高中數(shù)學(xué)必修 選修全部知識點(diǎn)歸納總結(jié)(蘇教版)

專題一：推理與證明

1、歸納推理

把從個別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。

歸納推理的一般步驟：

?通過視察個別狀況發(fā)覺某些相同的性質(zhì)；

?從己知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；

?證明（視題目要求，可有可無）.

2、類比推理

象具有某些類似特征和其中一類對象的某些己知特征，推出另一類對象也具有這些特

征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.

類比推理的一般步驟：

?找出兩類對象之間可以準(zhǔn)確表述的相像特征：

?用一類對象的已知特征去推想另一類對象的特征，從而得出一個猜想；

?檢驗(yàn)猜想。

3、合情推理

歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，

然后提出猜想的推理.

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理,通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.

4、演繹推理

從一般性的原理動身，推出某個特殊狀況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理.

簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.

演繹推理的一般模式-----：三段論匕…包括

⑴大前提…已知的一般原理；

⑵小前提一--所探討的特殊狀況；

⑶結(jié)論一一…據(jù)一般原理，對特殊狀況做出的推斷.

用集合的觀點(diǎn)來理解：若集合M中的全部元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個子集，那么S中全

部元素也都具有性質(zhì)P.

理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論確定正確.

5、干脆證明與間接證明

筌繪法二利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最終推導(dǎo)出

所要證明的結(jié)論成立.

框圖表示：叵｝恒A叵)一—幽

要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч?

⑵分析法：從要證明的結(jié)論動身,逐步找尋使它成立的充分條件，直至最終，把要證明的結(jié)論歸

結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.

佬囹衣不：

要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因.

⑶反證法：一般地,假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最終得出沖突，因此說明假設(shè)錯誤，

從而證明白原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.

反證法法證明一個命題的一般步驟：

(1)(反設(shè))假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

(2)(推理)依據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出沖突為止;

(3)(歸謬)斷言假設(shè)不成立;

(4)(結(jié)論)確定原命題的結(jié)論成立.

6、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)〃的命題的一種方法.

用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟；

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)〃取第一個值〃o(〃°eN*)時命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)〃=Z(A:2〃o，&eN*)時命題成立，推證當(dāng)〃=女+1時命題也成立.

只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從〃。起先的全部正整數(shù)〃都成立.

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明很多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)

公式、幾何中的計(jì)算問題等.

專題二：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

1、復(fù)數(shù)的概念

⑴虛數(shù)單位i；

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+〃(a,bwR)；

⑶復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bcR)

實(shí)數(shù)S=0)

'純虛數(shù)(a=O,b*O)

虛數(shù)SHO)<

、非純虛數(shù)(a工0,bw0)

3、相關(guān)公式

(Da+hi=c+di<^>a=h,且c=d

⑵a+Ai=0oa—b—0

(3)|z|=+.=yla2+b2

(4)z=a—bi

z,2指兩復(fù)數(shù)實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)(互為共枕復(fù)數(shù)).

4、復(fù)數(shù)運(yùn)算

（1）復(fù)數(shù)加減法：（a+bi）±（c+di）={a±c）+{b±d）i；

⑵復(fù)數(shù)的乘法：（a+〃）（c+力）=（。。一"）+（〃。+加"；

(QC+bd)+(bc-Qd)iac+bdbe-ad.

H-----T---------

c2+rf2c2+d2C+小

（類似于無理數(shù)除法的分母有理化f虛數(shù)除法的分埋實(shí)數(shù)化）

5、常見的運(yùn)算規(guī)律

(l)|z|=|z|;(2)z+z=2a,z-z=2bi;

(3)z-z=|z|2=|z|2=a24-/72;(4)Z=z;(5)z=z<=>zG/?

⑺(回*⑻告=i，E=T

（9）設(shè)。=-——是1的立方虛根，貝IJ1+0+=0,蘇向=0,〃"+2=初療”+3=1

2

6、復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中X軸叫做復(fù)平面的實(shí)軸，y軸叫做復(fù)平面的虛軸.

復(fù)數(shù)z=a+6i＜對啖＞復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）

復(fù)數(shù)z=。+方＜,心〉平面向量oz

專題三：排列組合與二項(xiàng)式定理

1、基本計(jì)數(shù)原理

⑴分類加法計(jì)數(shù)原理：（分類相加）

做一件事情，完成它有“類方法，在第一類方法中有町種不同的方法，在其次類方法中有加2種

不同的方法……在第〃類方法中有機(jī)“種不同的方法.那么完成這件事情共有

N=叫+加2+…+根”種不同的方法.

⑵分步乘法計(jì)數(shù)原理：（分步相乘）

做一件事情，完成它須要〃個步驟，做第一個步驟有叫種不同的方法，做其次個步驟有用2種不

同的方法……做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事情共有N=辦xx…x叫,種

不同的方法.

2、排列與組合

⑴排列定義：一般地,從〃個不同的元素中任取機(jī)（mW〃）個元素，依據(jù)確定的依次排成一列，叫

做從〃個不同的元素中任取加個元素的一個排列.

⑵組合定義：一般地,從〃個不同的元素中任取機(jī)（加4〃）個元素并成一組，叫做從〃個不同的元

素中任取機(jī)個元素的一個組合.

⑶排列數(shù)：從〃個不同的元素中任取加仇V”）個元素的全部排列的個數(shù),叫做從〃個不同的元素

中任取m個元素的排列數(shù)，記作4".

⑷組合數(shù)：從〃個不同的元素中任取〃4〃）個元素的全部組合的個數(shù)，叫做從〃個不同的元素

中任取m個元素的組合數(shù)，記作C；；.

⑸排列數(shù)公式：

①A'"-n（n-1X?-2）…-MJ+1）

②4=〃!，規(guī)定0!=L

⑹組合數(shù)公式：

①C="（〃-14-2""+1）或禺,=n!；

②c,：=c：'",規(guī)定C；=L

⑺排列與組合的區(qū)分：排列有依次,組合無依次.

⑻排列與組合的聯(lián)系：A：=C；：.A：；,即排列就是先組合再全排列.

c：=毛="GTA=_m（%<〃）⑼排列與組合的兩特性質(zhì)性質(zhì)

A：：m-（m-l）--2-1

排歹UA1=8+mA；；'-'；組合G"i=C；；'+C；i.

⑩解排列組合問題的方法

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法（元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）.

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的全部狀況去掉）.

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“一般元素”

全排列，最終再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）.

④不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采納插空法，即

先支配好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）.

⑤有序問題組合法.

⑥選取問題先選后排法.

⑦至多至少問題間接法.

⑧相同元素分組可采納隔板法.

⑨分組問題：要留意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.

3、二項(xiàng)式定理

⑴二項(xiàng)綻開公式：(a+。”=^,an+C'?a"-'h+C；,an-2h2++C：a”/

+?+C?"(〃eN)

⑵二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式：7\,=C：.a"-E(OWYn,rwN,〃wN\主要用途是求指定的項(xiàng).

⑶項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)

項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個項(xiàng)的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是

二項(xiàng)式系數(shù).如

在(ax+ZO"的綻開式中，第/"+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C,；,第/"+1項(xiàng)的系數(shù)為C，"-%'；而

(x+，)"的綻開式中的系數(shù)等于二項(xiàng)式系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)確定為正，而項(xiàng)的系數(shù)不確定為正.

X

(4)(1+寸的綻開式：(1+%)〃=中+C\xn-x+CW+…+c",

若令X=l,則有

(i+iy=2”Y+c+c；+???+&.

二項(xiàng)式奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和等于二項(xiàng)式偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和.即C：+C；+..?=c：+C；+…=2"-'

⑸二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：=CT"；

(2)增減性與最大值：當(dāng)廠44H上-4-1時，二項(xiàng)式系數(shù)C；的值漸漸增大，當(dāng)「之H竺+！1時,C：的值

22

fT—n

漸漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)(第1+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)C?取得

2"

最大值.當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)(第士和巴匚+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)CJ=C〃2相等并同

22

時取最大值.

⑹系數(shù)最大項(xiàng)的求法

A2A

設(shè)第/?項(xiàng)的系數(shù)A,最大，由不等式組1'-z

可確定r.

⑺賦值法

2

若(ax+b)”=aQ+atx+a2x+...+anx",

則設(shè)/(x)=(ax+m".有：

①％=/(0);

②為+4+%+…+4,=/(I)；

③%+%—%+…+(-1)"?！?/(一I)；

C/(1)+/(-I)

④％++44+46+…=-----------；

⑤―…歿/2

專題四：隨機(jī)變量及其分布

1、基本概念

⑴互斥事務(wù)：不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù).

假如事務(wù)AB、C,其中任何兩個都是互斥事務(wù)，則說事務(wù)A、B、C彼此互斥.

當(dāng)A、5是互斥事務(wù)時，那么事務(wù)A+8發(fā)生(即A、8中有一個發(fā)生)的概率，等于事務(wù)

A、5分別發(fā)生的概率的和，即

P(A+3)=P(A)+P(3).

⑵對立事務(wù)：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事務(wù).事務(wù)A的對立事務(wù)通常記著7.

對立事務(wù)的概率和等于1.P(A)=l-P(A).

特殊提示：“互斥事務(wù)”與“對立事務(wù)”都是就兩個事務(wù)而言的，互斥事務(wù)是不行能同時發(fā)

生的兩個事務(wù)，而對立事務(wù)是其中必有一個發(fā)生的互斥事務(wù)，因此，對立事務(wù)必定是互斥事務(wù)，

但互斥事務(wù)不確定是對立事務(wù),也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件.

⑶相互獨(dú)立事務(wù)：事務(wù)A(或B)是否發(fā)生對事務(wù)8(或A)發(fā)生的概率沒有影響，(即其中一

個事務(wù)是否發(fā)生對另一個事務(wù)發(fā)生的概率沒有影響).這樣的兩個事務(wù)叫做相互獨(dú)立事務(wù).

當(dāng)A、8是相互獨(dú)立事務(wù)時，那么事務(wù)A8發(fā)生(即A、8同時發(fā)生)的概率，等于事務(wù)4、B

分別發(fā)生的概率的積.即

P(AB)=P(A)P(B).

若A、B兩事務(wù)相互獨(dú)立，則A與豆、可與B、^與否也都是相互獨(dú)立的.

⑷獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

①一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

②獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式

假如在1次試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的概率是p,那么在"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個試驗(yàn)恰好發(fā)生％次

的概率

—=。?(1-〃)"-*僅=0,1,2,〃).

⑸條件概率：對隨意事務(wù)A和事務(wù)B,在已知事務(wù)A發(fā)生的條件下事務(wù)B發(fā)生的概率，叫做條件

概率.記作P(B|A),讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.

公式：P(B|4)=生”,P(A)>0.

P(A)

2、離散型隨機(jī)變量

⑴隨機(jī)變量：假如隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.隨

機(jī)變量常用字母x,Y,^,n等表示.

⑵離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值,可以按確定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫

做離散型隨機(jī)變量.

⑶連續(xù)型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就

叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

⑷離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)分與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是

用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按確定次序一一列出，而連續(xù)性隨

機(jī)變量的結(jié)果不行以一一列出.

若x是隨機(jī)變量，y=ax+/a1是常數(shù)）則y也是隨機(jī)變量.并且不變更其屬性（離散型、

連續(xù)型）.

3、離散型隨機(jī)變量的分布列

⑴概率分布（分布列）

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為七,巧，…，x?,

X的每一個值v（i=I,2,）的概率P（X=xl）=pi,則稱表

???.??

Xx2X,

PPlPi???Pi???p?

為隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱X的分布列.

性質(zhì)：①p；NO,i=1,2,...”；②=1.

⑵兩點(diǎn)分布

假如隨機(jī)變量X的分布列為

X01

pp

1-p

則稱X聽從兩點(diǎn)分布，并稱p=P（X=1）為勝利概率.

⑶二項(xiàng)分布

假如在一次試驗(yàn)中某事務(wù)發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事務(wù)恰好發(fā)生k次

的概率是

p（x=k）=c：p￡（i—p）i.

其中左=0,1,2,...,〃，q="p,于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下:

X01???k???n

K1n-l

pCPWc.pq??????5。

我們稱這樣的隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布，記作并稱p為勝利概率.

推斷一個隨機(jī)變量是否聽從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有三點(diǎn)：

①對立性：即一次試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生與否二者必居其一;

②重復(fù)性：即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了〃次；

③等概率性：在每次試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生的概率均相等.

注：⑴二項(xiàng)分布的模型是有放回抽樣；

⑵二項(xiàng)分布中的參數(shù)是p,k,n.

⑷超幾何分布

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品數(shù),則事務(wù){(diào)X=&}

發(fā)生的概率為P(X=%)=(A=0,1,2,，機(jī))，于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下:

…m

其中X01

z^l1「in「n-m

P…

品1品

我們稱這樣的隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,且稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布.

注：⑴超幾何分布的模型是不放回抽樣；

⑵超幾何分布中的參數(shù)是M,N,〃.其意義分別是

總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量.

4、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

⑴離散型隨機(jī)變量的均值

E(X)=XPI+WP2++%8+為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).

它反映了離散型隨機(jī)變量取值的壬均水壬.

性質(zhì)：(^E(aX+b)=aE(X)+h.

②若X聽從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p.

@若乂~8(”,P)，則E(X)=華

⑵離散型隨機(jī)變量的方差

則稱

D(X)=ta-E(X))2p；為離散型隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根J5方為隨機(jī)變量

i=\

X的標(biāo)準(zhǔn)差.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.

DQ。越小,X的穩(wěn)定性越高,波動越小,取值越集中;D(X)越大,X的穩(wěn)定性越差.波

動越大,取值越分散.

性質(zhì)：①|(zhì)f)(aX+與=文5*).

②|若X聽從兩點(diǎn)分布，則分(X)=〃(l—尸).

—若X~B(n,0),則。(X)=〃〃C-P).

專題五：矩陣與變換

重要學(xué)問要點(diǎn)

五種特殊變換

COS6T-sin。X=xcosQ-ysin。

1.旋轉(zhuǎn)變換

sin。cost?xsin〃+ycosa

'10一X=X

關(guān)于X軸對稱<

0-1J=-y

--1o-X=-x

2.反射變換關(guān)于Y軸對稱

01b,=y

一.

"0rX=X

關(guān)于Y=X對稱<

10J=y

-.

-1o-X=X

縱軸伸縮<

_0k_,y'=ky

'kO-X=kx

3.伸縮變換橫軸伸縮

01y

一.

~kio-X=kx

橫縱均伸縮}

k

_02.y=上2)

'()rX=X

關(guān)于X軸正投影

()0y=0

-

oo-x=0

4.投影變換關(guān)于Y軸正投影

01,j=y

B2-ABB2AB

x2222

A2+B2A2+B-A+BX~A+BY

關(guān)于AX+BY=O投影

-ABA2ABA2

yy

A2+B2A2+B2A2+B2A2+B2

1x=x+ky

5.切變變換沿X軸平行方向移ky個單位

01[y=y

ioX=X

沿Y軸平行方向移kx個單位

y=kx+y

有關(guān)矩陣的乘法

ab—>x

1.矩陣A=與4=相乘

dy

abxax+by

Aa=

dycx+dy

abxahAxaAx+hZyAax+Aby

A(Aa)=A=AAa

dy.cdAycAx-^-dAyAcx+Ady

—?—>-?->—>—>

A(a+b)=Aa+AbA(4Q+42b)=4AQ+22Ab

復(fù)合變換

—>—>

A(Ba)=(AB)a若向量。先經(jīng)過矩陣A再經(jīng)過矩陣B變換后oBAa

(AB)C=A(BC)AB^BA（矩陣相乘沒有交換律）

AkA'=Ak+I若AC=AB但CH3（沒有消去律）

(Ak)1=Ak,若當(dāng)A=AE2=A區(qū)為單位矩陣

應(yīng)駕馭的重要題型：已知曲線/（x）經(jīng)過矩陣變換后得曲線/'（X）

逆矩陣（五種特殊變換，除了投影變換外其他都有逆矩陣）

已知矩陣A="b求逆矩陣A-'

cd

若det4=|y4|=ab=加一隊(duì)工。則

cd

d-b

A有逆矩陣/ri1111

-ca

RH.

1°為單位矩陣E,0°為零矩陣0

AV=E

2_01J|_00_

用逆矩陣求二元一次方程組

ax-\-by=eab

已知《7A=為二元一次方程組的系數(shù)矩陣

cx-^dy=f[_cd

這二元一次方程組可寫成

cdy

己知卜優(yōu)+刀=°

[ex+dy=0

(其中a,b,c,d是不全為0的常數(shù))則此二元一次方程組有非0解的充要條件是

特征值與特征向量

已知A=a=求特征值％、特征向量4和A"a

cd\

2—ci—h

令/(%)==o解出2=4或丸=42

-cA-d

當(dāng)丸二4當(dāng)A=

J（4_〃）x-by=0

（A2一a）x-by=0

1-ex+（4-d）y-0

—ex+（丸2—d）y—0

一「X）

?*2=

，叱]18」

：.i=[;[是A屬于x=%的一個一「X,

芯2=-是A屬于4=4的一個

特征向量特征向量

—->T[k,=

設(shè)。=人介&得,囪=

—>—>—>

/.Ana=+

專題六：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換

設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的隨意一點(diǎn)，在變換="的作用下，點(diǎn)

[y=〃?y,（〃＞0）.

P（x,y）對應(yīng)到點(diǎn)P'（x',y'）,稱Q為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。

2、極坐標(biāo)系的概念

在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)。，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)。引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、

一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。

點(diǎn)M的極坐標(biāo):M格的信平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的距離10Ml叫做點(diǎn)M的極徑，記為

p；以極軸Ox為始邊，翻線7）必為終邊的NxQM叫做點(diǎn)M的極角，記為6。有序數(shù)對（0,。）叫

做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M（",哂

&=0°

極坐標(biāo)（0,。）與。6+2%萬）（南qZ）表示同一個點(diǎn)。極點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,6）（。eR）.

若夕＜0,則一。＞0,規(guī)定點(diǎn)（-p,6）與點(diǎn)（p,0）關(guān)于極點(diǎn)對稱，即（-P，6）與（夕式+0）表示

同一點(diǎn)。

假如規(guī)定夕＞0,0＜。＜2乃，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)（0,。）表示（即

一一對應(yīng)的關(guān)系）；同時，極坐標(biāo)（0,8）表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對有序?qū)崝?shù)確定平面上一個點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)0、

。對應(yīng)惟一點(diǎn)狄夕，。），但平面內(nèi)任一個點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一.一個點(diǎn)可以有多數(shù)個坐標(biāo)，這些

坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P（p,6）（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為（p,6+22萬）或p,0+

（2k+1）乃），（ZeZ）.極點(diǎn)的極徑為0,而極角隨意取.若對°、。的取值范圍加以限制.則除極

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是??對應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與

坐標(biāo)是一多對應(yīng)的.即一個點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的.

3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

設(shè)”是平面內(nèi)隨意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是（x,y）,極坐標(biāo)是（0,6）,從圖中可以得出：

x-pcosd,y-psind

p2=x2+y2,tan^=—（x^O）.

x

4、簡潔曲線的極坐標(biāo)方程

x=/xo6x2+y=/>

v=A；6

⑴圓的極坐標(biāo)方程

①以極點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是p=a；（如圖1）

②以（a,0）（。＞0）為圓心，

4為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是°=2acos。；（如圖2）

JT

③以（。，一）（。＞0）為圓心，

2

a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是°=2asin。；（如圖4）

（2）直線的極坐標(biāo)方程

①過極點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程是6=。（020）和6=萬+。（020）.（如圖1）

②過點(diǎn)A（a,0）（a＞0），且垂直于極軸的直線I的極坐標(biāo)方程是QOS。=a.化為直角坐標(biāo)方程為

x=a.（如圖2）

TT