著名機(jī)構(gòu)八年級數(shù)學(xué)秋季班講義第20講：期末復(fù)習(xí)教師版

八年

期末復(fù)習(xí)

內(nèi)容分析

本講整理了八年級上學(xué)期的四個(gè)章節(jié)內(nèi)容，重點(diǎn)是二次根式的混合運(yùn)算、一元二次方程

的求解及應(yīng)用、正反比例函數(shù)的綜合及幾何證明，難點(diǎn)是二次根式的混合運(yùn)算及幾何證明中

需要添加輔助線和直角三角形的性質(zhì)及推論的綜合運(yùn)用，希望通過本節(jié)的練習(xí)，可以幫助大

家把整本書的內(nèi)容串聯(lián)起來，融會(huì)貫通，更快更好的解決問題.

知識結(jié)構(gòu)

二次根式的

性質(zhì)

—

二次

根式

二次根式的運(yùn)

算

八年

選擇題

【練習(xí)1】下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.￡B.亞C.后

D.同

【難度】★

【答案】B

［解析］:J0.5=；V50=5-72.

【總結(jié)】本題考查了最簡二次根式的定義.

【練習(xí)2】若一元二次方程依2-2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍正確的

是()

A.a>\B.a<\C.且ax()D.()<a<l

【難度】★

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，故△=/-4ac=(-2)2-4x420,則

又因?yàn)橐辉畏匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)不為零，即。工0:故aVl且a*0.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程根的情況.

【練習(xí)3】如果正比例函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),那么另一個(gè)

交點(diǎn)的坐標(biāo)為().

A.(-3,-2)B.(3,2)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【難度】★

【答案】D

【解析】反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

【練習(xí)4】下列命題中，哪個(gè)是真命題()

A.同位角相等

B.兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.等腰三角形的對稱軸是底邊上的高

D.若PA=PB,則點(diǎn)尸在線段A8的垂直平分線上

【難度】★

【答案】D

【解析】A中只有兩條直線平行，同位角相等；8中'S-5-A'不能證明三角形全等;

C中等腰三角形的對稱軸是底邊上的高所在直線，對稱軸應(yīng)該是直線；

。中是垂直平分線的性質(zhì).

【總結(jié)】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的判定，對稱軸及垂直平分線性質(zhì).

【練習(xí)5】以下說法中，錯(cuò)誤的是()

A.在AABC中，ZC=ZA-ZB,則AASC為直角三角形

B.在AABC中，若NA：NB：ZC=5:2:3,則AABC為直角三角形

C.在^ABC中，若a=2c,b=+c,則△A8C為直角三角形

55

D.在AABC中，若a:6:c=2:2:4,則AABC為直角三角形

【難度】★

【答案】D

【解析】選項(xiàng)力、8均由三角形內(nèi)角和定理可求得NA=90。；C由勾股定理可得AABC為直

角三角形；。中有三邊關(guān)系知構(gòu)造不了三角形，故錯(cuò)誤.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的判定.

【練習(xí)6】關(guān)于x軸上有一點(diǎn)A到點(diǎn)B(-3,4)的距離是5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()

A.(-6,0)B.(0,0)

C.(-6,0)或(0,0)D.以上都不對

【難度】★

【答案】C

【解析】過點(diǎn)8作x軸的垂線交x軸為點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0),又因?yàn)辄c(diǎn)8到x軸

的距離為4,所以由勾股定理可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-6,0)或(0,0).

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用.

【練習(xí)7】二J化簡成最簡二次根式后等于()

格-1)一

Xyf-X

l-xl-x'x-l

【難度】★★

【答案】C

3

【解析】???7^720,:.-x>0,即X40,x—1<0,故原式.故選C.

(x-l)2l-x

【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡.

4/33

【練習(xí)8】某同學(xué)做了以下四題，其中做錯(cuò)的有()

①7^7=4/；?75a-710a=5a?\!3a--Jlci=y/a.

③"出=獷1=&；

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4

【難度】★★

【答案】B

【解析】①③正確；②④錯(cuò)誤；②中國?阿=屈？=5后。：

④中7^7=(當(dāng)-,故選B.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的運(yùn)算及化簡.

【練習(xí)9】如果關(guān)于x的方程(x+〃)(x+/?)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+々)=0(學(xué)?。、b、

均為正數(shù))有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則以。、力、c為長的線段促成的是().

A.等腰非等邊三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.不能確定形狀

【難度】★★

【答案】B

【解析】原方程可以整理為3x?+2(iz+/?+c)x+(ah+hc+ac)=0

,?,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，「?△=[2(〃+b+c)(一4x3x(〃人+be+〃c)=。

整理得：4c/+4/?2+4c2-4ab-4bc-4ac=0

即2(a-b)2+20-c)2+2(a-c)2=0

a-h=0,Z?-c=0,a-c=0,a=b=c

??.三角形為等邊三角形.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程根的判別式及配方的運(yùn)用.

【練習(xí)10]已知一直角三角形ABC的三邊為a、b、c,NB=90。，那么關(guān)于x的方程

a(f-l)-2cx++1)=0的根的情況是().

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

【難度】★★

【答案】A

【解析】解：?.?N8=90°,.?./+°2=/?2

化簡原方程為：(a+b)x2-2cx+b-a=0,z.A=4c2-4(/?2-a2)=4c2-4c2=0,

，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A正確.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及根的判別式的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)11】多項(xiàng)式4*2+8x7進(jìn)行因式分解正確的是()

A.(x+^^)(x+^^)B.(4X+4+2A/5)(4X+4-2V5)

22

C.(2x+2+石)(2x+2-6)D.4(x+2+q(x_2-?)

22

【難度】★★

【答案】C

【解析】解：44X2+8X-1=0,由A=82-4X4X(-1)=80>0

2+逐2-石

由公式法得：引,Xj-

2-2

所以4f+8x-I=4x+^^-x+^^-=(2x+2+6)(2x+2-造),

22

故選C.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用一-二次三項(xiàng)式的因式分解的運(yùn)用.

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八年

【練習(xí)12］己知函數(shù)y=fct（%HO）中y隨X的增大而增大，那么它和函數(shù)丫=與火工0）在

X

同一直角坐標(biāo)系平面內(nèi)的大致圖像可能是（）.

【難度】★★

【答案】D

【解析】?.,函數(shù)丫=Z總片0）中y隨x的增大而增大；

.?.函數(shù)丫=去（我片0）和函數(shù)丫=&卜*0）的圖像都在一、三象限，故。正確.

X

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).

【練習(xí)13】如圖,4、C是函數(shù)y的圖象上任意兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為B,

X

過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為。，記Rt/VlOB的面積為,RtACOD的面積為S2,

則S］和邑的大小關(guān)系是（）.

A.St>S2B.S,<S2

C.St=S2D.由A、C兩點(diǎn)的位置確定

【難度】★★

【答案】C

【解析】?.?點(diǎn)A和點(diǎn)C都在反比例函數(shù)圖像上,

，Si=S2=g網(wǎng)=g，故選C.

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)14]如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC^cm,現(xiàn)將直角邊

AC沿直線折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CZ）等于（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【難度】★★

【答案】B

【解析】解：在用A43c中，由勾股定理得：AB=U）cm,再由折疊

的性質(zhì)可得C￡>=0￡,AE^AC=6cm,所以8￡=/lB-AE=4t7〃，且OELAB；

設(shè)CD為x,則3Z)=8—x,DE=x,在RADEB中,WBE2+DE2=BD2,

即4?+r=（8-x）2,解得：x=3cm.故B項(xiàng)正確.

【總結(jié)】本題考查了圖形的折疊和勾股定理的應(yīng)用，注意翻折的性質(zhì)的運(yùn)用.

【練習(xí)15】在AABC中，AB=15,AC=13,BC邊上的高A￡>=12,則AABC的周長

是（）

4.42B.32C.42或32D.37或33

【難度】★★

【答案】A人

【解析】AO_L3C,.?.在&AM）。中，由勾股定理得：CO2=AC2-A￡>2,/；\

所以CO=5,同理可得：BD2=AB--AD-,所以%>=9.

當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，8c=80+8=5+9=14,則A48C的周長=13+14+15=42；

當(dāng)AA8C為鈍角三角形時(shí)，BC=BD-CD=9-5=4,則AABC的周長=13+4+15=32；

故選C.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意當(dāng)涉及到三角形一邊上的高時(shí)，要分兩種情況討

論.

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填空題

【練習(xí)16](1)若J7=T-Ji==(x+y)2,則尤―y的值為；

(2)使J(2-x)(x+l)=點(diǎn)=7?而T成立的條件是

(3)二次根式>/〃?+〃的有理化因式是.

【難度】★

【答案】(1)2；(2)-14x42；(3)-Jm+n.

【解析】(1)由題意得：x-1>0,l-x>0,所以x=l,

把x=l代入Jx-1-Jl-x=(x+y)2,可得：y=-1,故x-y=2；

(2)由題意，得：解得：-l<x<2；

[x+l>0

(3)J〃?+〃的有理化因式是+”等.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的有意義的條件及有理化因式的概念，注意任何一個(gè)二次根式

的有理化因式是不唯一的.

【練習(xí)17](1)方程犬一4=0的根是；

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程。"-后)/+3"7"2一2=0的一個(gè)根為0,則〃?的

值是.

【難度】★

【答案】(1)X,=2,々=-2；(2)-血.

2

【解析】(1)X-4=0,則占=2,X2=-2.

(2)把x=0代入方程得：〃?2一2=。且膽-血/。，則計(jì)算得出機(jī)=一五.

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的條件.

【練習(xí)18](1)已知正比例函數(shù)y=(2m—l)x的圖像上兩點(diǎn)A(玉，,)，8(々，當(dāng))，當(dāng)

王<當(dāng)時(shí)，X>%那么m的取值范圍是；

(2)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過直線y=-3x上的點(diǎn)(-，〃，機(jī)+2),則,"=

反比例函數(shù)的解析式為.

【難度】★

13

【答案】(1)m<--.(2)1；y=--.

2x

【解析】(1)?.?點(diǎn)A和點(diǎn)8都在正比例函數(shù)圖像上，當(dāng)巧<巧時(shí),必>刈；

二y隨x的增大而減小，即2優(yōu)-1<0；故

2

(2)?.?點(diǎn)(一小，，”+2)在函數(shù)y=-3x圖像上，，機(jī)+2=-3(-根)，即m=1：

此點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,3),.?.反比例函數(shù)解析式為y=-q.

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法.

【練習(xí)19](1)定理“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方'’的逆命題是

(2)命題"等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題是.

【難度】★

【答案】見解析

【解析】(1)如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角

形.

(2)如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

【總結(jié)】本題考查了互逆命題的應(yīng)用.

【練習(xí)20](1)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(3,-1)和8(-1,2),那么A、8兩點(diǎn)間的距離

等于;

(2)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的HMABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,3)、8(1,2)、C(3,-4),

則該直角三角形的直角頂點(diǎn)是.

【難度】★

【答案】(1)5；(2)點(diǎn)B.

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八年

【解析】(1)由兩點(diǎn)間距離公式，可得：?"(-1_3)2+(2+1)2=5；

(2)4(4,3),2(1,2)、C(3,-4),

AB2=(1-4)2+(2-3)2=10,BC2=(3-1)2+(-4-2)2=40,

/lC2=(3-4)2+(-4-3)2=50,

AC2=AB2+BC2,所以NB=9O°,故直角頂點(diǎn)為點(diǎn)8.

【總結(jié)】本題主要考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用及勾股定理逆定理的應(yīng)用.

【練習(xí)21](1)經(jīng)過己知點(diǎn)A、3的圓的圓心的軌跡是；

(2)到點(diǎn)A的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡.

【難度】★

【答案】(1)線段4?的垂直平分線；(2)以點(diǎn)A為圓心2厘米為半徑的圓.

【解析】(1)由題意知，圓心應(yīng)滿足到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離相等，從而根據(jù)線段的垂直平分

線畫出即可；

(2)到定點(diǎn)的距離等于定長的軌跡為圓.

【總結(jié)】本題考查了基本圖形的畫法.

【練習(xí)22](1)某地2016年4月份的房價(jià)平均每平方米為96000元，該地2014年同期的

房價(jià)平均每平方米為76000元，假設(shè)這兩年該地房價(jià)的平均增長率均為x,則關(guān)于x的

方程為:

(2)某廠計(jì)劃今年的產(chǎn)值為a比前年翻一番，且這兩年的增長率相同，則這三年的總

產(chǎn)值是.

【難度】★★

【答案】(1)76000(1+x)2=96000；(2)+.

【解析】根據(jù)平均增長率問題的方程類型〃(l±x)"=8來列方程：

(1)76000(1+x)2=96000；

(2)設(shè)增長率為x,則(l+x>=2,解得：%=72-1,

故這三年的總產(chǎn)值為：-a+—a(y+'j2-\)+a=—a+^La.

2222

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程中平均增長率問題的類型，注意對總產(chǎn)值的理解.

【練習(xí)23】(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3/-6x+l=；

(2)若一元二次方程〃V+2x-l=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍

是.

【難度】★★

【解析】（1）令3/一6x+l=0,由△=（-6『-4x3=24>0,

所以由公式法得：占=也尼，%=三巫，故3X2-6X+1=3

3-3

(2)由題意得：△=4+4620且；解得：他之一1且mwO.

【總結(jié)】本題考查了二次三項(xiàng)式的因式分解及根的判別式的運(yùn)用.

【練習(xí)24】計(jì)算：3x/i8+1V50-4j1U4x/2

【難度】★★

【答案】2.

【解析】13而+］同一46+4行=回行+后-2⑷+4收=2.

5

【總結(jié)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，注意進(jìn)行化簡.

【練習(xí)25］如圖，R/AABC中，ZACB=90,ZA=40,。為45中點(diǎn)，CE1AB,

則4>CE=

【難度】★★

【答案】10°.

【解析】?.?NACB=90°,。為AB中點(diǎn)，:.AD=CD,

ZACD=ZA=40°,-.-CEA-AB,ZAC￡=180°-90°-ZA=50°,

ZDCE=ZACE-ZACD=50°-40°=10°.

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)26】（1）如果正比例函數(shù)y=（原0）的自變量取值增加7,函數(shù)值相應(yīng)減少4,

那么當(dāng)x=4時(shí)，y=；

（2）若x與-3y成反比例函數(shù)關(guān)系,y與-4z成反比例函數(shù)關(guān)系，則x與z成

比例函數(shù).

【難度】★★

【答案】（1）；（2）反.

7

【解析】（1）由題意得：（y-4）=Z（x+7）,即y-4=kx+7々，代入^=履中，解得：Z=-g,

所以正比例函數(shù)為y=-：x，故當(dāng)x=4時(shí)，y=~-

（2）由題意得：x=_h,y=_k,所以x=——L=^LZ,

3y4z3.（43e

4z

故X與Z成反比例函數(shù).

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)的概念.

【練習(xí)27]（1）如圖，已知在AABC中，CD平分/AGO,ZA=2ZB,BC=a,AD=h,

則AC=（用含“、b的代數(shù)式表示）；

（2）在AABC,AB=BC,BD=DC,BC=CE,則圖中一定相等的角（小于平角）

有對.

【難度】★★

【解析】（1）如圖所示，在BC上截取CE,使得CE=AC,連接DE

???CO平分ZACD,ZACD=ZECD,

又：AC=CE,CD=CD,/.MCDsAECD,

:.AD=DE=b；ZA=NCE￡),

XvZA=2ZB,NCED=NB+NEDB,..ZB^ZEDB,

:.BE=DE=AD=b,又,：BC=a,:.AD=CE=BC-BE=a-b.

(2)Zfi4C=ZBC4；ZBAD=ZBEA；ZDAC=ZCAE.

13/33

【練習(xí)28](1)如圖，在即AABC中，NC=90度，BC=24cm,N8AC的平分線AD交

BC于點(diǎn)。，BD：DC=5：3,則點(diǎn)。到AB的距離為..cm；

(2)等腰直角三角形ABC的斜邊BC=4,AOBC為等邊三角形，那么A、。兩點(diǎn)的距離

是.

(3)在矩形ABCD中，AB:AD=1:2,將點(diǎn)A沿折痕DE對折，使點(diǎn)A落在BC上的F點(diǎn),

則ZADE=..度.

【難度】★★

【答案】(1)9；(2)26+2或2&-2；(3)15.

【解析】(1)作力于E,

BD:DC=5:3,BC=24a??,/.DC=9cm,

???AD是NS4C的平分線，ZC=90°,DELAB.

;.DE=DC=9cm.

(2)分兩種情況：①連接4),交BC于E,

???\DBC為等邊三角形，:.BD=CD=BC=4,

?/AB=AC,AD垂直平分3C,AE=-BC=2,ZDEB=9Q,

2

OE=>/42-22=273,AD=DE+AE=273+2；

②如圖示，由①得：DE=2^,AE=2,

AD=DE-AE=2y/3-2i

所以AL>=2石+2或26-2.

(3)如圖所示：由題意可得鉆:4)=1:2,

由翻折性質(zhì)￡>F=AD,則在WACOMOC:CE=1:2,故NOFC=30°；

在矩形"CD中，AD//CF,所以NA。/=NO9C=30°,A___________________D

?????;?、-

1..............

故ZADE=N￡?C=—NADFu15°.￡...........

2,???

【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，及分情況討論.B

【練習(xí)29】一元二次方程仕-1)/+2丘+々+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求火的最大整

數(shù)值______________.

【難度】★★★

【答案】0.

【解析】由題意得：A=(2k)2-4(k-l)(Z+3)=-8k+12>0,解得：且女-1x(),即女工1,

所以k的取值范圍為上<3且后*1.所以％的最大整數(shù)值為0.

2

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式的運(yùn)用.

【練習(xí)30】方程(2016x)2—2015x2017x-l=0的較大根，”，方程2015/-2016x+l=0較

小根為〃，則團(tuán)-〃的值.

【難度】★★★

2014

【答案】

2015.

【解析】v(2016X)2-2015X2017X-1=0,(2016x)2-(2016-1X2016+l)Lr-1=0,

(2016x)2-20162x+x-1=0,B|J20162x(x-l)+(x-l)=0,

(x-l)(20162x+l)=0,解得：X,=1,x2=——:.m=l,

八'120162

又???2015X2-2016X+1=0,(2015x-lXx-l)=0,

國軍得：x=---,x=1,/.n=---

1201522015

用112014

cixm—n=1------=-----?

20152015

【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的解法.

15/33

【練習(xí)31】AAOC與ZkOCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、。均在雙曲線丫=也。＞0)上，點(diǎn)。

X

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、E在X軸上，4、力的坐標(biāo)分別是

【難度】★★★

【答案】A(l,g)；D(V2+1,X/6-A/3).

【解析】如圖，過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作

。尸J_x軸于點(diǎn)F.

?.?AAOC為等邊三角形，.?.設(shè)A(a，Ga)

又?點(diǎn)A在雙曲線＞,=—(x＞0)±,

X

43a2=V3?解得：。=1或a=—1(舍)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,石)；

同理，設(shè)。僅，60-2)),則麻(6-2)=行，解得：人=痣+1(負(fù)值舍去),

則點(diǎn)O的坐標(biāo)為(應(yīng)+1,后-G).

【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征及等邊三角形的性質(zhì).

【練習(xí)32]已知三角形ABC為等腰直角三角形，且A(2,3),B、C分別在坐標(biāo)軸上,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是.

【難度】★★★

【答案】見解析.

【解析】如圖所示：4(-1,0);B式2,0)；員(5,0)；B4(O,5)；耳(0,3)；線(0,1).

【總結(jié)】本題考查了簡單的‘?dāng)?shù)形結(jié)合’思想.

16/33

解答題

【練習(xí)33](1)已知。=——r=,求4〃+4的值;

1-V2y/a2-2a+l

(2)己知：5,2-x+3jx-2=y+l,求Jx+y的值.

【難度】★★

【答案】（1）4-272；（2）1.

【解析】⑴?.?a=^==-2(l+⑸<0,

1—5/2

，原式與學(xué)舞

y1(a-l)2l-a1+2(1+V2)

(2)V2—x>0,x—2之0,:.x=2y/.y+1=0,y=-1,

Jx+y=J2-1=1.

【總結(jié)】本題考查了二次根式的化簡和運(yùn)算.

【練習(xí)34］解方程：

（1）6=0；(2)-2X2-3(X-1)=(X+1)2.

【難度】★★

【答案】（1）西=且且亙，々=弟二叵5;（2）XL=~,X2=-2

663

【解析】⑴A/3X2-X-7V3=0,△=l+4gx7百=85>0,解得：xJ士寫,

2V3

y/3+y/255^/3-^/255

.?.原方程的解為士=

66

(2)-2X2-3(JC-1)=(X+1)2,化簡得：3X2+5X-2=0,(3x-l)(x+2)=0

原方程的解為X1=g,x2--2

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的解法.

17/33

【練習(xí)35】證明：無論，"，〃取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程/nr?+(m+〃)x+〃=O都有實(shí)數(shù)根.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】①當(dāng)《?=()時(shí)，原方程可化為《%+”=(),解得：x=-l:

②當(dāng)機(jī)工0時(shí)，方程為一元二次方程，△=(切+")2-4〃?"=(機(jī)-")220,

故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

所以無論根、〃取任何值，方程都有實(shí)數(shù)根.

【總結(jié)】本題考查了方程跟的情況，注意分類討論.

【練習(xí)36】某商店將進(jìn)價(jià)為8元的商品每件按10元出售，每天可買出200件，現(xiàn)在采取

提高商品售價(jià)的辦法來增加利潤，如果這種商品每件的銷售價(jià)每提高0.5元銷售量

就減少10件，問應(yīng)將每件售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天利潤為640元.

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】解：設(shè)每件售價(jià)定為x元(x>10)，

由題意得：(x-8){200-10[(x-10"0.5]}=640

2

化簡得：%-28%+192=0,解得：%,=12,x2=16

當(dāng)x=12時(shí)，{200-10[(x-10)-0.5]}=160；

當(dāng)x=16時(shí)，{200-10[(x-10)+0.5]}=80.

所以售價(jià)定為12元時(shí)每天可售160件，售價(jià)定為16元時(shí)每天可售80件，利潤可達(dá)每天

640元.

【總結(jié)】本題主要考查利用?元二次方程解決利潤問題.

【練習(xí)37】已知正比例函數(shù)y=(匕+1)%的圖像經(jīng)過A(2,-4)、8(”,2)兩點(diǎn).

(1)求團(tuán)的值；

(2)如果點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=?(exO)的圖像上，求反比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】(1)/n=-l；(2)y=--.

x

【解析】(1)因?yàn)檎壤瘮?shù)圖像經(jīng)過A(2,-4),所以2依+1)=T,解得：用=-3,

所以正比例函數(shù)解析式為y=-2x,由題意得，當(dāng)y=2時(shí)，-2m=2,得：加=-1；

(2)由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖像，得：k2=-lx2=-2,

所以反比例函數(shù)解析式為y=-

x

【總結(jié)】本題考查了利用待定系數(shù)法求正反比例函數(shù)的解析式.

【練習(xí)38]如圖，在AABC中，NC=90度，AC=BC,AO平分NCA8,AB=20cm.

求AC+CQ的長.

【難度】★★

【答案】20cm.

【解析】過。作￡>E_L49,垂足為點(diǎn)E,

"ZC=90°.：.ZC=ZDEA.平分NC4B,:.ZCAD=ZEAD.

ZC=ZAED

在AACD和AAED中，-NC4。=^DAE,

AD=AD

:.MCD=MED,：.AC=AE,CD=DE.

又AC=BC,ZACB=90,r.AABC是等腰直角三角形,

ZB=ZCAB=45°)NBDE=180°-90°-45=45°，

ZEDB=ZB,:.CD=DE=EB,

AC+CD=AE+EB=AB=20cm.

【總結(jié)】本題考查了構(gòu)建全等三角形證明線段相等.

19/33

【練習(xí)39]如圖：在四邊形中，ZC=90°,8c=3,CD=4,AD=\2,AB=\3,求

四邊形A8CQ的面積.A.

【難度】★★

【答案】36.\

【解析】NC=90°,8c=3,8=4,\

由勾股定理得：BD=7BC2+￡）C2=5,1/

BC

vAB=13,AD=\2,AD2+BD2=AB2,ZADB=90，,,

四邊形ABC。的面積5=5.8+S1MM>=gx3x4+gx5xl2=36.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，從而快速求出幾何圖形的面積.

【練習(xí)40】小智和小方沿同一條路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到圖書館查閱資料，學(xué)校與圖書館的路

程是4千米，小智騎自行車，小方步行，當(dāng)小智從原路回到學(xué)校時(shí)，小方剛好到達(dá)圖

書館，圖中折現(xiàn)O———B——C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程y（千米）

與所經(jīng)過的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）小智在圖書館查閱資料的時(shí)間為分鐘，小智返回學(xué)校的速度為

千米/分鐘；

（2）請你求出小方離開學(xué)校的路程y（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)

關(guān)系.

【難度】★★

【答案】（1）15.—；（2）y=—X0<x<45）.

1545

【解析】（1）30-15=15（分鐘）,

4

4+15=—（km/min）,

15

所以小智在圖書館查閱資料的時(shí)間為15分鐘，

小智返回學(xué)校的速度為上千米/分鐘.

15

（2）由圖像可知，y是x的正比例函數(shù)，設(shè)所求函數(shù)的解析式為），=米々W0）,

4

代入（45,4）,得：4=45%,解得：k=—,

所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為："[乂04X445）.

【總結(jié)】本題考查了正比例函數(shù)解析式的求法，注意數(shù)形結(jié)合的理解.

【練習(xí)41]如圖，在四邊形ABC。中，NABC=N4DC=90。，對角線AC與8。相交于點(diǎn)

O,M、N分別是邊AC、8。的中點(diǎn).

(1)求證：MNLBD；A

(2)當(dāng)/BC4=15。，AC^Scm,OB=OM時(shí)，求MN的長.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】(1)證明：連接8似、DM.

ZABC=ZADC=90：點(diǎn)、M、煎N分別是邊AC,8。的中點(diǎn),

BM=DM=-AC.

2

???N是的的中點(diǎn)，

MN±BD.

(2)vZBCA=15°,BM=CM=-AC,

2

ZBC4=ZCBM=15°,

:.ZBMA=30°.

?：OB=OM,

AC=8,BM--AC,

2

在RfABMN中,ZBNM=90°,NNBM=30°,

:.MN=-BM=2.

2

【總結(jié)】本題考查了等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

【練習(xí)42]已知：如圖（a）,在等腰三角形ABC中，ZC=90°,AO是NC48的平分線.

（1）求證：AB=AC+CD；

（2）把原題中的“NC=90?！备臑椤?C=100。"，其余條件不變，如圖他），請說出AB、

【答案】見解析.

【解析】（1）在邊AB上截取AE=AC；

：4）是NC4￡>的角平分線，ZCAD=ZDAB,

:ADAD,AE=AC,..A4CD=A4￡Z）,

:.CD=DE,ZAED=NC=90°,

-.AB^AC,；.NCAB=NB=45°,NBDE=NB=45°,

/.DE=BE=CD,AB=AE+BE=AC+CD；

（2）AB=AD+CD.

證明：在AB上截取AE=AC,AF=ADf

AC=BC,ZC=100,...NR4C=N8=40°,

又???4）平分ZC4B,Z.CAD=/BAD=20°,

由（1）得AACDMMEO,:.DE=CD,ZAED=NC=100°,:.NDEB=80°,

vAF=ADfZMD=20°,?.ZADF=ZAFD=80°f:.DF=DE=CD,

vZBFD=100°,N8=40°,ZFDB=40°,則用=0尸=8,

..AB=AF+BF=AD+CD.

【總結(jié)】本題考查了輔助線的添法--截長補(bǔ)短法的運(yùn)用，注意對題目條件的有效分析.

【練習(xí)43]己知：在AABC中，AB=AC,AD1BC,垂足為。，BE±AC,垂足為E,M為

AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。E,0M設(shè)NC=a.

(1)當(dāng)AABC時(shí)銳角三角形時(shí)(如圖)，試用a表示/E￡)M；

(2)當(dāng)AABC時(shí)鈍角三角形時(shí)?，請畫出相應(yīng)的圖形，并用a表示NEOM(可直接寫出).

【難度】★★

【答案】（1）N￡?M=3a-180°；（2）NE￡>〃=180°-3a.

【解析】（1）VAB=AC,ADVBC,:.BD=CD,

■：BEVAC,

：.CD=DE=-BC,

2

NCDE=180°-2ZC=180°-2a,

又；ADA.BC,M為AC中點(diǎn)，

CM=DM=-AC,

2

ZCDM=ZC=a,

ZEDM=ZCDM-NCDE=a-（180。-2a）=3a-180。.

（2）如圖，同（1）可得：

NCOE=180。-2NC=18（T-2a,

ZCDM=ZC=a,

ZEDM=ZCDE-ZCDM=1800-2a-a=180°-3a.

【總結(jié)】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，注意角度之間的關(guān)系.

八年

【練習(xí)44]如圖，在氣象站臺A的正西方向240千米的8處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心

以每小時(shí)20千米的速度沿北偏東60。的BD方向移動(dòng)，在距離臺風(fēng)中心130千米內(nèi)的地

方都要受其影響.

(1)臺風(fēng)中心在移動(dòng)的過程中，與氣象臺A的最短距離是多少？

(2)臺風(fēng)中心在移動(dòng)的過程中，氣象臺將受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響氣象臺的時(shí)間

會(huì)持續(xù)多長？

【難度】★★

【答案】(1)120%加；(2)5小時(shí).

【解析】(1)如圖，過點(diǎn)A作A￡_LBD于E,

?.?臺風(fēng)中心在3力上移動(dòng)，

他就是氣象臺距離臺風(fēng)中心的最短距離,

在RAABE中,AB=240km,ZABE=30,

AE=-AB=120km,

2

所以臺風(fēng)中心在移動(dòng)過程中，與氣象臺A的最短距離為12()切?;

(2)由題意得：線段CD就是氣象臺A受到臺風(fēng)影響的路程，

在RtMCE中，AC=130%〃4AE=120km,

CE=ylAC2-AE2=V1302-1202=50km,

???AC=AD,AEVCD,

：.CE=ED=50km,

CD=1QOkm,

.,?臺風(fēng)影響氣象臺的時(shí)間會(huì)持續(xù)l(X)+2()=5(小時(shí)).

【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題的運(yùn)用.

24/33

【練習(xí)45]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,，〃）0A=2,

正比例函數(shù)y=主和反比例函數(shù)），=匕的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A,過點(diǎn)A作0A的垂線交

mx

X軸于點(diǎn)B.

（1）求〃，和A的值；（2）求點(diǎn)8的坐標(biāo).

【難度】★★

【答案】（I）百；&=Q+1；（2）8（4,0）.

【解析】（1）???第一象限內(nèi)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,機(jī)），

在正比例函數(shù)y=必的圖像上，

m

m=3xl,解得：m=±-\/3,

m

?.?正比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限,

tn=>[?>,

則A（1,G）,代入y=—~,解得：k=-y/3+1.

（2）由（1）得A（l,6），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（。，0）,

AO=2,BO=a,A8=-+(6/,

由題意得：BAYOA.

則在RrAOW中，由勾股定理：AB2+AO2=BO2,

所以-1）~+3+4=a~,解得：a—4,

所以8（4,0）.

【總結(jié)】本題考查了正反比例函數(shù)性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.

25/33

八年

【練習(xí)46]如圖，細(xì)心觀察，認(rèn)真分析各式，如何解答問題:

(71)2+1=2S,=y

(何+1=3S,=—

2

(6)2+1=4S、=g

2

(1)用含有〃(〃是正整數(shù))的等式表述上述的變化規(guī)律;

(2)推算出0Ao的長；

(3)求出5：+邑2+$32+...+品：的值.

【難度】★★

【答案】(1)S“=乎(〃eN)；

(2)。/=加；

(3)—.

4

【解析】(1)由己知式子可得：(冊1+1=〃+1,

S"="N)；

(2)由圖可得：<?A=VI,O4=2x=>[2,04=2x,

所以O(shè)Ao=J市;

(3)由(I)、(2)得：S；+s1+S(+...+S*=；(l+2+...+10)=^.

【總結(jié)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用.

26/33

【練習(xí)47]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AAOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（0,3）,點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)尸是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,并把AAOP

繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A。與A8重合，得到AA8D.

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（6,0）時(shí)，求此時(shí)OP的長及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

A

（2）若△。尸。的面積等于土，請求出符合條件的點(diǎn)尸.

.?.旋轉(zhuǎn)角=/。45=/皿＞=60°,AD=AP,

AAPD是等邊二角形，.二DP=AP.

A（o,3）,p（6o），

AP=1㈣2+32=2百，

NOAP=30,DP=AP=20

ZOAD=ZOAP+ZPAD=90°.

.?.點(diǎn)O坐標(biāo)為（26,3）,DP=243.