初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專題03 根的檢測(cè)器

專題3根的檢測(cè)器

閱讀與思考

一元二次方程的根的判別式是揭示根的性質(zhì)與系數(shù)間聯(lián)系的一個(gè)重要定理，是解直接或間接與一

元二次方程相關(guān)問(wèn)題的有力工具，其主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：

1、判斷方程實(shí)根的情況；

2．求方程中字母系數(shù)的值與字母間的關(guān)系、字母的取值范圍；

3．證明等式或不等式；

4．利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，證明幾何存在性問(wèn)題．

許多表面與一元二次方程無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造一元二次方程，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程

的根的性質(zhì)，然后用判別式來(lái)解，這是運(yùn)用判別式解題的技巧策略．

例題與求解

【例1】如果方程x46x39x23px22p20有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根（相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根算作一個(gè)），

則p的值為．

【例2】已知三個(gè)關(guān)于x的方程：x2xm0，(m1)x22x10和(m2)x22x10，若

其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）．

11

A．m2B．m或1m2C．m1D．m1

44

k

【例3】已知P(2,3)是反比例函數(shù)y圖象上的點(diǎn)．

x

k

（1）求過(guò)點(diǎn)P且與雙曲線y只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線解析式；

x

kk

（2）Q是雙曲線y在第三象限這一分支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線，使其與雙曲線y只有一個(gè)

xx

公共點(diǎn)，且與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)（1）中求得的一直線與x軸，y軸分別交與A，B兩

點(diǎn)，試判斷AD，BC的位置關(guān)系．

【例4】已知a,b,c滿足abc0,abc8,且c0，求證c334．

【例5】已知關(guān)于x的方程x2(3k1)x2k22k0.

（1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，該方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a6，另兩邊長(zhǎng)b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周

長(zhǎng).

【例6】已知XYZ是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形（∠Z＝90°），它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角三

角形ABC（∠C＝90°）的三邊上．求ABC直角邊長(zhǎng)的最大可能值．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．若關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．

2．關(guān)于x的方程ax2(a2)x20只有一解（相同的解算一解），則a的值為．

3．設(shè)a,b,c是ABC三邊，且關(guān)于x的方程c(x2n)b(x2n)2nax0(n0)有兩個(gè)相等的實(shí)

數(shù)根，則ABC是三角形．

4．方程x2xyy23x3y30的實(shí)數(shù)解為．

5．關(guān)于x的一元二次方程x2(2k1)xk10的根的情況是（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根

6．如果關(guān)于x的方程mx22(m2)xm50沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于x的方程

(m5)x22(m2)xm0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A．2個(gè)B．1個(gè)C．0個(gè)D．不確定

7．關(guān)于x的方程(a6)x28x60有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）

A．6B．7C．8D．9

8．已知一直角三角形的三邊為a,b,c，∠B＝90°，那么關(guān)于x的方程a(x21)2(xb)(x21)0的

根為（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C．沒有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定

9．在等腰三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a,b,c．已知a3，b和c是關(guān)于x的方程

1

x2mx2m0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求ABC的周長(zhǎng)．

2

10．已知m,n為整數(shù)，關(guān)于x的三個(gè)方程：x2(7m)x3n0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

x2(4m)xn60有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；x2(m4)xn10沒有實(shí)數(shù)根．求m，n的值．

11

11．若a,b,c,d0，證明：在方程x22abxcd0①；x22bcxad0②；

22

11

x22cdxab0③；x22daxbc0④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

22

數(shù)根．

12．若實(shí)數(shù)x,y滿足x22x4y5，求x2y的最大值．

B級(jí)

1．當(dāng)a，b時(shí)，方程x22(1a)x(3a24ab4b22)0有實(shí)數(shù)根．

2．已知二次方程(ab2b)x22(ba)x2aab0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么

11

=．

ab

3．如果方程x35x2(4k)xk0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)k的值

為．

4．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc0，abc2，那么abc的最小值是．

5．已知實(shí)數(shù)a,b,c是不全為零的三個(gè)數(shù)，那么關(guān)于x的方程

x2(abc)xa2b2c20的根的情況是（）

A．有兩個(gè)負(fù)根B．有兩個(gè)正根C．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根D．無(wú)實(shí)根

6．關(guān)于x的兩個(gè)方程x24mx4m22m30，x2(2m1)xm20中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，

則m的取值范圍是（）

3131

A．mB．m或m

2424

1131

C．mD．m或m

4222

7．方程x(x1)k0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

1111

A．k0B．0kC．kD．k

4444

x2

8．關(guān)于x的方程a僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

x1

A．a(chǎn)0B．a(chǎn)4C．2a4D．0a4

9．當(dāng)a在什么范