多模態(tài)信號(hào)處理基礎(chǔ) 課件 3.2周期連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1.三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)集

{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為T(mén)，角頻率

=2

/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，可分解為如下三角級(jí)數(shù)：傅里葉系數(shù)：稱(chēng)為f(t)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)n的偶函數(shù)n的奇函數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)狄里赫利(Dirichlet)條件不滿足條件1的例子如下圖所示。該信號(hào)周期為8，其組成：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半。可見(jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。條件1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是對(duì)此函數(shù)，其周期為1，有()1d10<òttf()()10,π2sin￡<?è?=tttf?è?LL()tfO11-t1連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)條件3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。周期信號(hào)，周期為1，不滿足此條件。()()10,1￡<=tttf連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)式中，A0=a0，式(1)表明：周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。

A0/2稱(chēng)為直流分量

A1cos(

t+

1)稱(chēng)為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號(hào)相同

A2cos(2

t+

2)稱(chēng)為二次諧波，其頻率是基波的2倍通常，Ancos(n

t+

n)稱(chēng)為n次諧波。An是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…此時(shí)傅氏級(jí)數(shù)可寫(xiě)為將三角形式傅氏級(jí)數(shù)中同頻率項(xiàng)合并連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)2.指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。系數(shù)Fn

稱(chēng)為復(fù)傅里葉系數(shù)。利用虛指數(shù)函數(shù)集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}，則指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)上式中第三項(xiàng)的n用–n代換，A–n=An，

–n=–

n，則上式寫(xiě)為why？分析：利用歐拉公式可從三角形式推出指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)周期時(shí)間信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3.三角和指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)之間關(guān)系n的偶函數(shù)：an

，An

，|Fn|；n的奇函數(shù)：

bn

，

n

周期信號(hào)的功率周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為代入f(t)傅里葉級(jí)數(shù)形式得：分析：展開(kāi)被積函數(shù)可知，具有的余弦項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)積分等于0；具有的項(xiàng)，當(dāng)m≠n時(shí)，積分等于0；m=n時(shí)，積分值為。此時(shí)平均功率為：直流功率諧波功率周期信號(hào)的功率表明：周期信號(hào)平均功率是信號(hào)直流和n次諧波