2025版數(shù)學(xué)中考《二輪總復(fù)習(xí)微專題學(xué)案》二輪講義43 圓的綜合題含答案或解析

微專題43圓的綜合題類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合1.如圖，AB為☉O的直徑，△BCD內(nèi)接于☉O，連接DA并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠E＝∠ABC.（1）求證：BC＝EC；（2）若EC＝20，tan∠BCD＝247，求☉O的半徑第1題圖2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，對(duì)角線BD為☉O的直徑，對(duì)角線AC是∠BCD的平分線，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：AE是☉O的切線；（2）若∠AEB＝60°，BD＝22，求AC的長(zhǎng).第2題圖3.（2021廣東24題10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.（1）求證：CF⊥FB；（2）求證：以AD為直徑的圓與BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面積.第3題圖類型二與全等三角形結(jié)合1.如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角邊AB為直徑作☉O，交斜邊AC于點(diǎn)D，連接BD.（1）若∠C＝30°，求ADCD的值（2）過點(diǎn)D作☉O的切線，交BC于點(diǎn)E，求證：E是BC的中點(diǎn).第1題圖2.（2024梅州模擬）如圖，P為☉O外一點(diǎn)，PA，PB為☉O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線PO交☉O于點(diǎn)D，E，交AB于點(diǎn)C.（1）求證：∠ADE＝∠PAE；（2）若∠ADE＝30°，連接BD，求證：四邊形ADBP是菱形.第2題圖3.如圖，BC為☉O的弦，點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作☉O的切線AE，連接CE，CE∥AD，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，AF＝BD，連接AB，AC，CF.（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）當(dāng)BD＝EF＝12AB時(shí)，求證：AC＝2AD第3題圖4.（2023廣東22題12分）綜合探究如圖①，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A'.連接AA'交BD于點(diǎn)E，連接CA'.（1）求證：AA'⊥CA'；（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓.①如圖②，☉O與CD相切，求證：AA'＝3CA'；②如圖③，☉O與CA'相切，AD＝1，求☉O的面積.第4題圖類型三與相似三角形結(jié)合[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]1.如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，AB是☉O的直徑，D是☉O上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作☉O的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且DE⊥CE.（1）求證：AC＝CD；（2）若☉O的半徑為5，BC＝6，求BD的長(zhǎng).第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，△ADE的外接☉O與BC交于點(diǎn)F，連接AF，AF平分∠BAC.（1）求證：BC為☉O的切線；（2）若AD·CE＝8，求☉O的半徑.第2題圖3.（2024珠海一模）如圖，AB是☉O的直徑，C是半圓AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，連接CD交AB于E，點(diǎn)F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EF＝DF.（1）求證：DF是☉O的切線；（2）連接BC，BD，AD，若tan∠BCD＝12，DF＝3，求☉O的半徑第3題圖4.如圖①，在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，AB＝AC，且△ABC內(nèi)接于☉O.（1）當(dāng)BC為☉O直徑時(shí)，求證：BC＝2AB；（2）如圖②，當(dāng)CD與☉O相切時(shí)，求證：四邊形ABCD是菱形；（3）如圖③，當(dāng)CD與☉O相交于點(diǎn)E時(shí)，連接BE，交AC于點(diǎn)F，若EF·AB＝CE2，求∠D的度數(shù).第4題圖類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合1.(1)證明：如解圖，連接AC，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；第1題解圖(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝247∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴tan∠DAB＝BDAD＝24設(shè)AD＝7x，則BD＝24x，∴AB＝AD2＋B∴由(1)知，AE＝AB＝25x，∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，∵CE＝20，∴BE＝2CE＝40，在Rt△BDE中，∵BD2＋DE2＝BE2，∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(負(fù)值已舍去)，∴AB＝25x＝25，∴☉O的半徑為2522.(1)證明：如解圖，連接OA，∵AC是∠BCD的平分線，∴∠ACB＝∠ACD，∴∠AOB＝∠AOD，∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∵BD∥AE，∴∠OAE＝∠AOD＝90°，∵OA是☉O的半徑，∴AE是☉O的切線；(2)解：如解圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，∵AE∥BD，∴∠AEB＝∠CBD＝60°，∵BD是☉O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠BDC＝30°，∴BC＝12BD＝2∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝12∠BCD＝45∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC·sin45°＝1，∵∠BAC＝∠BDC＝30°，在Rt△ABF中，AF＝BFtan∠BAC∴AC＝AF＋CF＝3＋1.第2題解圖3.(1)證明：∵CD＝DF，∴設(shè)∠DCF＝∠DFC＝α，∴∠FDC＝180°－2α，∵CD∥AB，∴∠BAF＝180°－(180°－2α)＝2α，又∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝180°－2α2＝∴∠CFB＝180°－∠DFC－∠AFB＝180°－α－(90°－α)＝90°，∴CF⊥FB；(2)證明：如解圖①，取AD的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠DCB＝90°，又∵OM⊥BC，∴OM∥AB，∴點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴OM＝12(AB＋CD)又∵AF＝AB，DF＝DC，∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD＝2OM，∴OM＝12AD＝OD∴OM是以AD為直徑的圓的半徑，又∵OM⊥BC，∴以AD為直徑的圓與BC相切；(3)解：∵∠DFE＝120°，∠ABC＝90°，CD∥EF，AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠CDF＝60°，∠BAF＝120°，∠AFE＝60°，∠CEF＝∠BEF＝∠EBA＝90°，又∵DC＝DF，∴△DCF為等邊三角形，∠DFC＝60°，∴∠CFE＝60°，由(1)得∠CFB＝90°，∴∠EFB＝∠CFB－∠CFE＝30°，∵EF＝2，∴在Rt△BFE中，BE＝EF·tan30°＝23在Rt△CEF中，CE＝EF·tan60°＝23，如解圖②，過點(diǎn)D，A分別作EF的垂線，交直線EF于點(diǎn)H，N，則四邊形CEHD，四邊形EBAN均為矩形，∴CE＝DH＝23，BE＝AN＝23∴S△ADE＝S△EFD＋S△EFA＝12EF·DH＋12EF＝12EF·(DH＋AN＝12×2×(23＋2＝83第3題解圖類型二與全等三角形結(jié)合1.(1)解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°，∵AB為☉O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝33BD，CD＝3BD∴ADCD＝33BD(2)證明：如解圖，連接OD，OE，∵DE是☉O的切線，∴∠ODE＝90°，在Rt△OBE與Rt△ODE中，OD∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE，∵∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠C，∴DE＝CE，∴BE＝CE，∴E是BC的中點(diǎn).第1題解圖2.證明：(1)如解圖①，連接OA，第2題解圖①∵DE是☉O的直徑，∴∠DAE＝90°，即∠DAO＋∠OAE＝90°，∵PA為☉O的切線，∴∠PAO＝90°，即∠PAE＋∠OAE＝90°，∴∠DAO＝∠PAE，∵AO＝DO，∴∠DAO＝∠ADE，∴∠ADE＝∠PAE；(2)如解圖②，連接OA，OB，∵∠ADE＝30°，∴∠AOE＝60°，∵PA為☉O的切線，∴∠PAO＝90°，∴∠APO＝90°－∠AOE＝30°，∴AD＝AP，∵PA，PB為☉O的切線，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵PO＝PO，OA＝OB，∴Rt△APO≌Rt△BPO(HL)，∴∠APO＝∠BPO＝30°，∴∠ADE＝∠BPO，∴AD∥PB，∵PA＝PB＝AD，∴四邊形ADBP是平行四邊形，又∵AD＝AP，∴四邊形ADBP是菱形.第2題解圖②3.證明：(1)如解圖，連接OA，∵點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)，AE是☉O的切線，∴OA⊥BC，DA⊥AE，∴AE∥BC，即AE∥CD，∵CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；第3題解圖(2)∵BD＝AF，BD＝EF，∴AF＝EF，∴BD＝12AE∵點(diǎn)A為劣弧BC的中點(diǎn)，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∵BD＝12AB∴BD＝12AC，∴AC＝AE由(1)得AE∥CD，∴∠ACB＝∠CAF，∴∠ABD＝∠CAF，∴△ABD≌△CAF(SAS)，∴AD＝CF，由(1)知四邊形ADCE為平行四邊形，∴AD＝CE，∴CF＝CE，∴∠E＝∠EFC，∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠E＝∠EFC，∴△EFC∽△ECA，∴EFEC＝CE設(shè)EF＝x，則AC＝AE＝2x，∴xEC＝CE2x，∴CE＝2x，∴AD＝∴ACAD＝2x2x＝2，∴AC4.(1)證明：∵點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A'，∴AE＝A'E，AA'⊥BD，即AA'⊥OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE是△ACA'的中位線，∴OE∥CA'，∴AA'⊥CA'； (3分)(2)①證明：如解圖①，設(shè)CD與☉O相切于點(diǎn)F，連接FO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)G，∴FG⊥CD，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD＝OA＝12BD，AB∥CD，F(xiàn)G⊥AB∴∠FDO＝∠GBO，∠GAO＝∠GBO，∵∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)， (5分)∴OG＝OF＝OE，由(1)知AA'⊥BD，∵OG⊥AB，∴Rt△DEA≌Rt△OGA(HL)，∴∠EAO＝∠GAO，∴∠GBO＝∠EAO，∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°，∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°，由(1)知AA'⊥CA'，∴tan∠EAO＝CA'AA'∴AA'＝3CA'； (7分)第4題解圖①②解：如解圖②，設(shè)CA'與☉O相切于點(diǎn)H，連接OH，∵☉O與CA'相切，∴OH⊥CA'，由(1)知，AA'⊥CA'，AA'⊥BD，OA＝OC，∴四邊形OHA'E為矩形，∵OE＝OH，∴四邊形OHA'E為正方形，∴AA'＝2A'E＝2OH，CA'＝2A'H＝2OE，∴AA'＝CA'，∴∠A'AC＝∠A'CA＝45°，∴∠AOE＝∠ACA'＝45°，∴AE＝OE，OD＝OA＝2AE，設(shè)AE＝DE＝x，則OD＝OA＝2x，∴DE＝OD－OE＝(2－1)x，在Rt△ADE中，x2＋[(2－1)x]2＝12，∴x2＝2+24，即AE2＝OE2＝∴S☉O＝π·OE2＝2π＋2π4第4題解圖②類型三與相似三角形結(jié)合1.(1)證明：如解圖，連接OC，AD，∵CE是☉O的切線，∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠OCB＝∠CBE.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠OBC.∵四邊形ACBD內(nèi)接于☉O，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠ADC＝∠ABC＝∠CBE，∴∠CAD＝∠ADC，∴AC＝CD；第1題解圖(2)解：∵☉O的半徑為5，∴AB＝10，在Rt△ABC中，BC＝6，∴CD＝AC＝AB2－∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90°，∴△ABC∽△DCE，∴ABDC＝ACDE＝BCCE，即108＝8DE＝6CE，解得DE＝在Rt△BCE中，BE＝BC2－∴BD＝DE－BE＝1452.(1)證明：如解圖，連接OF，∵∠BAC＝90°，∴DE是☉O的直徑，又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝45°，∴∠DOF＝2∠DAF＝90°，∵DE∥BC，∴∠OFB＝180°－∠DOF＝90°，∵OF為☉O的半徑，∴BC為☉O的切線；(2)解：如解圖，連接DF，EF，∵四邊形ADFE是☉O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADF＋∠AEF＝180°，又∵∠CEF＋∠AEF＝180°，∴∠ADF＝∠CEF，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，∵∠DAF＝∠DEF，∴∠DAF＝∠EFC，∴△DAF∽△EFC，∴DAEF＝DF∴EF·DF＝DA·EC＝8，∵∠DAF＝∠CAF＝45°，∴EF＝DF，∴EF2＝8，∴EF＝22，∵OE＝OF，∴OE＝22EF＝2∴☉O的半徑為2.第2題解圖3.(1)證明：如解圖，連接OD，OC，∵C是半圓AB的中點(diǎn)，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠OCE＋∠OEC＝90°.∵∠OEC＝∠DEF，∴∠DEF＋∠OCD＝90°.∵EF＝DF，∴∠DEF＝∠EDF，∴∠EDF＋∠OCD＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠EDF＋∠ODC＝90°，即∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD為☉O的半徑，∴DF是☉O的切線；(2)解：∵∠BCD＝∠A，tan∠BCD＝12∴tanA＝tan∠BCD＝12∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴tanA＝BDAD＝1∵∠ODF＝∠ADB＝90°，∴∠ODA＝∠BDF，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠BDF＝∠A，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴FBFD＝DFAF＝BDDA∵DF＝3，∴FB＝32，AF＝6∴AB＝AF－BF＝6－32＝9∴☉O的半徑