多模態(tài)信號處理基礎(chǔ) 課件 5.4. z變換

z變換的定義與收斂域1.z變換的定義z變換的定義與收斂域——序列的雙邊z變換——序列的單邊z變換——變換對z變換的定義與收斂域z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即其z變換才存在。對于序列，滿足所有z值組成的集合稱為z變換

的收斂域——ROC

2.z變換的收斂域收斂域的定義：z變換的定義與收斂域（1）有限長序列z變換的收斂域收斂域：例1設(shè)有限長序列,其中,若

，求其z變換。常數(shù)有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。z變換的定義與收斂域(1)f(k)的雙邊z變換為收斂域為0<

z

<∞

(2)f(k)的單邊z變換為收斂域為

z

>0例1

求有限序列的z變換

z變換的定義與收斂域（2）因果序列z變換的收斂域例2求因果序列解：的z變換。收斂域：僅當(dāng)，即時，其z變換存在。

因果序列z變換的收斂域為圓外域例3求反因果序列解:

的z變換僅當(dāng)即時，其z變換存在z變換的定義與收斂域（3）反因果序列z變換的收斂域收斂域為

反因果序列z變換的收斂域為圓內(nèi)域z變換的定義與收斂域（4）雙邊序列z變換的收斂域例4雙邊序列解：的z變換其收斂域為

雙邊序列z變換的收斂域為圓環(huán)域注意：對雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應(yīng)的原序列將不唯一。例求下面序列的雙邊z變換。f1(k)=2k

(k)←→F1(z)=

,

z

>2f2(k)=–2k

(–k–1)←→F2(z)=,

z

<2對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個圓以外的區(qū)域?？梢允÷?。z變換的定義與收斂域歸納總結(jié)：z變換的定義與收斂域有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。（d）雙邊序列z變換的收斂域為圓環(huán)域。（b）因果序列z變換的收斂域為圓外域。（c）反因果序列z變換的收斂域為圓內(nèi)域。（a）序列收斂域的特點：因果序列反因果序列雙邊序列

z變換的定義與收斂域常用序列的z變換：

(k)←→1，

z

>0z變換的性質(zhì)z變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)對任意常數(shù)例：若其收斂域至少是F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。則z變換的性質(zhì)雙邊z變換的移位性質(zhì)：若

，且對整數(shù)

，則單邊z變換的移位性質(zhì)：若

且有整數(shù)m>0,則前向移位：特例：若f(k)為因果序列，則后向移位：2.移位性質(zhì)z變換的性質(zhì)若

，且常數(shù)則

證明：同理：3.z域尺度變換求的z變換。例

已知解：即收斂域：z變換的性質(zhì)4.卷積定理則

對單邊z變換，要求f1(k)、f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。例：求

的z變換F(z).解：z變換的性質(zhì)若例：求

的z變換F(z).解：若

則

z變換的性質(zhì)5.z域微分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分若

，設(shè)有整數(shù)m，且k+m>0，

則若m=0,且k>0，則

例：求序列的z變換。解:z變換的性質(zhì)6.z域積分若

則序列的初值

z變換的性質(zhì)序列在k<M時，，且對因果序列f(k)，則若

序列在k<M時，，且則序列的終值

7.初值定理8.終值定理逆z變換逆z變換求逆z變換的常用方法有：冪級數(shù)展開法、部分分式展開法、留數(shù)法等。通常，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即

f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)

(–k–1)+f(k)

(k)相應(yīng)地，其z變換也分兩部分F(z)=F1(z)+F2(z)，<|z|<已知象函數(shù)F(z)及其收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。

可見，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。例：已知象函數(shù)其收斂域如下，分別求其相對應(yīng)的原序列f(k)。（1）|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2逆z變換1.冪級數(shù)展開法(1)

由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展開為z-1的冪級數(shù)(2)

由于F(z)的收斂域為

z<1，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)按升冪排列展開為z的冪級數(shù)

|z|>2|z|<1逆z變換(3)F(z)的收斂域為1<z<2，其原序列f(k)為雙邊序列。將F(z)展開為部分分式，有將上面兩式分別展開為z-1及z的冪級數(shù)，有↑k=0，因果序列

，反因果序列

逆z變換(1)F(z)均為單極點，且不為0可展開為：根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z>)和F2(z)(z<)兩部分，根據(jù)已知的變換對，如可求出逆變換。逆z變換2.部分分式法（真分式）例1：已知象函數(shù)其收斂域分別為：分別求其相對應(yīng)的原序列f(k)。解：部分分式展開為(1)當(dāng)，f(k)為因果序列

(2)當(dāng)，f(k)為反因果序列

(3)當(dāng)，f(k)為雙邊序列

逆z變換例2已知象函數(shù)的逆z變換。解由收斂域可知，上式前兩項的收斂域滿足，后兩項滿足

。