2024-2025學(xué)年廣西南寧市高一下冊三月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西南寧市高一下學(xué)期三月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所列的4個(gè)備選項(xiàng)中，只有1個(gè)符合題目要求，錯(cuò)選、多選或未選均不得分．）1.已知復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，則（）A.4 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念列式求出，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】由復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的3倍，得，解得，所以，.故選：B2.已知，則“”是“”的（）條件．A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要【正確答案】C【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)條件的的值，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題意，，由，即，則或，由，則，所以“”是“”的必要非充分條件．故選：C.3.已知非零向量，滿足，，則向量，的夾角為（）．A30° B.45° C.60° D.90°【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，由，得，因，所以，即，又因，所以.故選：C.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【正確答案】B【分析】由函數(shù)解析式有意義可得出，即可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù)，有，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.5.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在定理判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且為單調(diào)遞減函數(shù)，，，所以，由零點(diǎn)存在定理可知包含零點(diǎn)的區(qū)間是，故選.6.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由求出的范圍，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，列出不等式，從而求得ω的范圍，取的值得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，，又∵，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∵，此時(shí)無解，∴.故選：D.7.中，以下與“”不等價(jià)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】結(jié)合三角形邊角性質(zhì)以及正弦定理判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B，舉反例判斷C；結(jié)合二倍角公式判斷D.【詳解】對于A，中，由可知，結(jié)合正弦定理得，反之亦然，A中結(jié)論等價(jià)；對于B，由于在上單調(diào)遞減，故可得，反之亦然，B中結(jié)論等價(jià)；對于C，取滿足，而，故C中結(jié)論不等價(jià)；對于D，,由A知等價(jià)于，又，故，D中結(jié)論等價(jià)，故選：C8.已知滿足(其中是常數(shù))，則的形狀一定是A.正三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【正確答案】C【詳解】分析：由題意結(jié)合向量的運(yùn)算法則和平面幾何的結(jié)論確定△ABC的形狀即可.詳解：如圖所示，在邊(或取延長線)上取點(diǎn)，使得，在邊(或取延長線)上取點(diǎn)，使得，由題意結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則可知：，，而，據(jù)此可得：，從而：，結(jié)合平面幾何知識可知：，而，故.即△ABC為等腰三角形.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：用平面向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種方法：基向量法和坐標(biāo)系法，利用基向量的時(shí)候需要針對具體的題目選擇合適的基向量，建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)一般利用已知的垂直關(guān)系，或使較多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于迅速解題．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題滿分6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列各式中值為的是（）A B.C. D.【正確答案】BC【分析】由余弦的二倍角公式可判斷A；由誘導(dǎo)公式和正弦的兩角差的正弦公式可判斷B；由正切的兩角和公式可判斷CD.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為2B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【正確答案】AB【分析】先用輔助角公式將函數(shù)變形為，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷正確與否即可.【詳解】函數(shù)，對于選項(xiàng)A，，A正確；對于選項(xiàng)B和C，將代入函數(shù)的解析式，得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確，C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D不正確；故選：AB.11.在中，角A，，所對的邊分別為，，，下列命題正確的是（）．A.若，，，則有兩解B.若，，則的面積最大值為C.若，，，則外接圓半徑為D.若，則【正確答案】ACD【分析】由余弦定理，結(jié)合條件，可求得c值，分別檢驗(yàn)，即可判斷A的正誤；由余弦定理，可得表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，可得最大值，代入面積公式，即可判斷B的正誤；根據(jù)余弦定理，可得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得，根據(jù)正弦定理，即可判斷C的正誤；根據(jù)余弦定理及基本不等式，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：由余弦定理得，解得，當(dāng)時(shí)，，且，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，且，滿足題意，所以有兩解，故A正確；對于B：由余弦定理得，所以，根據(jù)基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以則的面積最大值，故B錯(cuò)誤；對于C：由余弦定理得，因?yàn)椋?，由正弦定理得，R為外接圓半徑，所以，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦定理、正弦定理、面積公式、基本不等式等知識，考查分析理解，計(jì)算化簡的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題.三、填空題（本大題共3小題，每小題滿分5分，共15分．）12.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.【正確答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故113.已知向量，，且與平行，則______．【正確答案】##1.5【分析】先求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因，，所以，，因?yàn)榕c平行，所以，解得，故14.在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊上中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（含端點(diǎn)），則的取值范圍是_______．【正確答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，令，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則、、、，則，由點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），可令，，所以，則，所以，，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最大值，可得.因此，的取值范圍是.故答案為.四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量、滿足，.（1）求與的夾角；（2）求；（3）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出與的夾角；（2）求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量的模長公式可求得的值；（3）利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出向量在向量上的投影向量的坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)橄蛄?、滿足，，則，，，所以，，因?yàn)椋?，即與的夾角為.【小問2詳解】因，故.【小問3詳解】向量在向量上的投影向量為.16.已知函數(shù)的表達(dá)式為.（1）當(dāng)時(shí)，求證：在上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，由此可證得結(jié)論成立；（2）由已知得出，令，，則，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，任取、且，即，，，則，，所以，，，因此，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)；（2）對任意的，，可得，令，則，令，其中，所以，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.先將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，向下平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象（1）求的解析式;（2）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若為銳角，且，的面積，求.【正確答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用給定的函數(shù)圖象求出，再利用三角函數(shù)圖象變換求出的解析式.（2）由（1）的信息求出角，再利用正弦定理、面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】觀察圖象，函數(shù)的周期，則，，由，得，而，則，，將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），得函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得的圖象，最后向下平移1個(gè)單位長度，所以的解析式是.【小問2詳解】由（1）知，，則，而，即，于是，解得，由正弦定理及，得，由的面積，得，即，解得，在中，由余弦定理得.18.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)椋裕?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)椋?，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.19.如圖所示，是的一條中線，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線分別與射線、交于、兩點(diǎn)．（1）請用、表示和；（2）設(shè)，，求的值；（3）如果是邊長為的等邊三角形，求的取值范圍．【正確答案】（1），（2）