初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題24 相交線與平行線

專題24相交線與平行線

閱讀與思考

在同一平面內，兩條不同直線有兩種位置關系：相交或平行.

當兩條直線相交或兩條直線分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對頂角、同位角、內錯角、同旁內角等

位置關系角，善于從相交線中識別出以上不同名稱的角是解相關問題的基礎，把握對頂角有公共頂點，

而同位角、內錯角、同旁內角沒有公共頂點且有一條邊在截線上，這是識圖的關鍵．

兩直線平行的判定方法和重要性質是我們研究平行線問題的主要依據(jù)．

1．平行線的判定

(1)同位角相等、內錯角相等，或同旁內角互補，兩直線平行；

(2)平行于同一直線的兩條直線平行；

(3)在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行．

2．平行線的性質

(1)過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行；

(2)兩直線平行，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補；

(3)如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直.

熟悉以下基本圖形：

例題與求解

【例1】(1)如圖①，AB∥DE，∠ABC＝800，∠CDE＝1400，則∠BCD＝__________.

（安徽省中考試題）

(2)如圖②，已知直線AB∥CD，∠C＝1150，∠A＝250，則∠E＝___________.

（浙江省杭州市中考試題）

B

A

DE

C圖1

解題思路：作平行線，運用內錯角、同旁內角的特征進行求解.

【例2】如圖，平行直線AB，CD與相交直線EF，GH相交，圖中的同旁內角共有()．

A．4對B．8對

C．12對D．16對

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：每一個“三線八角”基本圖形都有兩對同旁內角，從對原圖進行分解入手．

例2題圖例3題圖

【例3】如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分線，求

證：∠EDF＝∠BDF.

（天津市競賽試題）

解題思路：綜合運用垂直定義、角平分線、平行線的判定與性質，由于圖形復雜，因此，證明前注意

分解圖形．

113

【例4】如圖，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求證：∠AFC＝∠AEC.

444

（湖北省武漢市競賽試題）

解題思路：分別過點E，F(xiàn)作平行線，利用平行線的性質找角之間的關系.

E

DF

2

1

ABC

例4題圖例5題圖

【例5】如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F.

解題思路：從角出發(fā)，導出兩直線的位置關系，再推出新的角的關系，新的兩直線的位置關系，是

解這類問題的基本思路.

【例6】(1)已知平面內有4條直線a，b，c和d，直線a，b和c相交于一點，直線b，c和d也相交

于一點，試確定這4條直線共有多少個交點？并說明你的理由．

(2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行.說明：以這5條直線的交點為端點的線段有多少條？

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：(1)先設直線a，b，c的交點為P，直線b，c，d的交點為Q，證得P與Q實為同一點，

得出結論．

(2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質.

能力訓練

A級

．在同一平面內有，，…，十條直線，如果，⊥，，⊥，，

1a1a2a3a10a1//a2a2a3a3//a4a4a5a5//a6

⊥，…，那么與的位置關系是

a6a7a1a10____________.

2．如圖，已知AE∥BD，∠1＝1300，∠2＝300，則∠C＝__________．

（湖南省常德市中考試題）

3．如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷a∥b的條件是_____________（把你認為正

確的序號填在橫線上）

①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝1800．

（陜西省中考試題）

4.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一邊上，

則∠1＋∠2__________.

（山東省煙臺市中考試題）

5．下面四個命題中正確的是()．

A．相等的兩個角是對頂角B．和等于1800的兩個角互為鄰補角

C．連結兩點的最短線是過這兩點的直線

D．兩條直線相交所成的四個角都相等，則這兩條直線互相垂直

（“希望杯”邀請賽試題）

6．下列命題

①兩條相交直線組成的四個角相等，則這兩直線垂直．

②兩條相交直線組成的四個角中，若有一個直角，則四角都相等．

③兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩直線垂直．

④兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩直線垂直．

其中正確的有()．

A．4個B．3個C．2個D．1個

7．如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個數(shù)是()．

A.2B．4C．5D．6

（山東省菏澤地區(qū)中考試題）

8．如圖，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，點C在AE上，點F在DG上，設與∠ɑ相等的角的個數(shù)

為m（不包括∠a本身），與∠互補的角的個數(shù)為n．若a≠，則m＋n的值是()．

A.8B.9C.10D.11

9．如圖，已知AB∥ED，∠NCB＝300，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度數(shù)．

10.如圖，已知E是AB，CD外一點，∠D＝∠B＋∠E，求證：AB∥CD.

11.平面上有10條直線，無任何3條交于一點，要使它們出現(xiàn)31個交點，怎樣安排才能辦到？

（吉林省競賽試題）

12.如圖，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求證：AB//GF.

（重慶市競賽試題）

B級

1.如圖，∠A＝600，∠1＝∠2，則∠ADC的度數(shù)是___________.

2．如圖，直線a∥b，那么x的度數(shù)是____________.

（五城市聯(lián)賽試題）

3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置，若∠EFB＝650，則∠AED'

＝__________.

（山東省中考試題）

4．如圖，已知DE∥BC，∠2＝700，∠1＝400，那∠EBA的度數(shù)是_____________.

第4題圖第5題圖

5.如圖，直線k∥l，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜900，∠1＝500，則∠4

最大可能的整數(shù)值是()．

A.1070B．1080

C．1090D．1100

6.如圖，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，則∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于()．

A．1800B．2700

C．3600D．4500

(北京市競賽試題）

7．如圖，兩直線AB，CD平行，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝()．

A．6300B.7200

C．8000D.9000

（“希望杯”邀請賽試題）

第6題圖第7題圖

8．兩條直線a，b互相平行，直線a上順次有10個點A1，A2…，A10，直線b上順次有9個點B1，

B2，…，B3，將a上每一個點與b上每一個點相連可得線段．若沒有三條線段相交于同一點，則這些線

段的交點個數(shù)是()

A.90B.1620C.6480D.2006

9．如圖，已知兩條平行線AB，CD被直線EF所截，交點分別為G，H，P為HD上任意一點，過

P點的直線交HF于O點，求證：∠HOP＝∠AGF－∠HPO.

10．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD.求

FC的長．

(2013年“《數(shù)學周報》”杯競賽試題)

11．平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于260．

（莫斯科八年級競賽試題）

12．⑴如圖①，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝_________.

如圖②，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________.

如圖③，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________.

如圖④，MA1∥NA5，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_________.

從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請在圖②，圖③，圖④中選一個證明你的結論.

MMM

A1A1A1

A2

A2

A3

A4

N圖①A2NA3N

圖②圖③

M

MA1

A1

A2

A2

A3

A3