多模態(tài)信號(hào)處理基礎(chǔ) 課件 3.8傅里葉變換的性質(zhì)

傅里葉變換的性質(zhì)（一）傅里葉變換的性質(zhì)（一）f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，則[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]1．線性性質(zhì)兩層含義：齊次性：信號(hào)增大a倍，頻譜函數(shù)也增大a倍。可加性：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)等于各信號(hào)的頻譜函數(shù)之和。證明：傅里葉變換的性質(zhì)（一）F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)2．奇偶虛實(shí)性如果

f(t)為

實(shí)函數(shù)

，則：

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)傅里葉變換的性質(zhì)（一）奇偶虛實(shí)性證明設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似）顯然

所以傅里葉變換的性質(zhì)（一）若f(t)←→F(jω)，則（1）式中

t→ω，ω→t

則

（2）式中ω→-ωthenF(jt)←→2πf(–ω)3.對(duì)稱性證明：∴F(jt)←→2πf(–ω)

證畢傅里葉變換的性質(zhì)（一）4.尺度變換性質(zhì)Iff(t)←→F(jω)then其中，a為非零實(shí)常數(shù)。令，a=-1,f(-t)←→F(-jω)由該性質(zhì)可知，信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)的占有頻帶寬度成反比。若加快信息傳輸速度，需要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間縮短，就必須在頻域內(nèi)擴(kuò)展頻帶，會(huì)降低傳輸系統(tǒng)的有效性。傅里葉變換的性質(zhì)（一）(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加1/a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。

t0f(t)Et0E-ττ2F(2ω)ω02EτF(ω)0Eτω傅里葉變換的性質(zhì)（一）(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。(3)a=-1時(shí)域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)。信號(hào)持續(xù)時(shí)間縮短，變化加快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)t0f(2t)E0ω傅里葉變換的性質(zhì)（一）[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)F(jt)←→2πf(–ω)小結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)（二）傅里葉變換的性質(zhì)（二）Iff(t)←→F(jω)then證明:5.時(shí)移特性證畢?！皌0”為實(shí)常數(shù)。表示如果信號(hào)在時(shí)域中延時(shí)t0，則信號(hào)的所有頻率分量在頻域中相位會(huì)落后，而幅值保持不變。t0傅里葉變換的性質(zhì)（二）例1：某信號(hào)如下圖所示，試求該信號(hào)的傅里葉變換。分析:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5)g6(t-5)←→g2(t-5)←→∴‖+122468o-1tf(t)t1224680-1f1(t)1224680-1f2(t)tgτ(t)傅里葉變換的性質(zhì)（二）例2：設(shè)

f(t)←→F(jω),則

f(at–b)←→?分析:（1）先平移后尺度變換

f(t–b)←→e

-jωb

F(jω)f(at–b)←→f(at)←→（2）先尺度變換后平移傅里葉變換的性質(zhì)（二）例3

求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：先求中間單矩形脈沖的傅氏變換f（t）tEO-TT（a）三脈沖信號(hào)的波形（b）頻譜圖

OF0(jω)而傅里葉變換的性質(zhì)（二）頻譜包絡(luò)不變，脈沖個(gè)數(shù)增多，帶寬不變。由時(shí)移特性可知圖（a）信號(hào)的頻譜函數(shù)為

（c）三脈沖信號(hào)的頻譜OF

(jω)傅里葉變換的性質(zhì)（二）6.頻移性質(zhì)f(t)←→F(jω)，則證明:證畢傅里葉變換的性質(zhì)（二）解：例4已知矩形調(diào)幅信號(hào)：求其頻譜。抽樣函數(shù)形式的包絡(luò)線一分為二，向左右各平移f（t）tE（a）矩形調(diào)幅信號(hào)的波形F（jω）-ω0ωO（b）矩形調(diào)幅信號(hào)的頻譜傅里葉變換的性質(zhì)（二）時(shí)移特性頻移性質(zhì)小結(jié)傅里葉變換的性質(zhì)（三）傅里葉變換的性質(zhì)（三）時(shí)域卷積如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：

f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)頻域卷積如果

f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)則：

f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)7.

卷積性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)（三）分析:例1

求F(j

)20-2π

g2(

)*g2(

)20-22

傅里葉變換的性質(zhì)（三）8.時(shí)域微積分性質(zhì)f(t)←→F(jω)則

如果

f

(n)(t)←→Fn(jω)，且

f(-∞)+f(∞)=0則

f(t)←→F

(jω)=Fn(jω)/(jω)n微分性質(zhì)積分性質(zhì)是f(t)的直流分量F（0）F（0）=0,則傅里葉變換的性質(zhì)（三）分析:f”(t)=(t+2)–2(t)+(t–2)F2(jω)=FT[f”(t)]=ej2ω–2+e–

j2ω=2cos(2ω)–2例2

求f(t)的傅里葉變換f(-∞)+f(∞)=0tf(t)20-22f′(t)20-1-21tf′′(t)（1）（1）（-2）t2-2δ(t)1傅里葉變換的性質(zhì)（三）9.頻域的微積分性質(zhì)

f(t)←→F(jω)則

(–jt)n

f(t)←→F(n)(jω)微分性質(zhì)積分性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)（三）例3

求

f(t)=tε(t)←→F

(jω)=?分析:例4

求

積分故傅里葉變換的性質(zhì)（三）10.相關(guān)定理f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，f(t)←→F(jω)，則

R12(τ)←→

F1(jω)F2*

(jω)；R21(τ)←→F1*

(jω)F2(jω)R(τ)←→|F

(jω)|2利用相關(guān)函數(shù)與卷積積分的關(guān)系：R12(τ)=f1(τ)*f2(–τ)

R12(τ)←→F1(jω)