2024-2025學(xué)年重慶市高一下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題1.下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】利用平面向量基底的定義，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，A不是；對(duì)于B，由，得不共線，B是；對(duì)于C，，向量共線，C不是；對(duì)于D，，向量共線，D不是.故選：B2.已知，，，則（）A.A、B、D三點(diǎn)共線 B.A、B、C三點(diǎn)共線C.B、C、D三點(diǎn)共線 D.A、C、D三點(diǎn)共線【正確答案】A【分析】利用向量的加法法則，得到，從而可得結(jié)論.【詳解】，，，，，與共線，因?yàn)閮上蛄坑幸粋€(gè)公共點(diǎn)B，、B、D三點(diǎn)共線，故A正確．由，，可得，所以不存在使得，故A、B、C三點(diǎn)不共線，故B不正確；由，，可得，所以不存在使，故B、C、D三點(diǎn)不共線，故C不正確；因?yàn)椋?，又，可得，所以不存在使，故A、C、D三點(diǎn)不共線，故D不正確；故選：A.3.已知方向相同，且，則等于（）A.16 B.256 C.8 D.64【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的模的計(jì)算公式計(jì)算即得.【詳解】因,則.故選：A.4.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)在方向上的投影向量為即可求解.【詳解】，，所以在方向上的投影向量為故選：B.5.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（）A. B. C.2 D.【正確答案】B【分析】直接利用正弦定理，結(jié)合題中所給的條件，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)正弦定理可得，即，解得，故選：B.該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題目.6.在中，為邊上的中線，，則（）A. B.C D.【正確答案】A【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以由已知可得，，所以，，所以?故選：A.7.如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】方法1，將作為與夾角，利用向量知識(shí)結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；方法2，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示完成運(yùn)算；方法3，利用余弦定理計(jì)算可得答案.【詳解】法一：分別是的中點(diǎn)，.與的夾角等于，，則；法二：以為軸，過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則；法三：在中，由余弦定理，又因?yàn)镻為的重心，則，在中再由余弦定理，在中由余弦定理，在中，由余弦定理，則.故選：D.8.在中，內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則（）A.4049 B.4048 C.4047 D.4046【正確答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，利用正余弦定理角化邊可得，即可得答案.【詳解】在中，，可得，即，故，即，所以，所以，即，所以故.故選：A.二、多選題9.已知向量和實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若且，則當(dāng)時(shí)，一定有與共線C.若D.若且，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)平面向量的共線定理、向量數(shù)乘和向量數(shù)量積的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則或或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)共線定理，若且，則當(dāng)且僅當(dāng)有唯一實(shí)數(shù)，使得時(shí)，一定有與共線，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)與均不是零向量時(shí)，由，可得，即，故與的夾角為或，可得；當(dāng)與至少有一個(gè)是零向量時(shí)，顯然；綜上所述：，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：∵且，則，∴，但不能確定，D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）.A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象【正確答案】ACD【分析】先根據(jù)圖象求得的解析式，然后根據(jù)對(duì)稱性、單調(diào)性、圖象變換等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)圖象可知，即，所以，解得，所以A選項(xiàng)正確，此時(shí)，將代入得，即，所以，解得，又，所以，，B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由得，，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.若的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，外接圓的半徑為，若，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，由邊化角計(jì)算即可，對(duì)于B項(xiàng)，由切化弦計(jì)算即可，對(duì)于C項(xiàng)，及計(jì)算即可，對(duì)于D項(xiàng)，由與可判斷范圍，進(jìn)而可得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，則，即，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，，則，故B項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，由，可知均為銳角，所以，又，所以，所以，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題12.已知向量，，若，則________.【正確答案】0【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】，由于，所以.故013.在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則三角形的形狀為________.【正確答案】等腰三角形【分析】先根據(jù)余弦定理和三角形面積公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出角的值，再根據(jù)向量條件判斷三角形的形狀.【詳解】由余弦定理，移項(xiàng)可得，由三角形的面積公式得.將上述兩個(gè)公式代入可得：，所以.所以，又因?yàn)椋?表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量.以這兩個(gè)單位向量為鄰邊作平行四邊形，則其對(duì)角線平分（菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），所以表示的角平分線方向的向量.因?yàn)?，所以的角平分線垂直于，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知.所以是等腰三角形，又因?yàn)椋裕?綜上，三角形的形狀為等腰三角形.故等腰三角形14.已知是面積為的等邊三角形，且其中實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】延長(zhǎng)至，使得，化簡(jiǎn)所給條件可知三點(diǎn)共線，取線段的中點(diǎn)，連接，利用向量的加法減法及數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為求的最小值.【詳解】依題意，解得，延長(zhǎng)至，使得，如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線上，取線段的中點(diǎn)，連接，則，顯然當(dāng)時(shí)，有最小值，又易知，，所以的最小值為，所以，故的最小值為，故．四、解答題15.已知，，且與的夾角為120°，求：（1）；（2）若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用平方的方法來(lái)求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程來(lái)求得.【小問(wèn)1詳解】，所以.【小問(wèn)2詳解】由于向量與平行，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，解得.16.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；（2）由余弦定理列出方程求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理，可得，即，化?jiǎn)得，因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榍?，由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），故的面積為.17.某海域的東西方向上分別有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知點(diǎn)位于點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西，這時(shí)，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距海里的點(diǎn)有一救援船，其航行速速為海里/小時(shí).（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（2）若命令處的救援船立即前往點(diǎn)營(yíng)救，求該救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間.【正確答案】（1）（2）2小時(shí)【分析】（1）中利用正弦定理，求出；（2）在中，利用余弦定理求出，根據(jù)速度求出時(shí)間．【小問(wèn)1詳解】由題意知海里，，，在中，由正弦定理得，，（海里）.【小問(wèn)2詳解】在中，，（海里），由余弦定理得，（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）．答：救援船到達(dá)點(diǎn)需要2小時(shí)．18.在平面四邊形中，，且.（1）中，設(shè)角、、的對(duì)邊分別為、、，若.①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，求ac的最大值.（2）若，當(dāng)變化時(shí)，求長(zhǎng)度的最大值.【正確答案】（1）①16；②（2）【分析】（1）①根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換與化簡(jiǎn)即可；②作于，根據(jù)幾何關(guān)系可得，再根據(jù)基本不等式求解即可；（2）設(shè)，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而可得長(zhǎng)度的最大值.【小問(wèn)1詳解】①當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，故.②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋示鶠殇J角，作于.由圖可得，，由可得，故，則..故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由余弦定理，即.由正弦定理可得.則，.故當(dāng)時(shí)，取最大值，即最大值為.19.定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；（2）若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點(diǎn)恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；（3）在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)“伴隨函數(shù)”定義可得，可得值域；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得；（3）由余弦定理并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的“源向量”為，所以，，則，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)椤拘?wèn)2詳解】因?yàn)?，則，則，又，