湖南省株洲市第十三中學2024-2025學年高三下學期3月模擬考試數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁絕密★★本科目考試啟用前2024—2025學年高三3月模擬考試數(shù)學科目考生注意：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．本試卷主要命題范圍：高考范圍．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)與指冪的互換，結合對數(shù)函數(shù)的性質，根據(jù)交集，可得答案.【詳解】由，，，則.故選：B．2.下列函數(shù)在定義域內既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根函數(shù)奇偶性的定義及常見函數(shù)的單調性判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在上單調遞減，故A錯誤；對于B，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)和上單調遞增，在和上單調遞減，故B錯誤；對于C，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，而在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，故C正確；對于D，函數(shù)定義域為，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，故D錯誤.故選：C.3.已知復數(shù)在復平面內所對應的點位于第一象限，且，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)乘、除運算即可求解.【詳解】復數(shù)在復平面內所對應的點位于第一象限，設，∵，∴，，，∴復數(shù)在復平面內所對應的點位于第四象限，故選：D．4.某機器上有相互嚙合的大小兩個齒輪（如圖所示），大輪有50個齒，小輪有15個齒，小輪每分鐘轉10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉過的弧長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出大輪每分鐘轉的圈數(shù)，再借助弧長公式計算即得【詳解】由大輪有50個齒，小輪有15個齒，小輪每分鐘轉10圈，得大輪每分鐘轉的圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉過的弧長是.故選：D5.已知等差數(shù)列的公差不為0，前項和為，若，則（）A. B.數(shù)列最小項是C.的最小值是 D.當時，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件列方程求出首項與公差，寫出通項公式判斷A，求出解析式判斷B，求出前項和判斷C，解不等式判斷D.【詳解】等差數(shù)列中，，所以，即，化簡得，由可得，解得或（舍去），聯(lián)立可得，從而，故A錯誤；因為，所以數(shù)列最小項是，故B錯誤；因為，所以的最小值是，故C錯誤；由，即，解得(舍去)或，故D正確.故選：D6.甲?乙兩名乒乓球運動員進行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用獨立重復事件，分析獲勝情況，即可求出概率.【詳解】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.故選：C7.已知點為橢圓上一點，分別為的左，右焦點.若半徑為的圓與的延長線切于點，與的延長線切于點以及與線段切于點.若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由幾何關系和橢圓的定義可得，為橢圓的右頂點，進而可得，由，可得，進而可知，結合可得橢圓的離心率.【詳解】如圖，由切線定理可知，，，所以，故，所以為橢圓的右頂點，連接，，則，，由，得或（舍去），所以，又，故，得，故選：D.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出定義域，分和兩種情況，求導，得到函數(shù)單調性，從而畫出的圖象，因式分解得到或，其中有2個不同的解，故需有3個不同解且和的解不同，即，解得.【詳解】函數(shù)的定義域為，若時，由求導得，，故當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，當時，；當時，；若時，由求導得，，因為，故恒有，即在上單調遞增，且當時，，當時，，即當時，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個根，此時方程有2個不同的解；要使方程恰有5個不同的解，需使有3個零點，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.【點睛】思路點睛：關于方程根的個數(shù)問題，通常轉化為函數(shù)圖象交點，函數(shù)圖象復雜時，需要借助導數(shù)研究其單調性，分析其變化趨勢，然后作出函數(shù)圖象進行求解.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關于點對稱D.函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到的函數(shù)圖象關于軸對稱【答案】AD【解析】【分析】先結合二倍角公式及輔助角公式對已知函數(shù)進行化簡，然后結合正弦函數(shù)的性質即可判斷．【詳解】，所以，故A正確；的最大值為，故B錯誤；因為，所以的圖象不關于點對稱，故C錯誤；將的圖象左平移個單位，得到函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，故D正確.故選：AD.10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，則下列說法正確的是（）A. B.，，三線不共點C.與平面所成角為 D.設，則多面體的體積為1【答案】AC【解析】【分析】對于A，連接，，由和可證得結論；對于B，先證，即得，相交，再由交點在兩個相交平面內即得三線交于一點排除B；對于C，作于點M，證明平面得，由推得，得平面，即得為與平面所成的角即可求得；對于D，過點H作交于點D，過點D作，連接，可將多面體分割成三棱柱和四棱錐求體積.【詳解】對于A，如圖，連接，，由G，E分別為，的中點，可得，由可知，側面為正方形，所以，所以，故A正確；對于B，如圖，連接，，由題易知,則，延長，相交于點P，因為，平面，所以平面，因為，平面，所以平面，因為平面平面，所以，所以，，三線共點，故B錯誤；對于C，作于點M，因為，，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平面.而，所以為與平面所成的角，等于，故C正確；對于D，過點H作交于點D，過點D作，連接，易知直三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，柱高，則，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，錐高，則，則多面體的體積為.故D錯誤.故選:AC.11.在如圖所示的方格圖中，去掉以下哪一個方格，剩下的方格圖能用總共21個或的矩形方格圖完全覆蓋（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】AD選項，可通過畫圖得到正確；BC選項，去掉②或③后，會有無法用或的矩形方格的圖形出現(xiàn)，故BC錯誤.【詳解】當去掉①后，可如圖所示的方法來進行覆蓋，A正確；同理，當去掉④，可以如圖所示的方法來進行覆蓋，D正確；當去掉②時，除去②和②周圍的3個表格外，共用去20個或的矩形方格進行覆蓋，②周圍的三個表格無法用或的矩形方格來覆蓋，利用其他方式進行覆蓋，最后始終會有結構出現(xiàn)，從而無法用總共21個或的矩形方格圖完全覆蓋，B錯誤；同理可得去掉③后，無法用總共21個或的矩形方格圖完全覆蓋，C錯誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】應用同角三角函數(shù)關系及兩角差正弦公式化簡求出，最后應用兩角和正弦即可求解.【詳解】，.故答案為：.13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列可得直線過定點，又點在曲線上，可得直線與曲線相切于點，切線方程可求，進而可得的值.【詳解】由題意得，直線，故直線過定點，且曲線過點，故直線與曲線（無拐點）相切于點.∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】70【解析】【分析】根據(jù)題意得到，從而得到四元數(shù)組的個數(shù)相當于從8個元素中選取4個，即可得到答案.【詳解】由題意得，將連同右邊的3個空位捆綁，連同右邊的4個空位捆綁，連同右邊的5個空位捆綁，分別看作一個元素，還剩個元素.四元數(shù)組的個數(shù)相當于從8個元素中選取4個，故這樣四元數(shù)組的個數(shù)是.故答案為：70四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，，分別是角，，的對邊，的面積．（1）證明：；（2）若為的平分線，交于點，且，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式以及正弦定理的邊角互化代入計算，即可證明；（2）根據(jù)題意，由等面積法以及三角形的面積公式代入計算可得，再由余弦定理代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】證明：因為，化簡得，由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，為的內角，所以，即．【小問2詳解】因為為平分線，且，所以，所以，在等腰三角形中，．①又，∴，則，化簡得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．16.已知拋物線：，過點的直線交拋物線于，兩點，且點到拋物線的準線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知為坐標原點，直線的斜率為，的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出拋物線的準線方程，由已知求得即可.（2）設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理求出面積表達式求出值即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為，由點到拋物線的準線的距離為，得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，直線方程為，設，由消去得，則解得或，，，令直線與軸的交點，則的面積，因此，解得，所以直線方程為.17.如圖，在四棱柱中，，，，，，分別是棱，的中點.（1）證明：平面.（2）若，直線與平面所成角的正弦值為.①求四棱柱的體積；②求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）①24；②【解析】【分析】（1）利用余弦定理證得，再利用線面垂直的判定推理得證.（2）①取中點，利用線面角的定義求出，進而求出體積；②連接，利用幾何法探求出兩個平面的夾角，再進行求解.【小問1詳解】在梯形中，，，則，在中，，，則，，而，平面，所以平面.【小問2詳解】①由，平面，得平面，取中點，連接，由是的中點，得，由（1）知，平面，則是直線與平面所成的角，即，，，所以四棱柱的體積.②連接，由①知平面，，則平面，平面，則，而，于是，又平面，所以平面，因為平面，所以，由是的中點，得，共面，因此是平面與平面的夾角，，所以平面與平面的夾角的余弦值是.18.已知函數(shù)（1）若曲線在點處的切線在軸上的截距為，求的值；（2）若函數(shù)存在唯一極值點，求的取值范圍；（3）若函數(shù)存在極大值，記作，求證：.（參考結論：當時，.這里表示從0的右邊逼近表示從0的左邊逼近0.）【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，進而建立關于的方程，解之即可求解；（2）由題意可知在上有唯一解.利用導數(shù)討論的性質即可求解；（3）由（2）確定，進而，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論的性質即可證明.【小問1詳解】且，則，所以切線方程為，令，則，由題意得，解得；【小問2詳解】存在唯一極值點等價于方程在上有唯一解.設，則，由，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又當時，，當時，，所以在上的值域為，在上的值域為，故只需，解得，即實數(shù)的取值范圍為；【小問3詳解】設，當時，，由零點的存在性定理知，存在使得，即當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以存在極大值為，極小值為，不符合題意；當時，由（2）知，存在唯一的零點，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以存在極小值為.故若存在極大值，則，且，有，得，即，即，則，令，則，所以在上單調遞增，且，所以，即.【點睛】難點點睛：本題考查了導數(shù)的綜合應用，難度較大，特別是第三問證明不等式時難點所在，解答時要結合函數(shù)極值以及構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性進行證明.19.材料一：英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)?統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻.貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來描述兩個條件概率之間的關系.該公式為：設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有，.材料二：馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習?自然語言處理?金融領域?天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是，，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.請根據(jù)以上材料，回答下列問題.（1）已知德國電車市場中，有的車電池性能很好.公司出口的電動汽車，在德國汽車市場中占比，其中有的汽車電池性能很好.現(xiàn)有一名顧客在德國購買一輛電動汽車，已知他購買的汽車不是公司的，求該汽車電池性能很好的概率；（結果精確到0.001（2）為迅速搶占市場，公司計劃進行電動汽車推廣活動.活動規(guī)則如下：有11個排成一行的格子，編號從左至右為，有一個小