回顧與思考（一） 整式的乘除

回顧與思考（一）

整式的乘除第一章整式的乘除考點精講當堂練習課堂小結(jié)要點梳理目錄要點梳理教學目標教學重點1．冪的乘法運算法則法則名稱文字表示式子表示同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘，底數(shù)，指數(shù).am?an＝(m、n為正整數(shù))冪的乘方冪的乘方,底數(shù)，指數(shù).(am)n＝(m、n為正整數(shù))積的乘方積的乘方，等于把積的每個因式分別，再把所得的冪.(ab)n＝(n為正整數(shù))am＋namnanbn

不變相乘相加不變相乘乘方要點梳理注意：(1)其中的a、b可以是單獨的數(shù)、單獨的字母，還可以是一個任意的代數(shù)式；(2)這幾個法則容易混淆，計算時必須先搞清楚該不該用法則、該用哪個法則．2．同底數(shù)冪的除法法則（3）同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變，指數(shù)相減.(a≠0,m、n為任意整數(shù))（1）任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.（2）負整數(shù)指數(shù)冪：（a≠0，n為正整數(shù)）單項式與單項式相乘，把它們的________,_____________分別相乘，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個

.單項式與多項式相乘，用

和_______的每一項分別相乘，再把所得的積

.多項式與多項式相乘，先用一個多項式的_______與另一個多項式的

相乘，再把所得的積

.系數(shù)相同字母的冪因式單項式多項式相加每一項每一項

相加3．整式的乘法4．乘法公式公式名稱平方差公式完全平方公式文字表示兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積，等于這兩數(shù)的平方的差兩數(shù)和(差)的平方，等于這兩數(shù)的______加上(減去)________的2倍式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝平方和這兩數(shù)積a2－b2a2±2ab＋b2公式的常用變形a2＝

(a－b)＋b2；b2＝

－(a＋b)(a－b).a2＋b2＝(a＋b)2－

,

或(a－b)2＋

；(a＋b)2＝(a－b)2＋

.

(a＋b)2ab2ab4ab注意：(1)乘法公式實際上是一種特殊形式的多項式的乘法，公式的主要作用是簡化運算；

(2)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示其他單項式或多項式．a(chǎn)2單項式除以單項式，把它們的_____,_________

分別相除，對于只在被除式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個

.多項式除以單項式，用_______的每一項除以這個

，再把所得的商

.系數(shù)

同底數(shù)冪因式單項式多項式相加5．整式的除法考點精講典例精講歸納總結(jié)考點一冪的乘法運算例1

計算：（1）(2a)3(b3)2·4a3b4；（2）(－8)2025×(0.125)2024.解：（1）原式=8a3b6×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10.（2）原式=（－8）×（－8）2024×（0.125）2024=（－8）[（－8）×0.125]2024

=（－8）×（－1）2024=－8.考點講練方法總結(jié)

冪的乘法運算包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方.這三種運算性質(zhì)貫穿全章，是整式乘法的基礎(chǔ).其逆向運用可將問題化繁為簡，負數(shù)乘方結(jié)果的符號，奇次方得負，偶次方得正.1.下列計算不正確的是（）A.2a3·a=2a4 B.(－a3)2=a6

C.a4·a3=a7 D.a2·a4=a8D針對訓練2.計算：0.252025×（－4）2025－8100×0.5301.解:原式=[0.25×（－4）]2025－（23）100×0.5300×0.5=－1－（2×0.5）300×0.5=－1－0.5=－1.5.解:因為420=（42）10=1610，

所以1610>1510,

所以420>1510.3.比較大?。?20與1510.4.已知am=4,an=6,求a3m-2n

的值.分析：指數(shù)如果是減法，對于冪來說就是同底數(shù)冪的除法，然后逆用冪的乘方法則可解.解：a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2=43÷62=.考點二整式的乘法

例2

計算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在計算整式的加、減、乘、除、乘方的運算中，一要注意運算順序；二要熟練正確地運用運算法則.

解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2)×3x2y=(2x3y2－2x2y)×3x2y=6x5y3－6x4y2.當x=1,y=3時，原式=6×27－6×9=108.方法總結(jié)

整式的乘法主要包括單項式乘單項式、單項式乘多項式及多項式乘多項式，其中單項式乘單項式是整式乘法的基礎(chǔ)，必須熟練掌握它們的運算法則.5.一個長方形的長是a－2b+1,寬為a,則長方形的面積為

.a2－2ab+a針對訓練考點三整式的乘法公式的運用

例3

先化簡,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2,

其中x=3,y=1.5.【解析】運用平方差公式和完全平方公式，先算括號內(nèi)的，再進行整式的除法運算.

解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2)÷2x=(2x2－2xy)－2x2=－2xy.當x=3,y=1.5時，原式=－9.方法總結(jié)

整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分為兩個：兩數(shù)和的完全平方公式和兩數(shù)差的完全平方公式，在計算多項式的乘法時，對于符合這三個公式結(jié)構(gòu)特征的式子，運用公式可減少運算量，提高解題速度.針對訓練6.已知a2+b2=5,ab=2,則a-b=

.±1解析：(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝5－2×2＝1，則a－b＝±1.7.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=0的解.解：原方程可化為－5x+5=0,解得x=1.8.已知x2+9y2+4x－6y+5=0,求xy的值.解：因為x2+9y2+4x－6y+5=0,所以(x2+4x+4)+(9y2－6y+1)=0，所以(x+2)2+(3y－1)2=0.所以x+2=0,3y－1=0,解得x=－2,y=所以9.已知(x+y)2=49,(x-y)2=1,求下列各式的值：(1)x2+y2

；(2)xy.分析:根據(jù)“完全平方公式的常見變形”易求得x2+y2,xy的值.解：(1)x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]=×(49+1)=25.(2)xy=[(x+y)2-(x-y)2]=×(49-1)=12．考點四整式的除法

例4

計算：(1)6a2b÷2ab

；

(2)－（x5y2）2÷(－xy2)；(3)(27a3-15a2+6a)÷3a；

解：(1)原式=3a；(3)原式=27a3÷3a

-15a2÷3a+6a÷3a

=9a2-5a+2；(2)原式=－x10y4÷(－xy2)=x9y2；方法總結(jié)

整式的除法主要包括單項式除以單項式、多項式除以單項式，其中單項式除以單項式是整式除法的基礎(chǔ)，必須熟練掌握它們的運算法則.10.一個長方形的面積是a2－2ab+a,寬為a,則長方形的長為

.a－2b+1針對訓練考點五本章數(shù)學思想和解題方法轉(zhuǎn)化思想例5

計算：(1)－2a·3a2b3·

(2)（－2x+5+x2）·（－6x3）.解析：(1)單項式乘單項式可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法和同底數(shù)冪的乘法；(2)多項式乘單項式可以轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式.解：（1）原式=（2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3)=12x4－30x3－6x5.將要解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個較易解決的問題，這是初中數(shù)學中常用的思想方法.如本章中，多項式×多項式單項式×多項式單項式×單項式有理數(shù)的乘法和同底數(shù)冪的乘法.方法總結(jié)

11.計算：（4a－b）?（－2b）2．解：原式=（4a－b）?4b2=16ab2－4b3．針對訓練整體思想

例6

若2a+5b－3=0，則4a·32b=

.【解析】已知條件是2a+5b－3=0，無法求出a，b的值因此可以逆用積的乘方先把4a·32b.化簡為含有與已知條件相關(guān)的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一個整體，因為2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.8在本章中應(yīng)用冪的運算法則、乘法公式時，可以將一個代數(shù)式看做一個字母，這就是整體思想，應(yīng)用這種思想方法解題，可以簡化計算過程，且不易出錯.方法總結(jié)12.若xn=5，則(x3n)2－5(x2)2n=

.12500

13.若x+y=2，則=

.2

針對訓練例7

如圖所示，在邊長為a的正方形中剪去邊長為b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分別計算這兩個圖形的陰影部分的面積，驗證公式是

.baaaabbbbba-b數(shù)形結(jié)合思想a2－b2=(a+b)(a－b)【解析】通過圖形面積的計算，驗證乘法公式，從圖形中的陰影部分可知其面積是兩個正方形的面積差(a2－b2),又由于圖的梯形的上底是2b,下底是2a,高為a－b,所以梯形的面積是(2a+2b)(a－b)÷2=(a+b)(a－b),根據(jù)面積相等，得乘法公式a2－b2=(a+b)(a－b).

本章中數(shù)形結(jié)合思想主要