黑龍江省東三省精準教學聯(lián)盟2025屆高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題 含解析

高三數(shù)學本試卷滿分分，考試用時分鐘.注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】由，由，所以.故選：C2.已知復數(shù)滿足：，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法求出復數(shù)z，可得復數(shù)，由模長公式即可求得答案.詳解】由，得，第1頁/共20頁所以.故選：D.3.已知圓錐的軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由軸截面可得底面半徑及母線長，再由表面積公式即可求解；【詳解】因為軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑，母線，所以圓錐的表面積.故選：D.4.已知等比數(shù)列的前項和為，若公比，，則（）A.49B.56C.63D.【答案】B【解析】與公比的值.【詳解】∵，∴.故選：B.5.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出與的值，再利用三角函數(shù)的兩角和公式求出，最后根據(jù)第2頁/共20頁二倍角公式求出.【詳解】由，可得，且，故.故選：C.6.已知函數(shù)，若是上的增函數(shù)，，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由集合的包含關系，分類討論時，的解集即可求解；【詳解】是上的增函數(shù)，得，考慮當時，等價于得：.當時，等價于，當時，由，可得：，又，此時解集為，也即的解集為符合題意；當時，由，可得：，又，此時解集為，也即的解集為，不符合題意；第3頁/共20頁當時，由，可得：，又，此時解集為，也即的解集為，符合題意；綜上可知：的取值范圍是.故選：B7.已知為函數(shù)（，為曲線的一條對稱軸，設的最小正周期，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，通過圖象中兩個特殊點的距離與周期的關系求出周期，再結(jié)合周期公式求出，最后代入特殊點求出，進而求得的值.【詳解】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，，解得，，又因為，故有且僅有時滿足題意，此時，解得，此時，代入，可得，，又因為，故有且僅有時滿足題意，此時.故.故選：C.8.已知實數(shù)，，滿足，，為自然對數(shù)的底數(shù).則，，的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)建函數(shù)，利用導數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)題意可得，第4頁/共20頁，，且，，，結(jié)合單調(diào)性分析判斷.【詳解】設，可知函數(shù)的定義域為，且，因為在定義域上單調(diào)遞增，且，若，則；若，則；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，，，可得，，，即，，，且，，，可知，且，，，所以.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組樣本數(shù)據(jù)分別為：31，6，12，19，17，16，，則該組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為27B.上四分位數(shù)為19C.平均數(shù)為15.5D.方差為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差以及極差求解可判斷ACD，根據(jù)百分位數(shù)計算即可判斷D.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：6，，12，16，17，19，31.對于A，根據(jù)極差定義可知，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯誤；對于B，因為，所以該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為19，故B正確；對于C，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D，故D正確.第5頁/共20頁故選：BD10.設，分別為雙曲線的左、右焦點，為上一點，則（）A.的焦距為B.當在的右支上，且時，C.當時，點到的兩條漸近線距離之和為D.當時，為直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓方程可得c的值，判斷A；確定P點坐標結(jié)合雙曲線定義判斷B；求出漸近線方程結(jié)合點到直線的距離公式可判斷C；求出P點坐標結(jié)合向量垂直的坐標運算可判斷D.【詳解】由雙曲線可知，得的焦距為，故A正確；由在雙曲線的右支上，且可得，從而，又因為，此時軸，即，所以，故B正確；的漸近線方程為，當時，，故點到的兩條漸近線距離之和為，故C錯誤；由可得，而，取，，，則，所以，第6頁/共20頁因此為直角三角形，由對稱性可知當時也成立，故D正確.故選：ABD.的底面是正方形，，底面.動點滿足，則下列判斷正確的是（）A.點可能在直線上B.點可能在直線上C.若點在底面內(nèi)，則三棱錐的體積為定值D.若點在棱上，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A：由與所在直線相交且不垂直可判斷；對于B，通過可判斷，對于C，通過等體積可判斷，對于D，通過求證，得到可判斷；的軌跡是過點且與垂直的平面（不包括點與所在直線相交且不垂直，因此直線與平面相交，所以A正確；第7頁/共20頁因為底面，在底面內(nèi)，所以，又，，平面，，所以平面，因為平面，所以，因此平面平面，又，平面，平面，所以，故B不正確；若點在底面內(nèi)，則點在直線上，而平面，所以點到平面的距離為定值，所以為定值，故C正確；設的中點為，若點在棱上，則，，，，平面，所以平面，又平面，所以，第8頁/共20頁在梯形中，可以求得，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在的展開式中，常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二項式定理得到通項公式，再通過令該項中的次數(shù)為，求出的值，進而得到常數(shù)項.的展開式的第項為的展開式的第項為，，令，得，所以常數(shù)項為.故答案為：.13.已知平面向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用投影向量的定義得到，再利用向量夾角公式，即可求解.【詳解】因在上的投影向量為，即，則，又，則得，所以，又，故向量與向量的夾角為，第9頁/共20頁故答案為：.14.“逼近法”等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.為一個焦點，且過點的橢圓，則橢圓面積的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】由題意求出橢圓半焦距c的范圍，即可求得短半軸b的范圍，即可求得答案.【詳解】由橢圓可知，結(jié)合題意知橢圓的面積為，設橢圓另外一個焦點為，則，，即，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，故，即，當三點共線時等號成立（F在所以，所以橢圓面積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知中，角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角的大??；第10頁/共20頁（2）若為的中點，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】1）先由正弦定理進行邊角互化，再利用二倍角的正弦公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)關系即可求得答案；（2為的中點得.【小問1詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，解得，即.【小問2詳解】因為為的中點，所以，兩邊平方得到，又，，所以，整理可得，解得或（舍去）所以的面積.第11頁/共20頁16.設函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若為增函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）由導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）法一：參變分離得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求最值即可；法二：構(gòu)造函數(shù)，通過分類討論求最值即可求解；【小問1詳解】當時，，所以，，，∴曲線在處的切線方程為，整理得，，∴曲線在處的切線方程為.【小問2詳解】，，是增函數(shù)，即在上恒成立，方法一：即在上恒成立，所以，設，，則，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，第12頁/共20頁∴當時，取得極大值，也是最大值，∵，∴的取值范圍是.方法二：即在上恒成立，所以，設，，則，，①若，則，在上單調(diào)遞增，當趨近于0時，趨近于，即不恒成立，所以在上不單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.②若，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則當時，取得極小值，也是最小值，∴，解得，∴的取值范圍是.17.如圖所示，正三角形的邊長為2，，，分別是各邊的中點，現(xiàn)將，，分別沿，，折起，使得，，所在平面均與底面垂直.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析第13頁/共20頁（2）【解析】1）利用面面垂直性質(zhì)定理和面面平行的判定定理證明即可；（2為坐標原點，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】因為為正三角形，且，，分別是各邊的中點，所以，，均為正三角形.分別取，，的中點，，，則，，，，又因為平面底面，平面底面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，第14頁/共20頁則，，，，所以，，設平面的法向量為，則令，得，，所以，易知平面的一個法向量為，所以，所以二面角的正弦值為.18.如果隨機變量全部可能取到的值是有限的或者可列無限多對的，那么我們就稱是二維離散型的隨機變量.甲、乙兩人參加一次知識競賽，競賽過程有一輪搶答環(huán)節(jié)，共有三題供甲、乙二人搶答.已.和.101.記這次比賽中，甲、乙得分數(shù)分別為，，是二維離散型隨機變量.把所有可能的取值，和取這些值的概率畫在一張表中，這張表為二維離散型隨機變量的分布列.第15頁/共20頁01230123其中（1）求，；（2）求；（3）已知隨機事件發(fā)生了，求隨機變量的分布列.【答案】（1），（2）（3）分布列見解析【解析】1）根據(jù)已知分布列表格計算結(jié)合獨立事件概率公式計算求解；（2）應用條件概率計算求解即可；（3）先應用條件概率分別計算概率，再寫出隨機變量的分布列.【小問1詳解】，情況有，甲搶到2題并答對2題，乙未搶到題，不符合題意；甲搶到2題并答對2題，乙搶到2題并答對1題答錯1題，不符合題意，所以，第16頁/共20頁，的情況有，甲搶到2題并答對2題，乙搶到1題并答錯1題，所以.【小問2詳解】，故.【小問3詳解】表示：甲搶到2題并答對1題答錯1題，或甲搶到0題，故，已知，則的可能取值有，，1，3，，，，，因此，隨機事件發(fā)生了，隨機變量的分布列如下：13第17頁/共20頁19.在平面直角坐標系中，若圓與拋物線有公共點，且圓與拋物線在點處有相同的切線，則稱為拋物線的和諧數(shù)，圓為的和諧圓.（1）試判斷3是否為拋物線的和諧數(shù).若是，求出3的和諧圓；否則，請說明理由.（2，，均為拋物線，，的和諧圓分別為圓，，，，設圓，，，與拋物線的公共點分別為，，，，已知，且，圓與外切.（?。┣髷?shù)列的通項公式；（ⅱ）設點，記的面積為，證明：.【答案】（1）是，（2【解析】1）先假設3是拋物線的和諧數(shù)，進而結(jié)合題意求解即可；（2，由為拋物線的和諧數(shù)，可得的和諧圓為，進而結(jié)合（1）得到，，進而結(jié)合題意可得，進而得到數(shù)列是等差數(shù)列，