零點(diǎn)存在性定理；若，而，則，由零點(diǎn)存在性定理，綜上所述，則C一定正確.故選：C二、多選題9.下圖為2024年中國大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是（）A.超過的大學(xué)生更愛使用購物類APPB.超過半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要C.使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是D.APP使用目的中6個占比數(shù)字的分位數(shù)是【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項(xiàng)D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購物類APP占比為，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為，所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個占比數(shù)字從小排到大分別為，又，所以分位數(shù)是，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.10.在正方體中，點(diǎn)為棱中點(diǎn)，則（）A.過有且只有一條直線與直線和都相交B.過有且只有一條直線與直線和都垂直C.過有且只有一個平面與直線和都平行D.過有且只有一個平面與直線和所成角相等【答案】ABC【解析】【分析】選項(xiàng)A，由題意滿足條件的直線是平面與平面的交線，選項(xiàng)B，由線線平行的性質(zhì)結(jié)合異面直線成角的概念可判斷；從而可判斷；選項(xiàng)C，由線面平行的判定定理可判斷；選項(xiàng)D，利用空間向量法可判斷.【詳解】如下圖所示：對于A選項(xiàng)，過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，過點(diǎn)與直線相交的直線必在平面內(nèi)，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，則，若，則平面，顯然滿足條件的直線唯一，即，B正確；對于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證平面，所以過有且只有一個平面與直線和都平行，C正確；對于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)滿足題設(shè)條件的平面的法向量為，其中，由題意可得，可得，即，所以，以或?yàn)榉ㄏ蛄壳疫^點(diǎn)的平面均滿足題意，故過有無數(shù)個平面與直線和所成角相等，D錯.故選：ABC11.已知，記為集合中元素的個數(shù)，為集合中的最小元素．若非空數(shù)集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個數(shù)，下列說法中正確的是（）A.B.將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集C.若為階完美集，且，滿足條件的集合的個數(shù)為D.若為階完美集，且，滿足條件的集合的個數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】通過對不同階數(shù)完美集的子集情況進(jìn)行分析來確定集合個數(shù)，同時依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性.【詳解】當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個元素子集時，.根據(jù)“n階完美集”的定義，中大于等于的數(shù)有、、、共個，所以此時可以是、、、.

當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數(shù)有、、共個，所以此時可以是、、.

當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數(shù)有、共個，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個元素的子集不滿足.

同理，中含個元素的子集也不滿足.

綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.

若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個數(shù)不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個“階完美集”，故B正確.

若，滿足條件的集合的個數(shù)為7，而,C錯誤；對于滿足“階完美集”的所有，不屬于所有，可視為退化為“階完美集”的情況，總個數(shù)為.

又因?yàn)?，所以滿足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個元素的情形（排除個單元素集合），因此滿足條件的集合的個數(shù)均為，D正確.

故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型，關(guān)鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識，再借助舊知解題即可.三、填空題12.在多項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為32，則______.【答案】【解析】【分析】首先展開得，再分別計(jì)算兩部分含的系數(shù)，即可求解.【詳解】，中含的系數(shù)為，中含的系數(shù)為，所以中的系數(shù)為，所以，得故答案為：13.落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米．【答案】【解析】【分析】設(shè)，表示出，利用結(jié)合余弦定理列方程求解.【詳解】設(shè)，則.由得，由余弦定理得，解得，即OP為米．故答案為：.14.如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的縱軸繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后，構(gòu)成一個斜坐標(biāo)平面.在此斜坐標(biāo)平面中，點(diǎn)的坐標(biāo)定義如下：過點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平分線，分別交兩軸于兩點(diǎn)，則在軸上表示的數(shù)為，在軸上表示的數(shù)為.那么以原點(diǎn)為圓心的單位圓在此斜坐標(biāo)系下的方程為___________.【答案】【解析】【詳解】【分析】過點(diǎn)作，

設(shè)在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為，

因?yàn)椋?/p>

所以，

即，

因?yàn)樵趩挝粓A上，

所以，即，

整理得.考點(diǎn)：圓的一般方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了與直角坐標(biāo)有關(guān)的新定義的運(yùn)算問題，對于新定義試題，要緊緊圍繞新定義，根據(jù)新定義作出合理的運(yùn)算與變換，同時著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，設(shè)出在直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)為，建立兩個點(diǎn)之間的變換關(guān)系，代入單位圓的方程，即可曲解軌跡方程，其中正確得到兩點(diǎn)之間的變換關(guān)系是解答的關(guān)鍵.15.若一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值組成的新數(shù)列是一個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列是一個二階等差數(shù)列，其中．（1）求及的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出遞推公式，求出，再利用累加法求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論求出，利用分組求和及裂項(xiàng)相消法求和即得.【小問1詳解】由，得，，由數(shù)列是一個二階等差數(shù)列，得是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，因此，，當(dāng)時，，滿足上式，則，所以的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）知，，所以．16.某中學(xué)為提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一場“數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)知識大賽”，分為初賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，初賽成績排名前兩百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有8000名學(xué)生參加了初賽，現(xiàn)從參加初賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的初賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：（1）規(guī)定初賽成績中不低于90分為優(yōu)秀，8090分為良好，7080分為一般，6070分為合格，60分以下為不合格，若從上述樣本中初賽成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率，并求初賽成績優(yōu)秀的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該校全體參加初賽學(xué)生的初賽成績服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生初賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且．已知小華的初賽成績?yōu)?5分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽？（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．【答案】（1）至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率為，分布列見詳解，.（2）估計(jì)小華有資格參加復(fù)賽.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得初賽成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布寫出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而求得概率和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)正態(tài)分布的均值，進(jìn)而利用原則估計(jì)全校參加初賽的學(xué)生中成績不低于85分的人數(shù)，即可估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，樣本中位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：，樣本中位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：，抽取的2人中成績優(yōu)秀的人數(shù)可能的取值有0，1，2，，所以的分布列為X012P因此，至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率，數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：，由，得，又，所以，所以全校參加初賽學(xué)生中，不低于85分的約有人，因?yàn)椋怨烙?jì)小華有資格參加復(fù)賽.17.如圖，側(cè)面水平放置的正三棱臺，側(cè)棱長為為棱上的動點(diǎn).（1）求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)棱臺的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】延長三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)檎馀_的側(cè)棱長為，且所以，而，所以，，即，同理，，又平面，所以平面，即平面.【小問2詳解】由（1）知，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，整理得，即，解得或（舍），故當(dāng)點(diǎn)為靠近的三等分點(diǎn)時，使得直線與平面所成角的正弦值為.18.已知動圓與圓：和圓：都內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.（?。┳C明：；（ⅱ）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何定義求解動點(diǎn)的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而算出斜率，再去判斷與另一直線是否垂直；（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用垂直關(guān)系又去設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，再用坐標(biāo)去表示出，最后可由基本不等式得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為7，1，因?yàn)榕c，都內(nèi)切，所以，，所以，又，，故，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)的方程為：，則，，所以，故的方程為：【小問2詳解】（i）證明：設(shè)，，，由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，故直線的方程為：，可得直線的斜率為：而直線的斜率為：，因?yàn)?，所?（ii）由直線的方程為：，可改設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得，又，所以直線的方程為，令得，，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，再由，可設(shè)直線的方程為：，再聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.又因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）利用兩圓相內(nèi)切的幾何關(guān)系來推導(dǎo)出橢圓的幾何定義，從而求出軌跡方程；（2）利用曲線上某點(diǎn)的切線方程去推導(dǎo)出切點(diǎn)弦方程.19.定義可導(dǎo)函數(shù)p（x）在x處的函數(shù)為p（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”，其中為p（x）的導(dǎo)函數(shù)．若，都有成立，則稱p（x）在區(qū)間D上具有“優(yōu)秀性質(zhì)”且D為（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”．已知．（1）求出f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；（2）設(shè)f（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”為g（x），若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解、．（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】（1）（2）（ⅰ）