備考2025年中考數(shù)學(xué)技巧專題突破（全國）專題2-2 費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)（解析版）

專題2-2費(fèi)馬點(diǎn)與加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)詳細(xì)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型

題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型

知識(shí)點(diǎn)梳理

【常規(guī)費(fèi)馬點(diǎn)】

【問題提出】如圖ABC所有的內(nèi)角都小于120度，在ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，

當(dāng)PA＋PB＋PC的△值最小時(shí)，求此時(shí)∠APB與∠APC的△度數(shù).

【問題處理】如圖1，將ACP繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到A’CP’，則ACP≌A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，

又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等邊三角形，∴PP’＝PC，△∴PA＋PB△＋PC＝△P’A’＋PB＋PP’，

△

如圖2，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、P、P’、A’共線時(shí)，PA＋PB＋PC最小，最小值為A’B，此時(shí)∠BPC＝∠APC＝∠APB＝

120°

【問題歸納】如費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)．費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：

1對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三

角形的等角中心；

2對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)．

【如何作費(fèi)馬點(diǎn)】如圖3，連接AA’，我們發(fā)現(xiàn)ACA’為等邊三角形，點(diǎn)P在A’B上，同理，我們可以得到等邊

BAB’，點(diǎn)P也在CB’上，因此，我們可以以A△BC三角形任意兩邊為邊向外構(gòu)造等邊三角形，相應(yīng)連線的交

△點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)。（最大角小于120°時(shí)）△

【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．

【答案】62

2

【分析】如圖，以AC為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至于點(diǎn)P的位

置？這不重要！

如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H點(diǎn)，根

據(jù)勾股定理，BD2BH2DH2即可得出結(jié)果．

【練習(xí)1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME

的最小值為______．

【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．

分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，

易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值．

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題，解決方法類似，也

是通過旋轉(zhuǎn)進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉(zhuǎn)或放縮方法。

【類型一單系數(shù)類】

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：2對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，3對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°

另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋2PC的最小值

【簡析】本題有2種解題策略，旋轉(zhuǎn)特殊角和旋轉(zhuǎn)放縮

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1，APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，易知P’P＝2PC，A’B即為所求

△

方法一：如圖2，B，P，P’，A’共線時(shí)取最小，此時(shí)∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝22，

PC＝CH－PH＝232，∴PP’＝2622，PB＋PP’＋A’P’＝2622

方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝23BH423，由勾股可得A’B＝

2622

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】可按如下方法去旋轉(zhuǎn)放縮（方法不唯一）

如圖4，將三角形BPC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)45°，再擴(kuò)大為原來的2倍，得到△BP'C'

則AP＋BP＋2PCAP＋PP'P'CAC'

補(bǔ)充：也可以按圖5方式旋轉(zhuǎn)

【練習(xí)2】在△ABC中，AC＝3，BC＝23，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求AP＋BP＋3PC的最小值

Rt

【策略一：旋轉(zhuǎn)特殊角】如圖1，APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，則有PP’＝3PC，

AP＋BP＋PC＝AP'＋BP＋PP'A△'B27

【策略二：旋轉(zhuǎn)放縮】如圖2，APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，再擴(kuò)大為原來的3倍，

△

則AP＋BP＋3PCPP'＋BPP'C'BC'，計(jì)算略

【類型二多系數(shù)類】

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

【例3】如圖，在△ABC中，ACB60，BC3，AC4，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，

1331

則（1）PAPBPC的最小值為________；（2）PAPBPC的最小值為________

2222

11

【簡答】（1）將最小系數(shù)提到括號(hào)外，得到(PA3PB2PC)

22

中間大小系數(shù)為3，故放大倍數(shù)為3倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△PBC．

如圖1，將△PBC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大為3倍，B'P'3BP，PP'2PC．

11179

PA3PB2PCPAPP'P'B'AB'．

2222

11

（2）將最小系數(shù)提到括號(hào)外，得到(3PAPB2PC)，

22

如圖2，將△APB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大為3倍，A'P'3AP，PP'2PC．

111

(3PAPB2PC)A'P'BPPP'A'B93

222

【練習(xí)3】如圖，在△ABC中，ACB60，BC33，AC6，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，

則2PAPB5PC的最小值為________．

【簡答】將△PAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得到△PAC，PA2PA，PP5PC

2PAPB5PCAPPPPBAB，AC2AC12，A'CB9060150，

13

AHAC6，CHAC63，BH93，由勾股定理可得AB331，

22

2PAPB5PC的最小值為331.

題型一普通費(fèi)馬點(diǎn)最值問題

1．（2021濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則

PA＋PB＋PC的最小值為_________．

B

P

CA

【答案】7

【解析】將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AB′P′，連接P′P，B′C．

B'

P'

B

P

CA

則AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°，

∴△P′PA是等邊三角形，∴PA＝P′P．

∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°，

3

∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝3，

2

∴B′C＝AC2BA2＝7．

∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C，

∴PA＋PB＋PC的最小值為7．

2．問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA

＋PC＝PE．

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝42，點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△

MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是______．

【解析】過點(diǎn)H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點(diǎn)，根據(jù)∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ＝HQ＝4，∴NH＝

NQ2HQ210016229

4．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．

【解析】如圖1，以AD為邊構(gòu)造等邊ACD，連接BD，BD的長即為PA＋PB＋PC的最小值．

考慮到ABC和ACD都是特殊的三角形，所以構(gòu)造特殊直角三角形

△

如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，222

△△BDBHDH=6+2

圖1圖2

5．已知，在ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝7(CBCA)點(diǎn)P是ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB＋PC

的最小值△為________△

原圖圖1

【解析】如圖1，將APC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考慮到∠

BCA＝30°，∴∠△BCC’＝90°，作AH⊥BC，△可得BC＝33，∴BC’＝43

6．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋

ME的最小值為______．

【解析】如圖1，依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊ADF、

等邊AMG，連接FG，易證AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF

△

如圖2，過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值．FG＝4＋

△△23

7．A、B、C、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)邊長為2a正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每兩個(gè)城市之

間都有公路相通，并使整個(gè)公路系統(tǒng)的總長度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？最小

長度是多少？

【解析】如圖1，ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到A’P’B；同樣，將DCQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到

D’CQ’，連結(jié)A’A、D’D，則ABA’、DCD’均為等邊三角形，連結(jié)PP’、QQ’，則BPP’，

△△△

QCQ’均為等邊三角形，AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’

△△△△

△

如圖2，當(dāng)點(diǎn)A’，P’，P，Q，Q’，D’共線時(shí)，整個(gè)公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段A’D’的長，此時(shí)點(diǎn)P，

Q在A’D’上，最小值為．

223a

2023·隨州中考真題

8．1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平

面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，

該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn)）

當(dāng)ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120時(shí)，

如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP，

由PCPC，PCP60，可知△PCP為①三角形，故PPPC，又PAPA，故

PAPBPCPAPBPPAB，

由②可知，當(dāng)B，P，P，A在同一條直線上時(shí)，PAPBPC取最小值，如圖2，最小值為AB，此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有APCBPCAPB③；

已知當(dāng)ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若BAC120，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．

(2)如圖4，在ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120，且AC3，BC4，ACB30，已知點(diǎn)P為ABC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求PAPBPC的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC4km，BC23km，ACB60．現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果

用含a的式子表示）

【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120；④．

(2)5

A

(3)213a

【解題思路】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，即可得出可知當(dāng)B，P，P，A在同

一條直線上時(shí)，PAPBPC取最小值，最小值為AB，在根據(jù)ACB30可證明

ACAACPBCPPCP90，由勾股定理求AB即可，

（3）由總的鋪設(shè)成本a(PAPB2PC)，通過將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到APC，得到等

腰直角PPC，得到2PCPP，即可得出當(dāng)B，P，P，A在同一條直線上時(shí)，PAPBPP取最小值，

即PAPB2PC取最小值為AB，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出AB即可．

【詳解】（1）解：∵PCPC，PCP60，

∴△PCP為等邊三角形；

∴PPPC，PPCPPC60，

又PAPA，故PAPBPCPAPBPPAB，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P，A在同一條直線上時(shí)，PAPBPC取最小值，

最小值為AB，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，

∴BPCPPC180，APCPPC180，

∴BPC120，APC120，

又∵APCAPC，

∴APCAPC120，

∴APB360APCBPC120，

∴APCBPCAPB120；

∵BAC120，

∴BCAC，BCAB，

∴BCABACAB，BCACABAC，

∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。?/p>

又∵已知當(dāng)ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．

∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，

故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120；④A．

（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到APC，連接PP，

由（1）可知當(dāng)B，P，P，A在同一條直線上時(shí)，PAPBPC取最小值，最小值為AB，

∵ACPACP，

∴ACPBCPACPBCPACB30，

又∵PCP60

∴BCAACPBCPPCP90，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ACAC3，

∴ABBC2AC242325，

∴PAPBPC最小值為5，

（3）∵總的鋪設(shè)成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)

∴當(dāng)PAPB2PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，

將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到APC，連接PP，AB

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：PCPC，PCPACA90，PAPA，ACAC4km，

∴PP2PC，

∴PAPB2PCPAPBPP，

當(dāng)B，P，P，A在同一條直線上時(shí)，PAPBPP取最小值，即PAPB2PC取最小值為AB，

過點(diǎn)A作AHBC，垂足為H，

∵ACB60，ACA90，

∴ACH30，

1

∴AHAC2km，

2

∴HCAC2AH2422223(km)，

∴BHBCCH2323=43(km)，

∴ABAH2BH2(43)222213(km)

PAPB2PC的最小值為213km

總的鋪設(shè)成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)=213a（元）

廣東省江門市一模

9．如圖，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，點(diǎn)P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則點(diǎn)P到ABC三個(gè)頂點(diǎn)

之和的最小值是．

【答案】67

【分析】將ABP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到△AEH，連接EP，CH，過點(diǎn)C作CNAH，交HA的

延長線于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，易得

△AEP是等邊三角形，可得AEAPEP，進(jìn)而得到APBPPCEPEHPC，當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共

線時(shí)，APBPPC有最小值HC，再求出CN和HN的長度，由勾股定理可求解．

【詳解】解：將ABP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到△AEH，連接EP，CH，過點(diǎn)C作CNAH，交HA

的延長線于N，

∴BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，

∴HABEAP60，

∴△AEP是等邊三角形，

∴AEAPEP，

∴APBPPCEPEHPC，

∴當(dāng)點(diǎn)H、E、P、C共線時(shí)，APBPPC有最小值HC．

∵NAC180BAHBAC180609030，AC23，

1

∴CNAC3，

2

22

∴ANAC2CN22333，

∴HNAHAN538．

2

在Rt△CNH中，CHHN2CN282367，

即點(diǎn)P到ABC三個(gè)頂點(diǎn)之和的最小值是67

武漢中考

10．問題背景：如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：

PA+PC=PE．

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是______．

【答案】229

【分析】本題的問題背景實(shí)際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)然如果已經(jīng)了解了費(fèi)馬點(diǎn)問題，

直接來解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊△MGH，連接NH，則NH的值即為所求的點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最

小值．（此處不再證明）

過點(diǎn)H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點(diǎn)，

根據(jù)∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，

∴NH=NQ2HQ210016229．

2023·四川宜賓·中考真題

11．如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A3,0，頂點(diǎn)為M1,m，且拋物線與y軸的交點(diǎn)B在0，2和

0，3之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)3x1時(shí)，y0；

333

②當(dāng)ABM的面積為時(shí)，a；

22

③當(dāng)ABM為直角三角形時(shí)，在AOB內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方為

1893．

其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②

【解題思路】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可判斷①；設(shè)拋物線為

yax1x3，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)割補(bǔ)法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點(diǎn)O為

旋轉(zhuǎn)中心，將AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至AOA'，連接AA'，PP'，A'B，得到PAPOPBP'A+PP'PBA'B，

判斷③．

【詳解】解：∵拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A3,0，頂點(diǎn)為M1,m，

∴對(duì)稱軸x=1，

∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，

由圖象可得：當(dāng)3x1時(shí)，y0；

∴①正確，符合題意；

∵拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，

∴設(shè)拋物線為yax1x3，

當(dāng)x=1時(shí)，y4a，當(dāng)x=0時(shí)，y3a，

∴M1,4a，B0,3a，

如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線l，過點(diǎn)A作AEl，過點(diǎn)B作BNl，

133

∴SVSVSVMFAO=，

ABMAMFBMF22

設(shè)直線AB的解析式為yk'xb'，

3k+b0

把B0,3a，A3,0代入得：，

b3a

ka

解得：，

b3a

∴直線AB的解析式為yax3a，

當(dāng)x=1是，y2a，

∴F1,2a，

∴MF2a，

133

∴2a3=，

22

3

解得：a，故②正確；

2

∵點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

∴當(dāng)x0時(shí)，y3a，

∴B0,3a，

∵ABM為直角三角形，

當(dāng)AMB90時(shí)，

∴AM2BM2AB2，

222222

∵AM=24a416a2，BM=1a1a2，AB=33a99a2，

∴416a21a299a2，整理得：8a24，

22

解得：a或（舍）

22

32

∴B0,，

2

當(dāng)ABM90時(shí)，

∴AB2BM2AM2，

∴416a299a21a2，整理得：6a26

解得：a1或1（舍）

∴B0,3，

當(dāng)MAB90時(shí)，

∴AB2AM2BM2，

∴416a21a299a2，無解；

以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至AOA'，連接AA'，PP'，A'B，如圖所示，

則AOA'，POP'為等邊三角形，

∴OP=PP'，APAP'，

∴PAPOPBPA+PPPBAB，

∵AOA'為等邊三角形，A3,0

3

333

∴x'=，y'=tan60=，

A2A22

驏

'琪333

∴A琪,，

桫琪22

32

當(dāng)B0,時(shí)，

2

驏2驏2

'2琪3琪33325496

∵AB=琪+琪+=+，

桫琪2桫琪2242

當(dāng)B0,3時(shí)，

驏2驏2

'2琪3琪33

AB=琪+琪+3=18+93，此時(shí)不符合題意，故③錯(cuò)誤；

桫琪2桫琪2

故答案為：①②．

一題四問，從特殊到一般

12．背景資料：在已知ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是

法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖

1，當(dāng)ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，當(dāng)APBAPCCPB120時(shí)，則

PAPBPC取得最小值．

(1)如圖2，等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求APB的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時(shí)ACP≌ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出APB_______；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問

題．

(2)如圖3，ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在ABC外側(cè)作等邊三角形ABB，連接CB，求證：CB過ABC

的費(fèi)馬點(diǎn)．

(3)如圖4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，

求PAPBPC的值．

(4)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，且邊長AB2；求AEBECE

的最小值．

【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)7；(4)62．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出ABP≌△ACP，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

根據(jù)ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股

定理逆定理22222，得出是直角三角形，∠，可求∠∠

△PPPC3425PC△PP′CPP′C=90°AP′C=APP+

∠即可；

PPC=60°+90°=150°△

（2）將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)APB≌AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，APP′和ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)PAPBPCPPPBPC，

△△△△

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PAPBPC最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；

△△

（3）將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出APB≌△AP′B′，可證APP′和ABB′均

為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)PAPBPCPPPBPC，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，

△△△△△

點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PAPBPC最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理

BC=AB2AC222123，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在RtCBB′

2

中，B′C=BC2BB23227即可；△

（4）將BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出

BCE≌CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證ECE′與BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，

△△

∠B′BC=60°，AEBECEAEEEEB，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，

△△△△

AEBECEAEEEEB最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求

11

∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=BB21，勾股定

22

理BF=BB2BF222123，可求AF=AB+BF=2+3，再根據(jù)勾股定理

2

AB′=AF2BF2231262即可．

【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，

∵ABP≌△ACP，

∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，

∴△APP′為等邊三角形，

,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，

在P′PC中，PC=5，

22222，

PP△PC3425PC

∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠AP′C=150°，

故答案為150°；

（2）證明：將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AB′P′，連結(jié)PP′，

∵△APB≌AB′P′，

△△

∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，

∴PP′=AP，

△

∵PAPBPCPPPBPC，

∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PAPBPC最小=CB′，

∴點(diǎn)P在CB′上，

∴CB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（3）解：將APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，

∴△APB≌△AP′B′，

△△

∴AP′=AP，AB′=AB，

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，

∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，

△

∵PAPBPCPPPBPC

∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PAPBPC最小=CB′，

∵C90，AC1，ABC30，

∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=AB2AC222123

∴BB′=AB=2，

∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，

2

∴在RtCBB′中，B′C=BC2BB23227

∴PA△PBPC最小=CB′=7；

（4）解：將BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，

∴△BCE≌△CE′B′，

△△

∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，

∵∠ECE′=∠BCB′=60°，

∴△ECE′與BCB′均為等邊三角形，

∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，

△

∵AEBECEAEEEEB，

∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，AEBECEAEEEEB最小=AB′，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=2，∠ABC=90°，

∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，

∵B′F⊥AF，

11

∴BF=BB21，BF=BB2BF222123，

22

∴AF=AB+BF=2+3，

2

∴AB′=AF2BF2231262，

∴AEBECE最小=AB′=62．

題型二加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·單系數(shù)型

2023·武漢·慧泉中學(xué)校月考

3

13．如圖，Rt△ABC中，CAB30，BC，點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC，則PCPB3PA

2

的最小值為.

3

【答案】13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得DP3AP，于是所求

PCPB3PA的最小值轉(zhuǎn)化為求DEPDPB的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得DEPDPB的最

小值即為線段EB的長，然后求出EB的長即可解決問題.

【詳解】解：將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，得到△AED，連接DP,EB，過點(diǎn)E作EFBA交BA的延

長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AMDP于點(diǎn)M，如圖，

則ADAP,DECP,DAP120,EAC120，

∵AMDP，

∴DMPM,ADMAPM30，

1

∴AMAP，

2

3

∴PMAP2AM2AP，

2

∴DP2PM3AP，

∴PCPB3PADEPDPBEB，即PCPB3PA的最小值為EB的長（當(dāng)點(diǎn)E、D、P、B四點(diǎn)

共線時(shí)取最小值），

3

∵Rt△ABC中，CAB30，BC，

2

2

233

∴AB2BC3,AC33，

22

33

∴AEAC，

2

∵CAB30,EAC120，

∴EAF30，

1339

則在直角三角形AEF中，EFAE,AF3EF，

244

22

92133213

∴BF3，∴22

BEBFEF13

44442

西安市鐵一中二模

14．已知，如圖在ABC中，ACB30，BC5，AC6，在ABC內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則

DADB2DC的最小值是．

【答案】91．

【分析】把CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長于E，則CD=CD′，BD=B′D′，

51753

∠CDD′=∠C△D′D=45°，可求DD′=△2CD，在RtCEB′中，可求CE=，AE=，BE=，當(dāng)點(diǎn)A、D、

222

D′、B′四點(diǎn)在一直線時(shí)，AB′最短，可求AB′=BD△+2CD+AD=91．

【詳解】解：把CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長于E，

則CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，

△△

∴DD′=CD÷cos45°=2CD，

∵ACB30，BCB90，

∴BCE180ACBBCB180309060，

在RtCEB′中，

15

∴CE△=B′C·cos60°=5=，

22

517

∴AE=AC+CE=6+=，

22

353

∴BE=B′C·sin60°=5=，

22

當(dāng)點(diǎn)A、D、D′、B′四點(diǎn)在一直線時(shí)，AB′最短，

2

2

∴221753364，

AB′最短=AEBE91

222

AB′=B′D′+D′D+AD=BD+2CD+AD=91．

故答案為：91．

2023·成都市郫都區(qū)中考二模

15．如圖，矩形ABCD中，AB2，BC3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)．將ABEF沿著EF

翻折，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，若點(diǎn)P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC、PD，則PB'2PCPD的最

小值為．

【答案】261

【分析】將△CDP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到CDP，連接PP，連接ED'，由等腰三角形CPP'得出

PP'2PC，再由折疊得出點(diǎn)B'的軌跡在點(diǎn)E為圓心，EB為半徑的圓周上，所以EB'PB'PP'P'D'的

最小值為ED'，即PB'2PCPD的最小值為ED'EB'，經(jīng)計(jì)算答出答案即可．

【詳解】解：將△CDP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到CDP'，

連接PP'，連接ED'，

則B，C，D'共線，PDP'D'，

CD'CDAB2，

PP'2PC，

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

11

EBAB21，

22

BD'BCCD'325，

ED'BE2D'B2

1252

26，

由△BEF折疊成B'EF，

EBEB'EA，

點(diǎn)B在以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑的圓上，

EB'1，

兩點(diǎn)間線段最短，

ED'EB'PB'PP'P'D'，

即ED'EB'PB'2PCPD

261PB'2PCPD，

PB'2PCPD261，

則PB'2PCPD的最小值為261．

故答案為：261．

題型三加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)·多系數(shù)型

15

16．在邊長為4的正△ABC中有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）2的最小值

22

【解析】如圖1，APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，取P’C，A’C的中點(diǎn)M，N

511

易知PM＝PC，△MN＝P’A’＝PA，

222

15

則AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN2＝20＋83即為所求

22

17．在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，求3AP＋4BP＋5PC的最小值

33

【解析】如圖1，APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’，

44

5△33

易知PM＝PC，MN＝P’A’＝PA，3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤BN

444

成都七中育才學(xué)校月考

18．在ABC中，AB3，AC4，BAC的角平分線交BC于E，過C作射線AE的垂線，垂足為D，連

3PC4PD5PA

接BD，當(dāng)S△S△取大值時(shí)，在ACD內(nèi)部取點(diǎn)P，則的最小值是．

ACEBED4

【答案】29

【分析】延長CD交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作BC邊上的高AH，得出ADF≌ADC，則BF1，根據(jù)AD是

BE3

BAC的角平分線，得出，設(shè)S3S，則S4S，過點(diǎn)D分別作AF,AC的垂線，垂足為M,N，

EC4BDEEDC

1

得出SS，SS21S，則當(dāng)S最大時(shí)，SS取得最大值，進(jìn)而可得當(dāng)

42ABC△ACE△BEDABC△ACE△BED

3

CAB90時(shí)，S取得最大值，則CAD45，延長BA至C，使得ACAC3，作PAPA，

ABC4

33PC4PD5PA

APAP，連接PP,CP，構(gòu)造CAP∽CAP，可得PCPPPDCD，進(jìn)而勾

44

股定理，即可求解．

【詳解】解：如圖所示，延長CD交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作BC邊上的高AH，

∵BAC的角平分線交BC于E，ADCF

∴FADCAD,ADCADF

又ADAD

∴ADF≌ADC，

∴AFAC4，DCDF

則BF1

∵AD是BAC的角平分線，設(shè)E到AB的距離為d，則E到AC的距離也為d，

11

BEAHABd

S

∴ABE22

S11

AECECAHACd

22

BE3

∴，

EC4

設(shè)SBDE3S，則SEDC4S

∵DCDF

∴SBDFSBDC7S，

過點(diǎn)D分別作AF,AC的垂線，垂足為M,N

27S

∴DMDN14S，

1

11

∴S314S21S,S414S28S

ABD2ADC2

∴SAECSADCSAEC28S4S24S，SABC2SADCSFBC228S27S42S

∴S△ACES△BED24S3S21S

1

∵SS

42ABC

∴當(dāng)SABC最大時(shí)，S△ACES△BED取得最大值，

設(shè)AB邊上的高為CG

∴CGACsinCAB

1

∴SABACsinCAB

ABC2

∴當(dāng)CAB90時(shí)，SABC取得最大值，

2

則CAD45，則△ADC是等腰直角三角形，則ADAC22，

2

33

如圖所示，延長BA至C，使得ACAC3，作PAPA，APAP，連接PP,CP

44

∴CAPCA