2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第6講雙曲線教案文新人教A版

PAGEPAGE1第6講雙曲線一、學(xué)問梳理1．雙曲線的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為雙曲線F1、F2為雙曲線的焦點|F1F2|為雙曲線的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).常用結(jié)論1．雙曲線中的幾個常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實軸，其長為2a.(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關(guān)于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq\f(b2,a2).2．巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn<0)．二、習(xí)題改編1．(選修1-1P53T1改編)雙曲線eq\f(x2,24)－eq\f(y2,25)＝－1的實軸長，離心率，漸近線方程．答案：10eq\f(7,5)y＝±eq\f(5\r(6),12)x2．(選修1-1P53練習(xí)T3改編)以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為．答案：x2－eq\f(y2,3)＝13．(選修1-1P54A組T6改編)經(jīng)過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為．答案：eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的肯定值等于常數(shù)的點的軌跡是雙曲線．()(2)橢圓的離心率e∈(0，1)，雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．()(4)等軸雙曲線的漸近線相互垂直，離心率等于eq\r(2).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區(qū))(1)忽視雙曲線定義的條件致誤；(2)忽視雙曲線焦點的位置致誤．1．平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是．解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，則b2＝c2－a2＝7，所以所求點的軌跡是雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,7)＝1的下支．答案：雙曲線eq\f(y2,9)－eq\f(x2,7)＝1的下支2．坐標(biāo)原點為對稱中心，兩坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的斜率為eq\r(3)，則雙曲線的離心率為．解析：若雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意可得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)a，可得c＝2a，則e＝eq\f(c,a)＝2；若雙曲線的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(a,b)x，由題意可得eq\f(a,b)＝eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，可得c＝eq\f(2\r(3),3)a，則e＝eq\f(2\r(3),3).綜上可得e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)雙曲線的定義及應(yīng)用(典例遷移)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的焦點，點P在雙曲線上，且滿意∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是．【解析】雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1中，a＝2，b＝1，c＝eq\r(5).可設(shè)點P在右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝4，兩邊平方得，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16，又|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.【答案】1【遷移探究】(變設(shè)問)在本例條件下，則△F1PF2的周長為．解析：又(|PF1|＋|PF2|)2＝(|PF1|－|PF2|)2＋4|PF1|·|PF2|＝16＋8＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(6)，△PF1F2的周長為2eq\r(6)＋2eq\r(5).答案：2eq\r(5)＋2eq\r(6)eq\a\vs4\al()雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿意某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而依據(jù)要求可求出曲線方程．(2)在“焦點三角形”中，當(dāng)∠F1PF2＝90°時，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，常常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[留意]在應(yīng)用雙曲線定義時，要留意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且|PF1|＝6，則|PF2|＝()A．6 B．4C．8 D．4或8解析：選D.由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a＝1，則||PF1|－|PF2||＝2a＝2，即|6－|PF2||＝2，解得|PF2|＝4或8.2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝．解析：由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，所以|PF1|＝2|PF2|＝4eq\r(2)，則cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(（4\r(2)）2＋（2\r(2)）2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(師生共研)(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)(2)已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線C與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，則雙曲線C的方程為．【解析】(1)設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以點M的軌跡是以點C1(－3，0)和C2(3，0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，a＝1，c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以點M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1中，c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).因為雙曲線C與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，所以可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4λ)－eq\f(y2,λ)＝1.當(dāng)λ>0時，c＝eq\r(λ＋4λ)＝eq\r(5)，解得λ＝1，則雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1；當(dāng)λ<0時，c＝eq\r(－λ－4λ)＝eq\r(5)，解得λ＝－1，則雙曲線C的方程為y2－eq\f(x2,4)＝1.綜上，雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1或y2－eq\f(x2,4)＝1.【答案】(1)C(2)eq\f(x2,4)－y2＝1或y2－eq\f(x2,4)＝1eq\a\vs4\al()求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法依據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，求出雙曲線方程，常用的關(guān)系有：①c2＝a2＋b2；②雙曲線上隨意一點到雙曲線兩焦點的距離的差的肯定值等于2a.(2)待定系數(shù)法①一般步驟②常用設(shè)法(i)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共漸近線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(ii)若雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；(iii)若雙曲線過兩個已知點，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．1．雙曲線C的兩焦點分別為(－6，0)，(6，0)，且經(jīng)過點(－5，2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(y2,20)－eq\f(x2,16)＝1 D．eq\f(y2,20)－eq\f(x2,4)＝1解析：選B.2a＝eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\r(（－5＋6）2＋22)－))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(（－5－6）2＋22)))＝4eq\r(5).所以a＝2eq\r(5)，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,20)－eq\f(y2,16)＝1.故選B.2．(2024·合肥市第一次質(zhì)檢測)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，一條漸近線的方程為y＝eq\f(1,2)x，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1解析：選A.由題意知，雙曲線的虛軸長為4，得2b＝4，即b＝2，又雙曲線的焦點在x軸上，則其一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x＝eq\f(1,2)x，可得a＝4，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1，故選A.雙曲線的幾何性質(zhì)(多維探究)角度一雙曲線的漸近線問題(2024·吉林第三次調(diào)研測試)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實軸長是虛軸長的eq\r(2)倍，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(2),4)x【解析】雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實軸長為2a，虛軸長為2b，所以2a＝2eq\r(2)b，即a＝eq\r(2)b.所以漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.故選C.【答案】Ceq\a\vs4\al()求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.反之，已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．[說明]兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對稱．角度二雙曲線的離心率問題(1)(2024·蘭州市診斷考試)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實軸長為4，離心率為eq\r(3)，則其虛軸長為()A．8eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2eq\r(2) D．eq\f(4\r(6),3)(2)(一題多解)(2024·高考全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)【解析】(1)由題意知2a＝4，所以a＝2.因為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝2eq\r(3)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)，所以2b＝4eq\r(2)，即該雙曲線的虛軸長為4eq\r(2)，故選B.(2)法一：依題意，記F(c，0)，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)，將圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(c2,4)與圓x2＋y2＝a2的方程相減得cx＝a2，即x＝eq\f(a2,c)，所以點P，Q的橫坐標(biāo)均為eq\f(a2,c).由于PQ是圓x2＋y2＝a2的一條弦，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PQ|,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，即eq\f(c2,4)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2,c2)))＝eq\f(a2b2,c2)，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故選A.法二：記F(c，0)．連接OP，PF，則OP⊥PF，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OP|·|PF|＝eq\f(1,2)|OF|·eq\f(1,2)|PQ|，即eq\f(1,2)a·eq\r(c2－a2)＝eq\f(1,2)c·eq\f(1,2)c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故選A.法三：記F(c，0)．依題意，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的一條弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是該圓的與OF垂直的直徑，所以∠FOP＝45°，點P的橫坐標(biāo)為eq\f(c,2)，縱坐標(biāo)的肯定值為eq\f(c,2)，于是有eq\r(2)×eq\f(c,2)＝a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即C的離心率為eq\r(2)，故選A.【答案】(1)B(2)Aeq\a\vs4\al()(1)求雙曲線的離心率或其取值范圍的方法①求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．(2)雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1).1．(2024·甘肅、青海、寧夏聯(lián)考)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(5)，則斜率為正的漸近線的斜率為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3) D．2解析：選D.雙曲線的離心率為eq\r(5)，即eq\f(c,a)＝eq\r(5)，所以eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))\s\up12(2)－1)＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選D.2．(2024·陜西榆林二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，左頂點為A，右焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線C在第一象限內(nèi)的交點為B，且直線AB的斜率為eq\f(1,2)，則C的離心率為．解析：把x＝c代入雙曲線：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)得y＝eq\f(b2,a)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，又A(－a，0)，直線AB的斜率為eq\f(1,2)，所以eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，可得a2＋ac＝2c2－2a2，即2c2－3a2－ac＝0，即2e2－3－e＝0，因為e>1，所以e＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)思想方法系列14方程思想求圓錐曲線的離心率(2024·廣東汕尾一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，A是雙曲線C的右頂點，過F作x軸的垂線，交雙曲線于M，N兩點．若tan∠MAN＝－eq\f(3,4)，則雙曲線C的離心率為()A．3 B．2C.eq\f(4,3) D．eq\r(2)【解析】由題意可知tan∠MAN＝－eq\f(3,4)＝eq\f(2tan∠MAF,1－tan2∠MAF)，解得tan∠MAF＝3，可得eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0，因為e＞1，所以解得e＝2.故選B.【答案】Beq\a\vs4\al()(1)本例利用方程思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，然后求出離心率e.(2)求解橢圓、雙曲線的離心率或離心率的取值范圍的方法通常是依據(jù)條件列出關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，然后再轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程或不等式求解．已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點．若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\r(2)－1，1)C．(0，eq\r(3)－1) D．(eq\r(3)－1，1)解析：選B.由題意得F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a))).因為△ABF2是銳角三角形，所以∠AF2F1＜45°，所以tan∠AF2F1＜1，即eq\f(\f(b2,a),2c)＜1.整理，得b2＜2ac，所以a2－c2＜2ac.兩邊同時除以a2并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞eq\r(2)－1或e＜－eq\r(2)－1(舍去)．又因為0＜e＜1，所以橢圓的離心率e的取值范圍為(eq\r(2)－1，1)．[基礎(chǔ)題組練]1．(2024·高考北京卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A.eq\r(6) B．4C．2 D.eq\f(1,2)解析：選D.由雙曲線方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，所以c2＝a2＋1.所以5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).結(jié)合a>0，解得a＝eq\f(1,2).故選D.2．若雙曲線C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1與C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4eq\r(5)，則b＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B.由題意得，eq\f(b,a)＝2?b＝2a，C2的焦距2c＝4eq\r(5)?c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)?b＝4，故選B.3．設(shè)雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線上的一點，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，則△PF1F2的面積等于()A．10eq\r(3) B．8eq\r(3)C．8eq\r(5) D．16eq\r(5)解析：選C.依題意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因為|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×8×eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝8eq\r(5).4．(2024·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一))已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個頂點分別為A，B，點P為雙曲線上除A，B外隨意一點，且點P與點A，B連線的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝3，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±2x解析：選C.設(shè)點P(x，y)，由題意知k1·k2＝eq\f(y,x－a)·eq\f(y,x＋a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(y2,\f(a2y2,b2))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以其漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，故選C.5．(2024·高考天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|＝4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：選D.由題意知F(1，0)，l：x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×eq\f(b,a)，所以eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(a2＋4a2),a)＝eq\r(5)，故選D.6．(2024·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是．解析：因為雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)經(jīng)過點(3，4)，所以9－eq\f(16,b2)＝1(b>0)，解得b＝eq\r(2)，即雙曲線方程為x2－eq\f(y2,2)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.答案：y＝±eq\r(2)x7．(2024·陜西渭南期末改編)已知方程eq\f(x2,4－k)＋eq\f(y2,k－2)＝1，若該方程表示雙曲線，則k的取值范圍是，若該方程表示焦點在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是．解析：方程eq\f(x2,4－k)＋eq\f(y2,k－2)＝1表示雙曲線，若焦點在x軸上，則4－k>0，k－2<0，解得k<2；若焦點在y軸上，則4－k<0，k－2>0，解得k>4，則k的取值范圍是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則4－k>k－2>0，即2<k<3，則k的取值范圍為(2，3)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)(2，3)8．(2024·云南昆明診斷測試改編)已知點P(1，eq\r(3))在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，O為原點．若∠FPO＝90°，則雙曲線C的方程為，其離心率為．解析：因為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，點P(1，eq\r(3))在漸近線上，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3).在Rt△OPF中，|OP|＝eq\r(（\r(3)）2＋1)＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以b＝2eq\r(3)，a＝2，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝129．已知橢圓D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．解：橢圓D的兩個焦點坐標(biāo)為(－5，0)，(5，0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，所以漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為3.所以eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，所以雙曲線G的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上．解：(1)因為離心率e＝eq\r(2)，所以雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，則由點(4，－eq\r(10))在雙曲線上，可得λ＝42－(－eq\r(10))2＝6，所以雙曲線的方程為x2－y2＝6.(2)證明：因為點M(3，m)在雙曲線上，所以32－m2＝6，所以m2＝3，又雙曲線x2－y2＝6的焦點為F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)·(2eq\r(3)－3，－m)＝(－3)2－(2eq\r(3))2＋m2＝9－12＋3＝0，所以MF1⊥MF2，所以點M在以F1F2為直徑的圓上．[綜合題組練]1．(2024·河南鶴壁中學(xué)4月模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.eq\r(3)x±y＝0 B．2x±eq\r(7)y＝0C.eq\r(3)x±2y＝0 D．2x±eq\r(3)y＝0解析：選C.因為F1、F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線右支上，所以由雙曲線定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，所以3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),2)x，即eq\r(3)x±2y＝0，故選C.2．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，則C的離心率為．解析：法一：因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，如圖．所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因為eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝eq\f(a,b)，tan∠BOF2＝eq\f(b,a).因為tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2×\f(a,b),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))\s\up12(2))，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.法二：因為eq\o(F1B,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又eq\o(F1A,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以