河北省石家莊市第四十四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

河北省石家莊市第四十四中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則（

）A． B． C． D．2．已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，那么（

）A．點(diǎn)O在的內(nèi)部 B．點(diǎn)O在的邊上C．點(diǎn)O在邊所在的直線上 D．點(diǎn)O在的外部3．已知是正三角形，則下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．4．在中，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，，則（

）A． B． C． D．5．已知單位向量的夾角為，為實(shí)數(shù)，則“向量與向量的夾角為銳角”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．如果銳角的外接圓圓心為，則點(diǎn)到三邊的距離之比為（

）A． B．C． D．7．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②等式一定成立；③；④若，且，則為等邊三角形；以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．8．在中，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．1二、多選題（本大題共3小題）9．(多選)設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，下列命題正確的是（

）A．B．C．D．10．下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．已知，均為非零向量，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．若向量，共線，則點(diǎn)，，，必在同一直線上C．邊長(zhǎng)為的正方形中D．若點(diǎn)為的重心，則11．三角形的三邊所對(duì)的角為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若面積為，則周長(zhǎng)的最小值為12C．當(dāng)，時(shí)， D．若，，則面積為三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)與的夾角為60°，，，則．13．中，a，b，c分別是的對(duì)邊，，則.14．在中，在上，且，在上，且.若，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，.（1）求；（2）求與的夾角.16．已知在中，點(diǎn)在線段上，且，延長(zhǎng)到，使.設(shè)，.(1)用、表示向量、；(2)若向量與共線，求的值.17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的長(zhǎng)．18．已知扇形半徑為1，，弧上的點(diǎn)滿足.(1)求的最大值；(2)求最小值.19．如圖，在斜坐標(biāo)系中，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì)，記為.在斜坐標(biāo)系中，完成如下問(wèn)題：(1)若，，求的坐標(biāo)；(2)若，，且，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，，求向量的夾角的余弦值.

參考答案1．【答案】D【解析】先求出的坐標(biāo)，再通過(guò)可求出的坐標(biāo).【詳解】又因?yàn)?，所以，故選D.2．【答案】D【詳解】因?yàn)椋运倪呅蜲ACB為平行四邊形．從而點(diǎn)O在的外部．故選D3．【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?(為中點(diǎn))，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?為中點(diǎn)),(為中點(diǎn)),所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故正確.故選B.4．【答案】B【詳解】，，，由正弦定理得，.故選B.5．【答案】B【詳解】法一：由單位向量的夾角為，可得，．若向量與向量的夾角為銳角，則且向量與向量不共線．由，得；由向量與向量不共線，得，即．所以由向量與向量的夾角為銳角，得且．易知由，則向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．法二：因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以不妨令，，則，．因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為銳角，所以，且，得且．當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)向量與向量的夾角大于等于零且小于九十度.綜上可得“向量與向量的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件．故選B．6．【答案】B【詳解】如圖，設(shè)外接圓半徑，連接，在三角形中，的對(duì)角分別為，設(shè)點(diǎn)到三邊的距離分別為，由銳角知均為正數(shù)，由外接圓知，所以，同理:，，所以，由正弦定理得，所以，又，所以，所以.故選B.7．【答案】D【詳解】①∵，∴，又∵∴∴故①成立；②∵∴∴∴；故②成立；③∵∴∴∴；故③成立；④∵表示為邊的單位向量，表示為邊的單位向量，∴所以（）.表示，又∵，∴°所以為等邊三角形故④成立.故選D.8．【答案】A【詳解】∵，∴，∴.∵A，P，D三點(diǎn)共線，∴.∵，∴.∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴.∵E，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故選A.9．【答案】BD【詳解】解析：因?yàn)閿?shù)量積不滿足結(jié)合律，故A不正確；由數(shù)量積的性質(zhì)可知B正確，C中結(jié)論不一定成立，D運(yùn)算正確．故選BD．10．【答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由平面向量平行的推論可得其正確；對(duì)于選項(xiàng)B，向量，共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點(diǎn)，，，不必在同一直線上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，邊長(zhǎng)為的正方形中，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.故選AD.11．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，由題意可得，整理得，由正弦定理邊角互化得，又由余弦定理得，所以，A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以，B正確；由當(dāng)，時(shí)，，解得，C錯(cuò)誤；由，得，由正弦定理得解得，又因?yàn)?，所以，D正確；故選ABD.12．【答案】【詳解】解：．，．．．解得．13．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即：，因?yàn)?，所以?4．【答案】/【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，則.15．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)條件對(duì)的兩邊平方即可得出關(guān)于的方程，然后根據(jù)題意知，從而解出；（2）進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可求出和的值，然后即可求出的值，從而可求出和的夾角.【詳解】解：（1），，，，且，解得；（2），，，且，.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，結(jié)合圖形可知為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，則，所以，.（2）解：因?yàn)椋驗(yàn)橄蛄颗c共線，則存在，使得，即，所以，，解得.17．【答案】(1)；(2).【詳解】(1)由AB∥CD可得，則，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的長(zhǎng)為.18．【答案】(1)(2).【詳解】（1）由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，且，設(shè)，，則，所以，，，由，得，即，，解