四川省綿陽市豐谷中學2025年高三第二次模擬考試數(shù)學試題

四川省綿陽市豐谷中學2025年高三第二次模擬考試數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，，…（為地，為地）．從地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，，…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為．則的表達式為（）．A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．3．已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．4．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．5．已知α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．337．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．8．近年來，隨著網(wǎng)絡的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調(diào)查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調(diào)查，各主要用途與對應人數(shù)的結果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數(shù)；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．9．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種10．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．11．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（）A．元 B．元 C．元 D．元12．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設實數(shù)x，y滿足，則點表示的區(qū)域面積為______.14．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.15．函數(shù)在的零點個數(shù)為________．16．若，則的展開式中含的項的系數(shù)為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)18．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點個數(shù)．20．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，且經(jīng)過點，斜率為的直線經(jīng)過點，與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)，,使得對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個實根，且，求證：.22．（10分）平面直角坐標系中，曲線：.直線經(jīng)過點，且傾斜角為，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）寫出曲線的極坐標方程與直線的參數(shù)方程；（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，求實數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D．【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用，屬于中檔題．2．B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當；當綜上：.故選：B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.3．A【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題．4．D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.5．A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．6．C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.7．A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．8．C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總人數(shù)為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數(shù)為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數(shù)與頻率是關鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.9．C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.10．B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內(nèi)角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當內(nèi)角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎題.11．A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用，再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，得到年的就醫(yī)費用，然后由年的就醫(yī)費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，所以年的就醫(yī)費用元，而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎題.12．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點坐標，利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x，y滿足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎題.14．【解析】

設，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據(jù)，得到，再利用導數(shù)法求的范圍.【詳解】設，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即，因為，所以，因為，所以，所以，即，而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.15．【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點，屬于基礎題．16．【解析】

首先根據(jù)定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】，根據(jù)二項式展開式通項：，令，解得，所以含的項的系數(shù).故答案為：【點睛】本題考查定積分，二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時，根據(jù)對應關系得到，再計算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當為偶數(shù)時，時，最大為；當為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數(shù)時，設是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18．（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設出兩點的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，設出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19．（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點個數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當時，以及，結合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以．所以，．所以曲線在點處的切線為；（2）因為，令，得或．列表如下：0極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當時，函數(shù)有極小值；（3）當時，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點個數(shù)為．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20．（1）（2）存在；實數(shù)的取值范圍是【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義計算，再根據(jù)，，的關系計算即可得出橢圓方程；（2）設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出的中點坐標，求出的中垂線與軸的交點橫，得出關于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍．【詳解】（1）由題意可知，，．又，，，橢圓的方程為：．（2）若存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點．設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，消元得：，△，又，故．由根與系數(shù)的關系可得，設的中點為，，則，，線段的中垂