2024-2025學(xué)年湖南省株洲市高三下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖南省株洲市高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試題考生注意：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．本試卷主要命題范圍：高考范圍．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)與指冪的互換，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)交集，可得答案.【詳解】由，，，則.故選：B．2.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根函數(shù)奇偶性的定義及常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為奇函數(shù)，而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】由復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，∵，∴，，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D．4.某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出大輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再借助弧長(zhǎng)公式計(jì)算即得【詳解】由大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，得大輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是.故選：D5.已知等差數(shù)列的公差不為0，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.數(shù)列最小項(xiàng)是C.的最小值是 D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】D【分析】根據(jù)條件列方程求出首項(xiàng)與公差，寫出通項(xiàng)公式判斷A，求出解析式判斷B，求出前項(xiàng)和判斷C，解不等式判斷D.【詳解】等差數(shù)列中，，所以，即，化簡(jiǎn)得，由可得，解得或（舍去），聯(lián)立可得，從而，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?shù)列最小項(xiàng)是，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的最小值是，故C錯(cuò)誤；由，即，解得(舍去)或，故D正確.故選：D6.甲?乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用獨(dú)立重復(fù)事件，分析獲勝情況，即可求出概率.【詳解】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說(shuō)明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.故選：C7.已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左，右焦點(diǎn).若半徑為的圓與的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線切于點(diǎn)以及與線段切于點(diǎn).若，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由幾何關(guān)系和橢圓的定義可得，為橢圓的右頂點(diǎn)，進(jìn)而可得，由，可得，進(jìn)而可知，結(jié)合可得橢圓的離心率.【詳解】如圖，由切線定理可知，，，所以，故，所以為橢圓的右頂點(diǎn)，連接，，則，，由，得或（舍去），所以，又，故，得，故選：D.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出定義域，分和兩種情況，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而畫出的圖象，因式分解得到或，其中有2個(gè)不同的解，故需有3個(gè)不同解且和的解不同，即，解得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，若時(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因?yàn)?，故恒有，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)方程有2個(gè)不同的解；要使方程恰有5個(gè)不同的解，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.思路點(diǎn)睛：關(guān)于方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)，函數(shù)圖象復(fù)雜時(shí)，需要借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，分析其變化趨勢(shì)，然后作出函數(shù)圖象進(jìn)行求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱【正確答案】AD【分析】先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】，所以，故A正確；的最大值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；將的圖象左平移個(gè)單位，得到函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確.故選：AD.10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.，，三線不共點(diǎn)C.與平面所成角為 D.設(shè)，則多面體的體積為1【正確答案】AC【分析】對(duì)于A，連接，，由和可證得結(jié)論；對(duì)于B，先證，即得，相交，再由交點(diǎn)在兩個(gè)相交平面內(nèi)即得三線交于一點(diǎn)排除B；對(duì)于C，作于點(diǎn)M，證明平面得，由推得，得平面，即得為與平面所成的角即可求得；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，連接，可將多面體分割成三棱柱和四棱錐求體積.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，，由G，E分別為，的中點(diǎn)，可得，由可知，側(cè)面為正方形，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，如圖，連接，，由題易知,則，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)P，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，，三線共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，作于點(diǎn)M，因?yàn)?，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平?而，所以為與平面所成的角，等于，故C正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，連接，易知直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，柱高，則，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，錐高，則，則多面體的體積為.故D錯(cuò)誤.故選:AC.11.在如圖所示的方格圖中，去掉以下哪一個(gè)方格，剩下的方格圖能用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋（）A.① B.② C.③ D.④【正確答案】AD【分析】AD選項(xiàng)，可通過(guò)畫圖得到正確；BC選項(xiàng)，去掉②或③后，會(huì)有無(wú)法用或的矩形方格的圖形出現(xiàn)，故BC錯(cuò)誤.【詳解】當(dāng)去掉①后，可如圖所示的方法來(lái)進(jìn)行覆蓋，A正確；同理，當(dāng)去掉④，可以如圖所示的方法來(lái)進(jìn)行覆蓋，D正確；當(dāng)去掉②時(shí)，除去②和②周圍的3個(gè)表格外，共用去20個(gè)或的矩形方格進(jìn)行覆蓋，②周圍的三個(gè)表格無(wú)法用或的矩形方格來(lái)覆蓋，利用其他方式進(jìn)行覆蓋，最后始終會(huì)有結(jié)構(gòu)出現(xiàn)，從而無(wú)法用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋，B錯(cuò)誤；同理可得去掉③后，無(wú)法用總共21個(gè)或的矩形方格圖完全覆蓋，C錯(cuò)誤故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知滿足，則__________.【正確答案】【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差正弦公式化簡(jiǎn)求出，最后應(yīng)用兩角和正弦即可求解.【詳解】，.故答案為.13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列可得直線過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在曲線上，可得直線與曲線相切于點(diǎn)，切線方程可求，進(jìn)而可得的值.【詳解】由題意得，直線，故直線過(guò)定點(diǎn)，且曲線過(guò)點(diǎn)，故直線與曲線（無(wú)拐點(diǎn)）相切于點(diǎn).∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為.14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【正確答案】70【分析】根據(jù)題意得到，從而得到四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，即可得到答案.【詳解】由題意得，將連同右邊的3個(gè)空位捆綁，連同右邊的4個(gè)空位捆綁，連同右邊的5個(gè)空位捆綁，分別看作一個(gè)元素，還剩個(gè)元素.四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，故這樣四元數(shù)組的個(gè)數(shù)是.故70四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積．（1）證明：；（2）若為的平分線，交于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由三角形的面積公式以及正弦定理的邊角互化代入計(jì)算，即可證明；（2）根據(jù)題意，由等面積法以及三角形的面積公式代入計(jì)算可得，再由余弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)椋?jiǎn)得，由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，為的內(nèi)角，所以，即．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉槠椒志€，且，所以，所以，在等腰三角形中，．①又，∴，則，化簡(jiǎn)得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．16.已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，的面積為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程，由已知求得即可.（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出面積表達(dá)式求出值即可.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，得，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，直線方程為，設(shè)，由消去得，則解得或，，，令直線與軸的交點(diǎn)，則的面積，因此，解得，所以直線方程為.17.如圖，在四棱柱中，，，，，，分別是棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）若，直線與平面所成角的正弦值為.①求四棱柱的體積；②求平面與平面的夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①24；②【分析】（1）利用余弦定理證得，再利用線面垂直的判定推理得證.（2）①取中點(diǎn)，利用線面角的定義求出，進(jìn)而求出體積；②連接，利用幾何法探求出兩個(gè)平面的夾角，再進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】在梯形中，，，則，在中，，，則，，而，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】①由，平面，得平面，取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，由（1）知，平面，則是直線與平面所成的角，即，，，所以四棱柱的體積.②連接，由①知平面，，則平面，平面，則，而，于是，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由是的中點(diǎn)，得，共面，因此是平面與平面的夾角，，所以平面與平面的夾角的余弦值是.18.已知函數(shù)（1）若曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求的值；（2）若函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)存在極大值，記作，求證.（參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.這里表示從0的右邊逼近表示從0的左邊逼近0.）【正確答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而建立關(guān)于的方程，解之即可求解；（2）由題意可知在上有唯一解.利用導(dǎo)數(shù)討論的性質(zhì)即可求解；（3）由（2）確定，進(jìn)而，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論的性質(zhì)即可證明.【小問(wèn)1詳解】且，則，所以切線方程為，令，則，由題意得，解得；【小問(wèn)2詳解】存在唯一極值點(diǎn)等價(jià)于方程在上有唯一解.設(shè)，則，由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋手恍?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)的存在性定理知，存在使得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以存在極大值為，極小值為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由（2）知，存在唯一的零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在極小值為.故若存在極大值，則，且，有，得，即，即，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，即.難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大，特別是第三問(wèn)證明不等式時(shí)難點(diǎn)所在，解答時(shí)要結(jié)合函數(shù)極值以及構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明.19.材料一：英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)?統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).貝葉斯公式就是他的重大發(fā)現(xiàn)，它用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對(duì)任意的事件，有，.材料二：馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)?自然語(yǔ)言處理?金融領(lǐng)域?天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是，，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題.（1）已知德國(guó)電車市場(chǎng)中，有的車電池性能很好.公司出口的電動(dòng)汽車，在德國(guó)汽車市場(chǎng)中占比，其中有的汽車電池性能很好.現(xiàn)有一名顧客在德國(guó)購(gòu)買一輛電動(dòng)汽車，已知他購(gòu)買的汽車不是公司的，求該汽車電池性能很好的概率；（結(jié)果精確到0.001（2）為迅速搶占市場(chǎng)，公司計(jì)劃進(jìn)行電動(dòng)汽車推廣活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：有11個(gè)排成一行的格子，編號(hào)從左至右為，有一個(gè)小球