專題09 二次函數(shù)的應(yīng)用二（拋物線與幾何圖形問題）（測）練中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測專題通

專題09二次函數(shù)的應(yīng)用二（拋物線與幾何圖形問題）（測案）

、朗居建部）一一他山之石

1.（2020?浙江嘉興市?九年級期末）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A、B兩點，C（m,

?3）是圖象上的一點，且AC_LBC,則a的值為（）

23

【答案】D

【分析】

在直角.三角形4?。中，利用勾股定理g|J-/H（xi+x2）+18+.r1X2=0；然后根據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系即可求得。的值.

【詳解】

過點C作CO_L/18于點。.

?ZCJ_8C,

2

設(shè)ax+bx+c=0的兩根分別為Xi與X2（AI<X2）?

.\A（x\,0）,B（X2>0）.

依題意有（XI-/〃）2+9+（X2-〃?）2+9=（丫1-X2）2,

化簡得：ffl2-〃7（Xl+X2）+9+XlX2=O,

、bc

m24—6+9H—=0,

aa

am2+bn+c=-9a.

???（〃，?3）是圖象上的一點，

:.am2+bm+c=-3?

本題是二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解答本題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想.

2.（2020?湖北黃岡市?九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線），=/一41+6上運動，過

點4作AC_Lx軸于點C,以AC為對角線作矩形ABCO,連結(jié)4力，則對角線3。的最小值為（）

A.1B.2C.V2D.y/3

【答案】B

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AC，要求BD的最小值就是求AC的最小值，而AC的長度對應(yīng)的是A點的縱

坐標，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)找到A點縱坐標的最小值即可.

【詳解】

???四邊形ABCD是矩形

：,BD=AC

?.?y=x2-4x4-6=(x-2)2+2

工頂點坐標為（2,2）

,：點、A在拋物線y=f-41+6上運動

???點A縱坐標的最小值為2

???AC的最小值是2

???BD的最小值也是2

故選:B.

【點睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，掌握矩形的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?山西呂梁市?九年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A(3,0),頂點B在y

軸正半軸上,頂點D在x軸負半軸上,若拋物線y=-x2-5x+c經(jīng)過點B、C,則菱形ABCD的面積為()

【答案】B

【分析】

根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合拋物線過點B、C,即可得出點C的橫坐標，由菱形的性質(zhì)可得出AD=AB=BC=5,

再根據(jù)勾股定理可求出OB的長度，套用平行四邊形的面積公式即可得出菱形ABCD的面積.

【詳解】

解：拋物線的*j稱軸為產(chǎn)-2二-』，

2a2

???拋物線y=22-5x+c經(jīng)過點B、C,且點B在y軸上，BC〃x軸，

二點C的橫坐標為-5.

???四邊形ABCD為菱形，

???AB=BC=AD=5,

???點D的坐標為(-2,0),OA=3.

在R3ABC中,AB=5,OA=3,

=4?

AS菱形ABCD=AD?OB=5X4=20.

故選:B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的面積，根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出AD=5、0B=4是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?九年級期末）如圖，拋物線丁:二一一力與x軸交于從、〃兩點，點夕在一次函數(shù)

4

），=一1+6的圖像上，。是線段左的中點，連結(jié)OQ,則線段。。的最小值是（）

A.—B.IC.V2D.2

2

【答案】A

【分析】

先求得A、B兩點的坐標，設(shè)尸（皿6-6），根據(jù)之間的距離公式列出尸5?關(guān)于山的函數(shù)關(guān)系式，求得其

最小值，即可求得答案.

【詳解】

令y=0,則一f-4=0,

4

解得：x=±4.

???A、B兩點的坐標分別為：4（4,0）.8（-4,0）,

設(shè)點P的坐標為（/〃,6—加），

???PB2=（/n-4）2+（6-/n）2=2m2-20m+52=2（m一5尸+2,

V2>0,

???當加=5時，QB?有最小值為：2，即依有最小值為：及，

YA、B為拋物線的對稱點，對稱軸為y軸，

???0為線段AB中點，且Q為AP中點，

172

???OQ=-PB=^—.

故選：A.

【點睛】

本題考杳了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，涉及到的知識有：兩點之間的距離公式，三角形中位線的性

質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，利用兩點之間的距離公式求得QB?的最小值是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?江蘇蘇州市?九年級期末)如圖，已知二次函數(shù))，=儂2-4"a+3〃7((〃2>0)的圖像與工軸交于4、

B兩點,與)'軸交于點C,連接AC、BC,若C4平分NOCB,則〃?的值為()

A.6B.y[2C.—D.如

23

【答案】D

【分析】

先求出A(l,0),B(3,0),C(0,3m),后證ACOBS/XADB,列比例式求解即可.

【詳解】

解：???二次函數(shù)y=〃氏2—4根1+3〃?((〃2>。)的圖像與工軸交于4、B兩點,與)'軸交于點C,

當y=0時,即0=mx2-4/nv+3m,解得,xi1,X2=3,

AA(l,0),B(3,0),

當x=0時,y=3m,

C(0,3m),

過點A作AD_LBD于點D,如圖,

AAD=OA=I,

又；AB=2,

???BD=G

VZCOB=ZADB,ZB=ZB,

AACOB^AADB,

，三二”即網(wǎng)「，

ADDB1V3

?m-C

??m------,

3

故選D.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質(zhì).正確的添加輔助線和證△COBsaADB

是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)），=/+〃吠+〃頂點。的縱坐標為一3,平行于X

軸的直線/交此拋物線A,B兩點,且A8=6,則點。到直線/的距離為

【答案】9

【分析】

設(shè)出頂點式)，=(不一/?)2—3,根據(jù)A3=6,設(shè)出B(h+3,a),將B點坐標代入，即可求出a值，即可求出

直線I與x軸之間的距離，進一步求出答案.

【詳解】

由題意知函數(shù)的頂點縱坐標為-3,可設(shè)函數(shù)頂點式為y=(x-h?-3,

因為平行于x軸的直線/交此拋物線A,“兩點，且43=6,所以可設(shè)B(h+3,a).

將B(h+3,a)代入y=(x-〃)2—3,得〃=(/?+3—力『一3二6

所以點B到x軸的距離是6,即直線I與x軸的距離是6,

又因為D到x軸的距離是3

所以點。到直線/的距離：3+6=9

故答案為9.

【點睛】

本題考查了頂點式的應(yīng)用，能根據(jù)題意設(shè)出頂點式是解答此題的關(guān)鍵.

7.(2020?河南信陽市?九年級期末)如圖，已知。P的半徑為4,圓心P在拋物線y=x2?2x-3上運動，當

0P與x軸相切時，則圓心P的坐標為.

【答案】(1+20,4),(1-20,4),3,-4)

【分析】

根據(jù)已知OP的半徑為4和。P與x軸相切得出P點的縱坐標，進而得出其橫坐標，即可得出答案.

【詳解】

解：當半徑為4的。P與x軸相切時，

此時P點縱坐標為4或-4,

???當y=4時,4=x2-2x-3,

解得：xi=l+2y/2>X2=I-2^2?

???此時P點坐標為：(1+2JJ,4),(1-2y/2,4),

當y=-4時，-4=x2-2x-3,

解得：X1=X2=1?

???此時P點坐標為：（1，-4）.

綜上所述：P點坐標為：（1+20,4）,（1-20,4）,（1,-4）.

故答案為：（1+2血，4）,（1-272，4）,（1,?4）.

【點睛】

此題是二次函數(shù)綜合和切線的性質(zhì)的綜合題，解答時通過數(shù)形結(jié)合以得到P點縱坐標是解題關(guān)鍵。

8.（2020?浙江臺州市?九年級期末）定義：在平面直角坐標系中，我們將函數(shù)），=r+2的圖象繞原點。逆

時針旋轉(zhuǎn)60。后得到的新曲線L稱為“逆旋拋物線”.

（1）如圖①，己知點4一1,〃），3s,6）在函數(shù)），=/+2的圖象上，拋物線的頂點為C,若L上三點4、

3'、C'是A、B、。旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，連結(jié)A'8',AC'、BC,則又博^二；

<2）如圖②，逆旋拋物線L與直線y二|相交于點M、N,則&WN=.

【答案】3；

2

【分析】

（1）求出點A、B的坐標，再根據(jù)割補法求^ABC的面枳即可得到5M出工.；

（2）將旋轉(zhuǎn)后的MN和拋物線旋轉(zhuǎn)到之前的狀態(tài)，求出直線解析式及交點坐標，利用割補法求面積即可.

【詳解】

解：（1）在），二犬+2上，令x=0,解得y=2,

所以C（0,2）,OC=2,

將A（-1,。）,3（6,6）代入3，=12+2,

解得a=3,b=2,

.?.A(-l,3),8(2,6),

設(shè)A(-1,3),以2,6)的直線解析式為丁="+力,

r3=-k+b

則〈,

I6=2k+b

直線AB解析式為y=x+4,令x=0

解得，y=4,即0D=4,

ACD=4-2=2,SM,8C=；CD?12-(-I)]=lx2x3=3

,,^AA'B'C=3

3

(2)如圖，由旋轉(zhuǎn)知，OE=OE，=/OGF=NEOE'=60°，ZOFG=30°

2

：?OE」FG,OF=3,0(3=43

r—y=-J.3x+33)

直線尸G:y=—G+3,令2-，得/+氐r一1=0

y=x-1-2

.->/3±J(V3)2-4x1x(-1)-限將

??1二--------------------------=

2x12

|=近

???S、OMN=g0/?近=乎

1--------O?

Ml冬圖第②各89

【點睛】

此題考查了二次函數(shù)與幾何問題相結(jié)合的問題，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為解題關(guān)鍵.

9.（2020?重慶巴南區(qū)?九年級期末）如圖，拋物線），=—Y+〃x+c與大軸交于點A（1,O）和點8（-3,0）,與

，'軸交于點C.

（1）求b,。的值；

（2）如圖1,點P為直線8C上方拋物線上的一個動點，設(shè)點尸的橫坐標加.當機為何值時，（JPBC的

面積最大？并求出這個面積的最大值.

（3）如圖2,將該拋物線向左平移2個單位長度得到新的拋物線y=q/+4]+q（q。0）,平移后的

拋物線與原拋物線相交于點。，點M為直線8C上的一點，點N是平面坐標系內(nèi)一點，是否存在點M,

N,使以點3,D,M,N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請

說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）。=-2,c=3；（2）SAMC最大為三;（3）存在，石），M人一小一3,-后）,

8

33

22

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得。的值；

（2）過P作PM〃y軸，交BC于M,利用割補法即可表示□尸BC的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得

最大值；

（3）分①當BD為邊時和②當I3D為對角線時，兩種情況討論即可.

【詳解】

解：(1)將A(1,O),5(-3,0)代入>=一/+云+。得

f0=-l+Z?+c

lo=-9-3"c'解得[lhc==-23'

即方=-2,c=3；

(2)設(shè)P的坐標為(/n,-w?_2m+3)，

在拋物線,，=一/一2x+3,

令x=0,可得y=3,故C(0,3),

設(shè)BC為)，=Ax+f,

將B(-3,0),C(0,3)代入

0=—3k+1k=\

c，解得｛

3=tt=3

，直線BC的解析式為：y=x+3,

過P作PM〃y軸，交BC于M,

則M(m,m+3),

故PM=-m2-2w4-3-(zn+3)=-rrr-3ni,

ii33327

SMBC=S?MB+S,MC=彳尸M(4+刈)=彳PM?3=彳｛-nr-3〃?)=-^(/7?+-)2+—,

LLLLL

327

當加=一7時，S&P8c最大為？；

28

(3)向左平移2個單位后，y=-U+2)2-2(x+2)+3=-X2-6X-5,

y=-x2-2x+3

聯(lián)立《,解得《

y=-x2-6x-5y=3

???D(-2,3),

???8(-3,0),

:?BD=，(-2+3(+(3-0)2二師

①當BD為邊時，BD=BM,

設(shè)必(小〃+3),則BM=J(〃+3>+5+3>=⑸〃+31，

即應(yīng)|〃+3|=而，解得力=宕一3,%=一后一3,

???/％（石-3,5M2（-75-3,-75）；

②當BD為對角線時，DM=BM、

DM=飛—』：

：?J（〃十3）2十（〃+3）2=J（3_/L3）2十〃2，

3

解得力=——，

33

二%（一/，］）?

綜上所述，存在，（6一3,石），M2（-6一二一石），加3（-T，|）?

【點睛】

本題考查二次函數(shù)綜合.（1）中掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵；（2）掌握割補法求面積是解題關(guān)鍵；（3）需

注意分情況討論和兩點之間距離公式.

17

10.（2020?江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校九年級期末）如圖，已知拋物線）-/工一〃（〃>0）與x軸

交于4,B兩點（4點在B點的左邊），與J，軸交于點C.

（1）如圖1,若A/5C為直角三角形,

①求n的值;

②P是拋物線上的一點，。是拋物線的對稱軸上的一點，若以點8、C、P、。為頂點的四邊形是平行四邊

形，請直接寫出符合條件的點尸的坐標;

（2）如圖2,過點B作BC的垂線80分別交拋物線和J軸于點E,KBE=EDt求〃的值.

【答案】（1）①〃=4,②尸點的坐標為（1Lq-和15,q39■卜M—5,2152

；(2)n=—

4-49

【分析】

（1）先證明口40。5口。。8,得到CM、OB、0C之間的關(guān)系，再設(shè)出力和8兩點的坐標，利用根與系

數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于〃的方程，求解即可；

（2）設(shè)出P和0兩點的坐標，再分情況討論哪兩條線段為平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形對角線互

相平分，利用中點坐標公式建立方程求解即可；

（3）先設(shè)出8點坐標，再通過相似建立比例線段，求出七點坐標，然后通過做輔助線構(gòu)造相似三角形，

得到D點的坐標，將8和。兩點坐標同時代入拋物線解析式中求解即可.

【詳解】

解：（1）①由題可知：C（（）,-〃）

???OC2=n2

?淪ABC為直角三角形，

:.AC8=90°

/.ZACO+Z8a>90。

又因為//CO+NC=90。，

：.ZOAC=ZOCB,

由NAOC=ZCOB,

AOC4CQ8,

?^O_OC_AC

''~CO~~OB~~CB

：?Q0B=0O，

設(shè)4石,0）,8（孫0）

X1?x2=-4n=-AOOB

即4〃=n2，

解得〃=0（舍），n=4,

:.71=4.

I3

2

②由（1）知，-X--X-4=0H,xl=8,X2=-2,

?"（8,0）C（0,-4）

又.J拋物線對稱釉為直線A-3

i3

:.設(shè)點P坐標為一"I'，一4）,Q點坐標為（3,〃。

由平行四邊形的性質(zhì)可知：

當5。、C尸為平行四邊形對角線時，8。與。尸的中點重合，

???；（8+3）=gz

Z=11.

39

代入P點坐標公式可得：P（II,—）

4

（39

當BP、C0為平行四邊形的對角線時，同理可得P點坐標為-5,亍

I4

（21

當5C、P。為平行四邊形的對角線時，同理可得。點坐標為5--

\4

39（39、（21、

綜上所述P點的坐標為（11,］）和和［5,-wJ.

（2）解設(shè)8點坐標為（m0）,

■:BC1BD,

???ZCBE=90°

???/CBO+/OBE=90。,

又?：NCBO+NBCO=900,

???/OBE=/BCO,

因為N8OE=NCO8,

:.RSCBE中,〉BEOs△CBO

?_B_E__O__E__B_O_

.⑦BOBOa2

COn

（2\

所以E0,—

I〃）

過。作?！╛Lx軸于〃點，

：.DH//OE,

.BE_OE_BO

?茄一麗—麗

,/BE=ED，

）2

?**DH-2OE=—、OH=OB=a

2/）

I〃J

將B點（m0）,及（一。，里】代入拋物線解析式，解得〃=0（舍）或〃="

In）9

綜上所述〃=彳52.

【點睛】

本題為二次函數(shù)與相似綜合題，涉及到了相似三角形的判定與證明、平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用、圖像上點

的坐標與二次函數(shù)解析式的關(guān)系、待定系數(shù)法、平行線分線段成比例等內(nèi)容，要求學(xué)生理解并熟記相關(guān)概

念，能運用相關(guān)公式進行求解，對學(xué)生的綜合分析、推理和計算的能力都有較高要求，題中蘊含了數(shù)形結(jié)

合和分類討論等思想方法.

二、橫老典涮——拾級而上

1.（2021?河北九年級一模）如圖，拋物線y=a（x-1）2+k（a>0）經(jīng)過點（?1,0）,頂點為M,過點P

（0,a+4）作x軸的平行線1,1與拋物線及其對稱軸分別交于點A,B,H,以下結(jié)論：①當x=3.1時，y

>0;②存在點P,使AP=PH；③（BP-AP）是定值；④設(shè)點M關(guān)于x軸的對稱點為當a=2時,

點在1下方，其中正確的是（）

A.①③B.?@C.?@D.（D@

【答案】A

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點的坐標為（3,0）,且拋物線開口向上，可對①作判

斷；根據(jù)圖形中與x軸交點坐標（-1,0）和對稱軸與x軸交點（1,0）可對②作判斷；根據(jù)對稱性得：AH=BH,

根據(jù)線段的和與差可對③作判斷；根據(jù)M，的坐標和1到x軸的距離可對④作判斷.

【詳解】

①由題意得：a>0,開口向上，

???拋物線對稱軸是x=1,且經(jīng)過點（?1,0）,

???拋物線過x軸另一個點為（3,。），

,當x=3.1時，y>0；

故①正確；

②當P在O點時，AP=PH,

Va>0,

，P不可能與0重合，

故②不正確：

@BP-AP=(BH+PH)-AP=AH+PH-AP=2PH=2,

故③正確：

④把(?1,0)代入y=a(x-1)2+k中，k=-4a,

當a=2H寸，a+4=6,-(-4a)=8,點M在1的上方，

故④不正確；

所以正確的有：①③，

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、與x軸的交點、關(guān)于x軸對稱的點的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是

關(guān)鍵，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

2.(2020?浙江高照實驗學(xué)校九年級月考)拋物線y=ax?+bx+c交x軸于A(-1,0),B(3,0),交y軸的

負半軸于C,頂點為D.下列結(jié)論：①2a+b=0；②2cV3b；③當m#l時，a+b<am2+bm；④當AABD是

等腰直角三角形時，則a=；；⑤當AABC是等腰三角形時，a的值有3個.其中正確的有()個.

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0),可知二次函數(shù)的對稱軸

為x=(7)+3=l,即-2=1,可得2a與b的關(guān)系；將A、B兩點代入可得c、b的關(guān)系；函數(shù)開口向下，

x=l時取得最小值，則m*,可判斷③；根據(jù)圖象AD=BD,頂點坐標，判斷④；由圖象知BC#AC,從而

可以判斷⑤.

【詳解】

解：①???二次函數(shù)與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0).

二次函數(shù)的對稱軸為x=-,3=],即-?=1,

22a

2a+b=().

故①正確；

②：二次函數(shù)y=ax?+bx+c與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0).

:.a-b+c=0,9a+3b+c=0.

又■:b=-2a.

/.3b=-6a,a-(-2a)+c=0.

/.3b=-6a,2c=-6a.

???2c-3b.

故②錯誤；

③???拋物線開口向上，對稱軸是x=l.

???x=l時，二次函數(shù)有最小值.

1時，a+b+c<am2+bm+c.

即a+b<am2+bm.

故③正確：

④?「AD=BD,AB=4,z\ABD是等腰直角三角形.

.\AD2+BD2=42.

解得,ADM.

設(shè)點D坐標為(I,y).

則卜(-1)]2+y2=AD2.

解得y=±2.

???點D在x軸下方.

???點D為(1,-2).

;二次函數(shù)的頂點D為(1,-2),過點A(-1,0).

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x-1)2-2.

Z.0=a(-1-1)2-2.

解得a」.

2

故④正確；

⑤由圖象可得，AC^BC.

故AABC是等腰三角形時，a的值有2個.

故⑤錯誤.

故①?④正確，②⑤錯誤.

故選C.

【點睛】

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代

數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

3.(2020?內(nèi)蒙古包頭市?九年級二模)如圖所示，拋物線(〃和)與內(nèi)軸交于點力(,2,0)、B

(1,0),直線與此拋物線交于點G與x軸交于點M,在直線上取點O,使MO=MC,連接，C,

2

BGADfBD,某同學(xué)根據(jù)圖象寫出下列結(jié)論：①a-b=0；②當xV時，『隨x增大而增大；③四邊形

力CBO是菱形；④9a?3b+c>0.你認為其中正確的是

A.②③④B.①?@C.①?④D.①②③④

【答案】B

【解析】

(1)???拋物線y=M+6x+c(存0)與x軸交于點A(-2,0)、B(1,0),

,4〃一2/?+。=0①，a+b+c=O②,

???由①-②可得：3a—3b=0,即：a-b=O；故第一個結(jié)論正確：

(2)???點A、B的坐標分別為(-2,0)、(I,0),點M的坐標為(-0.5,0),

???點M是線段AB的中點，

工直線X=-:是拋物線的對稱軸，

2

又*?拋物線開口向下，

???當xV-；時，y隨x增大而增大，故第二個結(jié)論是正確的；

2

(3)???點M既是AB中點，又是CD中點，且CDJLAB,

???CD與AB互相垂直平分，

???四邊形ACBD是菱形.故第三個結(jié)論是正確的；

(4)?,?拋物線的開口向下，點A的坐標是(-2,0),

???結(jié)合圖象可知：當x=—3,)，=9a—3b+c＜。，故第四個結(jié)論是錯誤的；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.

故選B.

4.(2021?吉林延邊朝鮮族自治州,九年級二模)如圖，在平面直角坐標系中,拋物線)，二(工2一］一|與*

軸正半軸交于點4過點/的直線(A網(wǎng))與該拋物線的另一個交點4的橫坐標為2,尸是該拋物

線上的任意一點，其橫坐標為帆+1,過點尸作x軸的垂線，交直線48于點G在該垂線的點尸上方取一

點D,使尸0=1,以CO為邊作矩形C&E凡設(shè)點￡的橫坐標為2/〃.

(1)求直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當點戶與點力重合時，求點￡的坐標；

(3)當點E在該拋物線上時，求拋物線的頂點到E尸的距離；

(4)當矩形CDEF的邊CD與該拋物線相交，且該拋物線在矩形COE產(chǎn)內(nèi)的部分所對應(yīng)函數(shù)值J，隨x的增

大而增大時，直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】(I)y=-x--,(2)(4,1)；(3)-1+2二或1+2X/7:(4)或1＜機工史2或加之2

■223343

(也可以寫成：當生互或加工1或機22)

43

【分析】

(1)求出48兩點坐標，利用待定系數(shù)法求解即可：

(2)構(gòu)建方程求解即可;

(3)由題意，得點￡的坐標為(2加,工〃，-1),代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程求解即可;

2

(4)求出三種特殊情形〃?的值，利用圖象法判斷即可.

【詳解】

173

(1)當R=2時，y=-x22-2--=--.

■222

3

???點B的坐標為(2,--),

2

?3

當F=0時，一/一工一一=().

22

解得石=-1?々=3.

???拋物線、=：/一%-,與不軸正半軸交于點4,

???點力的坐標為(3,0).

2k+b=—

由題意，得J2,，

3k+b=0.

[.3

k=一,

2

解得，

b=--.

2

39

???直線48對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為/=耳工一].

(2)當點戶與點力重合時，〃什1=3,解得m=2.

:.27M=4,

???點。的縱坐標為1,

???點E的坐標為(4,1)

(3)將)，=I5/一工一3耳配方，得y=51*-i)2—2.

???拋物線的坐標為(1,-2)

由題意,得點￡的坐標為(2w,-m2-l)

C

,:點E在該拋物線上，

/.—W2-1=—（2/7?2）-2/77--.

222

解得g=笥自，叫=三互，

當26＜1時，即m＜頂點（1,-2）在E尸的右邊,

2

2-幣1

m=------<—，

32

???拋物線的頂點到E/的距離為

「2—）-1+2近

3

當2加＞1時，即〃2＞,，頂點（1,_2）在小的左妨.

2

2+771

m=------>—-9

3：2

???拋物線的頂點到后產(chǎn)的距離為

2〃一=當處一二任

33

綜上所述，拋物線的頂點到EF的距離為T+2近或出且.

33

33.3

（4）當點T7（2加,二〃?一3）在拋物線上時，-m-3=2m2-2tn~—,

222

解得〃?二1或1,

4

當E在拋物線時，〃?二生巨，

3

當點P與4重合時，/"=2,

觀察圖I,圖2,圖3可知，當或1＜機工生笈或加之2時.，矩形CDEb的一組鄰邊與該拋物線相

43

交.

也可以寫成：當?《根〈生彳或〃2/1或優(yōu)22時.，矩形"的一組鄰邊與該拋物線相交.

43

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題，學(xué)會利用特殊點解決問題是解題的關(guān)鍵.

I4

5.（2021?上海徐匯區(qū)?九年級二模）如圖，已知拋物線〃與『軸交于點C,直線p=-§x+4與.

軸和X軸分別交于點力和點/過點C作CO垂足為點0,設(shè)點E在x軸上，以CD為對角線作aCEDE

（1）當點C在N/16O的平分線上時，求上述拋物線的表達式；

（2）在（1）的條件下，如果。CE0尸的頂點廠正好落在尸軸上，求點尸的坐標；

（3）如果點E是80的中點，且。尸是菱形，求，的值.

【分析】

3

（1）在RS/。。中，設(shè)OC=x,由勾股定理得：（4-x）2=/+4,解得、=一，即可求解；

2

612

（2）求出點。的坐標為（1，y）,如果。CEQ尸的頂點廠正好落在y軸上，則。七〃y軸，且DE=CF,

進而求解;

（3）求出點D的坐標為（--------,--------）,由DE=CE,即可求解.

2525

【詳解】

44

解：（1）對于y=-1.丫+4①，令歹=-yx+4=0,解得x=3,令x=0,則y=4,

故點力、8的坐標分別為（0,4）、（3,0）,

由點44的坐標知，04=4,08=3,則44=5,

連接6C,如下圖，

???點C在N48O的平分線上，則0C=CQ,

vt

，

?;BC=BC,

(HL),

故50=08=3,則力。=5-3=2,

設(shè)OC=CD=x,貝lJ/C=4-x,

3

在RtMQC中，由勾股定理得：（4-X）2=/+4,解得工=一

2

故點。的坐標為（0,-）,

2

則拋物線的表達式為y=g■/+g；

（2）如上圖，過點。作C〃〃x釉交4?于點〃，則N/14O=N.4〃C,

43

由,48得表達式知，lan//8O=-=tanNO〃C,則tanNQC〃=」，

34

33

故直線CD的表達式為y=—x+—②，

42

6

x=76I?

聯(lián)立①②并解得《；2,故點。的坐標為（不，不），

如果口CEZ小的頂點尸正好落在y軸上，貝ijQE〃y軸，RDE=CF,

,12

故DE=yo=—,

則/=iE=一12十二3二3二9

5210

39

故點F的坐標為(0,—)；

3

（3）???點E是60的中點，故點E（—，0）,

2

3

由（2）知，直線CQ的表達式為y=-x+〃?③,

4

48—12m36+16m

聯(lián)立①③并解得，點D的坐標為（--------，

2525

3

而點E、。的坐標分別為（—，（））、（（），〃?）,

2

???uCE。/7是菱形，則OE=C,

即三一”沖3

(—)2+〃落

2

即9m2-36m=0?

解得加=4（舍去）或0,

故m=0.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等.

6.（2021?浙江湖州市,九年級一模）二次函數(shù)，=a/+/K+c（〃H0）的圖象與x軸交于A（—1,0）,8（3,0）兩

點，與j，軸交于點。（0,-2）,直線/:X=〃2（〃?>3）與x軸交于點n

（1）求二次函數(shù)的解析式：

（2）在直線/上找點尸（點尸在第一象限），使得以點P,D,8為頂點的三角形與以點力，C,O為頂點

的三角形相似，求點P的坐標（用含〃，的代數(shù)式表示）:

（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點。，使得V8PQ是以尸為直角頂點的等腰

直角三角形？若存在，求出點。的坐標：若不存在，請說明理由.

?4(m-3](13

【答案】(I)y=-x2一一x-2；(2)in,"或(加,2加-6)；(3)存在；Q

'33I2J122

【分析】

(1)運用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)點Q坐標為(〃?，〃)，由于NAOC=NPDB=90。則以P,D,8為頂點的三角形與以力、C、O為

頂點的三角形相似時，分兩種情況：AOCAIAQ32和△。?？凇鳌Ｐ?根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得點P

的坐標；

(3)運用/US證明得QM=PD,PM=BD,再分P為卜,和戶為

(w,2〃?—6)列出方程求解即可.

【詳解】

⑴將A(-1,0),8(3,0),。(0,-2)代入丁=加+法+?“*0),得:

a-b+c=0

,9。+3〃+c=0,

c=-2

24

解得，a=—,b=—,。=一2,

33

???拋物線的解析式為：y=-x2--x-2；

33

(2)設(shè)尸(w,〃)，

?：/AOC=/PDB=90。.

???當以P,D,8為頂點的三角形與以4、C、。為頂點的三角形相似時，分兩種情況:

①若AOC4HAD3。時，則空=空

DPDB

12

??一，

nm-3

"7—3

??fl-9

2

(tn-3

/.Pn"2,------

2

②若△OCAnADPB時，則空二空,

DBDP

*12

??—,

m-3n

/.n=2/77—6,

，點P的坐標為：Q〃,2機一6)或(〃7,6-2利)(舍去),

???點尸在笫一象限，

???點P的坐標為卜2,竺不，)或(〃!,2〃?-6)

(3)如圖，過點Q作QMJ■/于點M,

???V3PQ為等腰直角三角形，ZBPQ=90°,PQ=BP,

乂v/QMP=ABDP=90°,

ABDP/APMQ,

:.QM=PD,PM=BD，

①當P為|加,'L時，

27

m-3

QM=PD

2

339

時等,I

代入），=%2_3_2,

33

解得：町=4,〃4=3（舍去）

②當P為（〃?，2m-6）時，

QM=PD=2m-6,DM=PM+PD=3m—9，

：.2（6-777,3/n-9）,

代入y=—x2-—x-2,

33

23

解得：m\=—?，電=3（舍去）

??年甥〉

此時的點。不在第一象限內(nèi)，故舍去，

（73、

綜上，可得。

【點睛】

此題是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)等知識，在解題時一定注意分類討論思想，以免漏解.

48

7.（2020?山東濰坊市?九年級一模）如圖，在直角坐標系中，拋物線），=丁一+工^一4與x軸交于點八、

■279

B,與）,軸交于點C,點。的坐標為（-3,0）.口。的半徑為2,E是口C上的一動點，點f是AE的中

點，則。尸最小值為

【分析】

通過計算知D為線段AB的中點，易知DF為三角形ABE的中位線，DF=gBE,當線段BE長最小時。，DE

2

長最小，結(jié)合圖形可知BE的最小值為BC的距離與口C的半徑差，進而得解.

【詳解】

AQAQ

解：由丁=—/+一彳一4可知，當y=0時，由一V+一工-4=0解得玉=-9,々=3,故點A(-9,0),

279'279

點B(3,0),當x=0時，y=-4,故點C((),-4),而點D的坐標為13,0),故點D為線段AB的中點，而點F

為線段AE的中點，故線段DF為A4BE的中位線.故有DF=：BE,當線段BE最小時，DF最小，如解圖

所示，但點E是線段BC與圓C的交點時，BE最小，而OB=3,004,故3c=律壽=5，BE=BC-2=3,

士一13

所以DF=—BE=—.

22

故答案為：g

2

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與坐標軸的交點，三角形的中位線，與圓有關(guān)的最值問題，確定DF是三角

形的中位線以及線段BE的最小值是解題的關(guān)鍵.

8.(2020?廣西貴港市?九年級零模)如圖，已知拋物線X=-2/+2,直線為=2x+2,當1任取一值時,

工對應(yīng)的函數(shù)值分別為如>2,若)'產(chǎn)必，取力，%中的較小值記為M；若記M=y=)'2,

例如：當x=l時，y=0，%=4,y<)，2,此時M=O,下列判斷：

①當x<0時，y,>y2；

②當時，尤值越大，M值越小；

③使得M大于2的工值不存在；

16

④使得M=1的x值是一不或注.

22

其中正確的是.

【答案】③④

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

由題可得，函數(shù)圖像如圖所示

y-K=—2X+2—2x—2=—2］（工+1）

.?.當jvx〈o時，y[>y2i當x=-i時，/二外；當xv?i時,)%<必，故①錯誤;

由①可知，當x<o時，拋物線與直線的交點坐標為(-1,0)

結(jié)合圖示，可知，當-1<XV()時，M