江蘇省常熟市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 含答案

2022~2023學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高一數(shù)學(xué)2023.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是A.3 B. C. D.2.已知向量，，則在上的投影向量為A. B. C. D.3.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于A.8 B. C.8或 D.64.在平行四邊形中，是對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則A. B. C. D.5.在中，若，則的形狀為A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.已知，則的值為A. B. C. D.7.在中，內(nèi)角為，，，且。若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.8.已知，，若平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的最大值是A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)或不選的得0分，部分選對(duì)的得2分。9.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是A.已知，均為非零向量，若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B.已知非零向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C.若且，則D.若點(diǎn)為的重心，則10.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋。依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中正確的是A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B.為純虛數(shù)C.的模長(zhǎng)等于 D.的共軛復(fù)數(shù)為11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則A.在上是減函數(shù)B.由可得是的整數(shù)倍C.是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有8個(gè)零點(diǎn)12.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則?！氨捡Y定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（）的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”。若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則A.為的垂心 B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分。13.若是虛數(shù)單位，，則__________。14.已知空間向量，滿足，，且，的夾角為，若，則實(shí)數(shù)等于__________。15.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類(lèi)保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞。若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_________。16.如圖，中，，，，為重心，為線段上一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________，若、分別是邊、的中點(diǎn)，則的取值范圍是__________。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題10分）（1）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，且，求；（2）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值。18.（本小題12分）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)，，在一條直線上，滿足，，，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）設(shè)的重心為，且，求的值。19.（本小題12分）已知向量，，且函數(shù)。（1）若，且，求的值；（2）若將函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將所得圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，求函數(shù)在的值域。20.（本小題12分）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用，明朝科學(xué)家徐光啟所著《農(nóng)政全書(shū)》中描繪了筒車(chē)的工作原理。如圖，一個(gè)半徑為的筒車(chē)，按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一周的時(shí)長(zhǎng)為，筒車(chē)的軸心距離水面的高度為，筒車(chē)上均勻分布了12個(gè)盛水筒，設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：，在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為。（1）求，，，的值；（2）求盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間就可以到達(dá)最高點(diǎn)；（3）在筒車(chē)運(yùn)行的過(guò)程中，求相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出高度差的最大值。21.（本小題12分）在①，②，③（為面積），三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答。在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且選條件：__________。（1）求；（2）作，使得四邊形滿足，，求長(zhǎng)的取值范圍。22.（本小題12分）對(duì)于函數(shù)，，若對(duì)任意且，，，都有，，是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”。（1）設(shè)，，若函數(shù)是上的“完美三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）在滿足（1）且的條件下，令函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2022~2023學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高一數(shù)學(xué)參考答案2023.04一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案ABACDDAC二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)或不選的得0分，部分選對(duì)的得2分。題號(hào)9101112答案ADABCACABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分。13. 14. 15. 16.20，四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.解：（1）設(shè)，由題意得，解得，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，則。（2），由題意得，解得。18.解：（1）因?yàn)槿c(diǎn)，，在一條直線上，所以，又，所以，①因?yàn)?，所以，即，②由①、②解得或。?）因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以，。所以，，，，因此。19.解：（1）因?yàn)橄蛄?，，所以。因?yàn)?，所以。又，，因此，所以。?）因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖像上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將所得圖像向左平移個(gè)單位，得到的圖像，所以。當(dāng)時(shí)，，所以，即函數(shù)在的值域?yàn)?0.解：（1）由題知，得，由題意得，解得，，時(shí)，，，，。（2）由，得，，即，，當(dāng)時(shí)，盛水筒出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)，此時(shí)。（3）設(shè)兩個(gè)相鄰的盛水筒分別用和表示（領(lǐng)先于），則，經(jīng)過(guò)相鄰兩個(gè)盛水筒距離水面的高度分別為和，，，的最大值為。21.解：（1）選①：，由正弦定理得，，即，又，，因?yàn)?，，故。，。選②：，由正弦定理得，即有，所以，，。選③：，即，即，，，，。（2）設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦